宁夏回族自治区银川一中2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷

这是一份宁夏回族自治区银川一中2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
过 A(1, 3) ， B(2, 0) 两点的直线倾斜角为（ ）
5π3π
A.B.
64
2ππ
C.D.
33
“关于 x，y 的方程： x2  y2  mx  4 y  8  0 表示圆”是“ m  4 ”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充要条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
5
若两平行直线 x  my  2  0 与2x  4 y  n  0 n  0 之间的距离是，则 m  n  （ ）
2
12
12D. 14
已知点 A1, 2 ，直线 l： λ 2 x  1λ y  2λ 7  0 λ R  ，则 A 到 l 的距离的最大值为
2
（）
10
A. 3B.
C. 3
D. 5
2
2
若方程 x 1y表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）
6  mm  4
[4, 5]B. (4, 6)C. [5, )
D. (5, 6)
4x  x2
若直线 y  x  b 与曲线 y  2 
有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是

2 2, 2
2 2, 2
2 2, 2
2 2, 2


若对圆(x  1)2  ( y  1)2  1 上任意一点 P(x, y),| 3x  4 y  a |  | 3x  4 y  9 | 的取值与 x，y 无关，则实数 a 的可能取值是（ ）
4
6
4D. 6
已知定点 A 1 , 0  ，圆C 与 y 轴相切，直线2x  y  2  0 是圆C 的一条对称轴．若圆C 上存在两点 P, Q
 2

使得PAQ  π，则圆C 圆心的横坐标的取值范围是（ ）
3
A.  , 3  ∪  9 , 
B.  1 , 11 
2  2 2 2 

C. 0,1 ∪  3 , 
D.  1 , 17 
 2 2 2 

二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．
已知直线l ： ax  3y  4  0 ， l ： x  a  2 y  a2  5  0 ，则（）
12
若 a  1 ，则l1 的一个方向向量为3, 1
若l1 //l2 ，则 a  1 或 a  3
若l
 l ，则 a  3
l 恒过定点0, 4
1221
已知直线： l : 3x  2 y  m  0 ，圆C : x2  y2  4x  y  1  0 ，则下列说法错误的是（ ）
4
13
13
若 m  5 或5 ，则直线 l 与圆 C 相切
B. 若m  5 ，则圆 C 关于直线 l 对称
C. 若圆 E : x2  y2  5 x  2 y  5 m  0 与圆 C 相交，且两个交点所在直线恰为l，则 m  0
28
13
13
D. 若 m  5 ，圆 C 上有且仅有两个点到 l 的距离为 1，则5  m  5  3
已知 A2, 0, B 6, 0, D 2, 2 ，点 P 满足
 1 ，设点 P 的轨迹为曲线C ， O 为坐标原点，则下
PA
PB
3
列说法正确的是（）
2
A. 过点 B 作曲线C 的切线，切线长为6
当 A, B, P 三点不共线时， APO  BPO
C. 在C 上存在点 M ，使得 MO  2 MA
5
D. PB  3 PD 的最小值为2
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
已知中心在坐标原点的椭圆，其两个顶点分别为直线2x  3y  4 与 x 轴和 y 轴的交点，则该椭圆的离心率为．
过点 P(4, 1) 作圆C : x2 + y2 +2x - 4 y - 4 = 0 的切线，切点为 A、B，则过切点 A，B 的直线方程为
．
已知 A 为圆 M : ( x  3)2  y2  1
16
上的动点，B 为圆 N : ( x  4)2  y2  1 上的动点，P 为直线 y  x
4
上的动点，则 PB  PA 的最小值为．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
已知V ABC 的三个顶点是 A(2, 3), B(1, 2), C(4, 4) ．
求 BC 边上的中线所在直线l1 的方程；
若直线l2 过点 C，且点 A，B 到直线l2 的距离相等，求直线l2 的方程．
已知直线l 的方程为2m  1 x  m  1 y  7m  4  0 ．
求证：不论m 为何值，直线l 必过定点 M ；
过点 M 的直线l1 交坐标轴正半轴于 A, B 两点，当V AOB 面积最小时，求V AOB 的周长．
已知圆 x2  y2  4 上一定点 A2, 0 ，点 B 1,1 为圆内一点， P, Q 为圆上的动点．
求线段 AP 中点的轨迹方程；
若PBQ  90 ，求线段 PQ 中点的轨迹方程．
已知圆 C 过 A1,  7  ， B 6, 2 3 ，且圆心 C 在 x 轴上.
求圆 C 的周长；
3
若直线l 过点 D 2,10 ，且被圆 C 截得的弦长为4
，求直线l 的方程；
过点 C 且不与 x 轴重合的直线与圆 C 相交于 M，N，O 为坐标原点，直线OM ， ON 分别与直线
x  8 相交于 P，Q，记VOMN的面积为 S ， △OPQ 的面积为 S ，求 S1 的最大值.
S
12
2
x2y26
已知椭圆C :
a2b2
 1a  b  0 的离心率为
3 , F1、F2 分别为左右焦点，短轴一个端点到右焦点
3
F2 的距离为.
求椭圆C 的方程；
3 2
2
斜率为 1 的直线l 被椭圆C 截得的弦长为
，求直线l 的方程；
设直线l 与椭圆C 交于A 、 B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为 3 ，求V AOB 面积的最大值.
2
银川一中 2025-2026 学年第一学期高二年级月考一数学试卷
数学试卷
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
过 A(1, 3) ， B(2, 0) 两点的直线倾斜角为（ ）
5π3π
A.B.
64
2ππ
C.D.
33
【答案】A
【解析】
【分析】利用两点间斜率公式可得斜率，再由倾斜角与斜率关系可得结果.
【详解】设直线 AB 的倾斜角为θ，所以 tanθ k 3  0   3 ，
因θ[0, π) ，所以θ 5π ，
6
1  23
故选：A.
“关于 x，y 的方程： x2  y2  mx  4 y  8  0 表示圆”是“ m  4 ”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充要条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若 x2  y2  mx  4 y  8  0 表示圆，则 m2  42  4  8  0 ，解得 m  4 或m  4 ，故“关于 x，y 的方程： x2  y2  mx  4 y  8  0 表示圆”是“ m  4 ”的必要不充分条件．
故选：A
5
若两平行直线 x  my  2  0 与2x  4 y  n  0 n  0 之间的距离是，则 m  n  （ ）
2
12
12D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线平行求出 m  2 ，再利用平行线距离公式即可求出 n ，则得到答案.
【详解】因为直线 x  my  2  0 与2x  4 y  n  0(n  0) 直线平行，
所以 1 
2
m
4 ，即 m  2 ，
5
因为直线 x  2 y  2  0 与直线2x  4 y  n  0(n  0) 的距离为，
12  22
n
 2
2
所以5 ，即 n  4  10 ，解得 n  14 或 n  6  0 （舍去），
故 m  n  2 14  12 ．故选：C
已知点 A1, 2 ，直线 l： λ 2 x  1λ y  2λ 7  0 λ R  ，则 A 到 l 的距离的最大值为
（）
10
A. 3B.
C. 3
D. 5
2
【答案】D
【解析】
【分析】先求出定点，再根据当l  AB 时，点 P 到 l 的距离最大，运用两点间距离公式计算即可.
2x  y  7  0
【详解】将直线 l 的方程变形为λ x  y  2  2x  y  7  0 ，由x  y  2  0 ，

 y  1
得x  3 ，所以直线 l 过定点 B 3, 1 ，

3 12  1 22
当l  AB 时，点 P 到 l的距离最大，故最大距离为
 5 .
故选：D.
2
2
若方程 x 1y表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）
6  mm  4
[4, 5]B. (4, 6)C. [5, )
D. (5, 6)
【答案】D
【解析】
【分析】将题目所给方程转化为椭圆的标准方程的形式，结合题设条件，列出方程组，即可求解.
x2y2x2y2
【详解】椭圆方程 1 1 ，
6  mm  46  mm  4
上式表示焦点在 y 轴上的椭圆，
 6  m  0

则 m  4  0
，解得5  m  6 ，

m  4  6  m
故选：D.
若直线 y  x  b 与曲线 y  2 
4x  x2
有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是

2 2, 2
2 2, 2
2 2, 2
2 2, 2


【答案】B
【解析】
4x  x2
【分析】本题首先可通过对函数 y  2 
进行转化得出函数 y  2 
的几何意义，然后
4x  x2
结合题意绘出满足题意的图像，最后根据图像进行计算即可得出结果．
【详解】因为 y  2 
4x  x2
，即
 2  y ， 2  y 2  4x  x2 ，
4x  x2
化简可得 y  22   x  22  4 (0 £ y £ 2) ，即以2, 2 为圆心、2 为半径的圆的一半，结合题意可绘出图像，如图所示：
当直线 y  x  b 过点4, 2 时， b  2 ；
当直线 y  x  b 与半圆 y  22   x  22  4 (0 £ y £ 2) 刚好相切时，
12 +12
2 - 2 +b
圆心到直线距离等于半径，即2 =
，解得b  2
或b  2
（舍去），
2
2

故实数b 的取值范围是2 2, 2 ，故选 B．
【点睛】本题考查直线与圆的相关性质，考查函数的几何意义，考查直线与圆相切的相关性质，考查点到直线距离公式的使用，考查推理能力与计算能力，考查化归与转化思想，是中档题．
若对圆(x  1)2  ( y  1)2  1 上任意一点 P(x, y),| 3x  4 y  a |  | 3x  4 y  9 | 的取值与 x，y 无关，则实数 a 的可能取值是（ ）
4
6
4D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】利用几何意义得到| 3x  4 y  a |  | 3x  4 y  9 |的取值要想与 x，y 无关，只需圆
(x  1)2  ( y  1)2  1 位于直线3x  4 y  a  0 与3x  4 y  9  0 之间，利用点到直线距离公式列出不等
式，求出 a 的取值范围，结合选项即可求解.
32  42
3x  4 y  a
32  42
3x  4 y  9

【详解】设 z  3x  4 y  a  3x  4 y  9  5 ，

设 d1 表示点 P(x, y) 到直线3x  4 y  a  0 的距离，
d2 表示点 P(x, y) 到直线3x  4 y  9  0 的距离，即 z  5d1  d2  ，显然3x  4 y  a  0 与3x  4 y  9  0 平行，
要使 z 为定值，则只需3x  4 y  a  0 与3x  4 y  9  0 分别在圆的两侧且3x  4 y  a  0 与圆相离或相
32  42
3  4  a
切，所以
 1，即 a 1  5 ，解得 a  6 或 a  4 ，
当 a  4 时， 3x  4 y  a  0 与3x  4 y  9  0 位于圆心的同一侧，不合要求，舍去；当 a  6 时， 3x  4 y  a  0 与3x  4 y  9  0 位于圆心的两侧，满足题意.
故 a  6 ，结合选项知选项 D 符合题意．
故选：D
已知定点 A 1 , 0  ，圆C 与 y 轴相切，直线2x  y  2  0 是圆C 的一条对称轴．若圆C 上存在两点 P, Q
 2

使得PAQ  π，则圆C 圆心的横坐标的取值范围是（ ）
3
A.  , 3  ∪  9 , 
B.  1 , 11 
2  2 2 2 

C. 0,1 ∪  3 , 

D.  1 , 17 
 2 2 2 

【答案】D
【解析】
【分析】设圆心C a, 2a  2a  0 ，求出 AP, AQ 与圆C 相切且PAQ  π时 a 的取值，即可得解.
3
【详解】由题意作图，由于圆心C 在直线2x  y  2  0 上，设C a, 2a  2a  0 ，又圆C 与 y 轴相切，所以圆的半径 R  a .
当点A 在圆上或圆内时，显然存在 P, Q 满足条件，此时CA  R ，当点A 在圆外时，
经分析，当 AP, AQ 与圆C 相切时， PAQ 取最大值，
由已知PAQ  π 时， CAP  CAQ  π ，此时 R  CA  2R  2 a ，
3
1 2


a  
2


 2a  2

2
所以CA  2R
所以
6
 2 a ，
整理得 a2  9a  17  0 ，所以 1  a  17 ，
422
 22 
即圆C 圆心的横坐标的取值范围为 1 , 17  .

故选：D.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．
已知直线l ： ax  3y  4  0 ， l ： x  a  2 y  a2  5  0 ，则（）
12
若 a  1 ，则l1 的一个方向向量为3, 1
若l1 //l2 ，则 a  1 或 a  3
若l
 l ，则 a  3
l 恒过定点0, 4
1221
【答案】AC
【解析】
【分析】将 a  1 代入，根据方向向量定义即可判断 A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断选项 B、
C；将l 化简得 y   a x  4 ，结合一次函数的性质可判断 D.
133
【详解】对于 A，当 a  1 ，直线l ： x  3y  4  0 ，斜率为 1 ，则其一个方向向量为3, 1 ，故 A 正
13
确；
对于 B，若l1 //l2 ，当 a  2 时，显然不符合题意，
当 a  2 时，即直线l 的斜率为 k   a ，直线l 的斜率为 k 
1 ，则有k
 k ，
1132
2a  212
所以 1   a ，解得 a  1 或 a  3 ；
a  23
当 a  1 时，直线l1 ： x  3y  4  0 ， l2 ： x  3y  4  0 ，显然两直线重合，故 B 错误；对于 C，若l1  l2 ，当 a  2 时，显然不符合题意；
当 a  2 时可得 k  k  1   a   1 ，解得 a  3 ，即 C 正确；
12a  2 3 2

对于 D，将l 化简得 y   a x  4 ，可知当 x  0 时，直线过 0,  4  ，即不论 a 为何值时，直线l 恒过
133
3 1

定点 0,  4  ，即 D 错误；
3 

故选：AC
已知直线： l : 3x  2 y  m  0 ，圆C : x2  y2  4x  y  1  0 ，则下列说法错误的是（ ）
4
13
13
若 m  5 或5 ，则直线 l 与圆 C 相切
若m  5 ，则圆 C 关于直线 l 对称
若圆 E : x2  y2  5 x  2 y  5 m  0 与圆 C 相交，且两个交点所在直线恰为 l，则 m  0
28
13
13
若 m  5 ，圆 C 上有且仅有两个点到 l 的距离为 1，则5  m  5  3
【答案】AC
【解析】
【分析】根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可判断 A，根据直线经过圆心即可判断 B，根
据两圆公共弦所在直线方程的求法即可判断 C，根据圆心C  2, 1  到直线 l 的距离 d r 1, r 1 ，即可
2 

得到不等式组，解出即可，即可判断 D.
1
1 2
【详解】圆C : x2  y2  4x  y   0  (x  2)2   y    4 ，
对于 A：直线与圆相切，则
4
 
3(2)  2  1   m
2
2 
，解得 m  5  2
，A 错误；
32  22
13
  2
对于 B：圆 C 关于直线 l 对称 圆心C  2, 1  在直线 l 上 3(2)  2  1  m  0 ，解得m  5 ，故
2 2

B 正确；
对于 C：圆 C 与圆 E 的方程作差得 3x  y  1  5 m  0 ，即3x  2 y  1  5 m  0 ，
24824
则 1  5 m  m ，解得 m  2 ，经检验此时圆 E : x2  y2  5 x  2 y  5  0 ，
2424
满足 D2  E2  4F  25  4  5  21  0 ，则 m  2 ，故 C 错误；
44
对于 D：圆 C 上有且仅有两个点到 l 的距离为 1，则圆心 C 到直线 l 的距离大于 1 且小于 3，
32  2  1   m
13
2

32  22
即1   3
，即
| m  5 | 3 13 ，
13
13
又 m  5 ，所以5  m  5  3
，D 正确；
故选：AC.
PA
PB
已知 A2, 0, B 6, 0, D 2, 2 ，点 P 满足
 1 ，设点 P 的轨迹为曲线C ， O 为坐标原点，则下
3
列说法正确的是（）
2
过点 B 作曲线C 的切线，切线长为6
当 A, B, P 三点不共线时， APO  BPO
在C 上存在点 M ，使得 MO  2 MA
5
PB  3 PD 的最小值为2
【答案】AB
【解析】
【分析】设动点坐标，根据
 1 可求得动点轨迹方程，A 选项，构造直角三角形，即可求得切线长；B
PA
PB
3
 x  22  y2
 x  62  y2
选项可知 PO 是△APB 内角∠APB 的角平分线， 即可得出结论；C 选项，可以求得动点 M 的轨迹，判断两曲线的位置关系来判断是否存在；D 选项，三点共线时和最小可以求解.
PA
PB
【详解】设 P 点坐标为(x, y) ，由
 1 ，则 3
 1 ，化简得
3
x2  y2  6x  0 ，所以动点轨迹是以C(3, 0) 为圆心， r  3 为半径的圆.
81  9
A 选项，过点 B 作曲线C 的切线，切线长为
 6
，A 选项正确.
2
B 选项，当 A, B, P 三点不共线时，由三角形内角平分线定理可知， PO 是△APB 内角∠APB 的角平分线，所以APO  BPO .故 B 选项正确.
x2  y2
 x  22  y2
C 选项，因为 MO  2 MA ，设 M (x, y) ，则
 2 ，化简得轨迹为(x 
8)2  y2
 16 ，所
39
以动点 M 的轨迹为圆心C (- 8 , 0) ，半径为 r  4 的圆，圆心距
2323
CC  1  r  r ，所以两圆位置关系为内含，所以在C 上不存在点 M ，使得 MO  2 MA ，故 C 错
232
误.
D 选项，因为
 1 ，所以 PB  3 PD  3 PA  3 PD
PA
PB
3
2  22  0  22
 3 PA  PD   3 AD  3
故选：AB.
 6 5 ，故 D 错误.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
已知中心在坐标原点的椭圆，其两个顶点分别为直线2x  3y  4 与 x 轴和 y 轴的交点，则该椭圆的离心率为．
【答案】 5 ## 15
33
【解析】
【分析】由题设求出椭圆的两个顶点得到 a, b ，再结合 a2  b2  c2 和离心率定义即可求解.
【详解】对直线2x  3y  4 ，令 x  0  y  4 ， y  0  x  2 ，
3
所以直线2x  3y  4 经过椭圆的两个顶点 0, 4  , 2, 0 ，
3 
故 a  2, b  4
3

c2
a2
b2
1
a2
5
，所以该椭圆的离心率为e  c ．
a3
故答案为：5
3
过点 P(4, 1) 作圆C : x2 + y2 +2x - 4 y - 4 = 0 的切线，切点为 A、B，则过切点 A，B 的直线方程为
．
【答案】5x  3y  2  0
【解析】
【分析】写出以 PC 为直径的圆的一般方程，与圆C 的方程相减，消去 x2 ， y2 即得所求直线方程.
【详解】如图：
圆C 的圆心坐标为1, 2 ，且 A、B 在以 PC 为直径的圆上，
由圆的直径式方程，得以 PC 为直径的圆的方程 x 1 x  4   y  2 y 1  0 
x2  y2  3x  y  6  0 .
（直径式方程应用直径对应圆周角为直角，利用向量垂直坐标表示得到），
所求直线 AB 方程为x2  y2  2x  4 y  4  x2  y2  3x  y  6  0  5x  3y  2  0 .
故答案为： 5x  3y  2  0
已知 A 为圆 M : ( x  3)2  y2  1
16
上的动点，B 为圆 N : ( x  4)2  y2  1 上的动点，P 为直线 y  x
4
上的动点，则 PB  PA 的最小值为．
17
【答案】
4
【解析】
【分析】作出圆 M 关于 y  x 对称的圆 M  ，数形结合得到 P, A, B 三点共线时， PB  PA 取得最小值，求出答案.
【详解】设 M 3, 0 关于直线 y  x 的对称点为 M 0, 3 ，
则圆 M 关于 y  x 对称的圆 M  的方程为 x2  ( y  3)2  1 ，
16
要使 PB  PA 的值最小，
32  42
则 P, A, B （其中 A 为A 关于直线 y  x 的对称圆 M  上的点）三点共线，
且该直线过 N , M ′ 两点，其最小值为 AB  M N
 1  1 
 3  17 ．
17
故答案为：
4
4244
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
已知V ABC 的三个顶点是 A(2, 3), B(1, 2), C(4, 4) ．
求 BC 边上的中线所在直线l1 的方程；
若直线l2 过点 C，且点 A，B 到直线l2 的距离相等，求直线l2 的方程．
【答案】（1） 8x  y 19  0
（2） x  y  8  0 或13x  5 y  32  0
【解析】
【分析】（1）先求出 BC 的中点坐标，然后利用两点式直线方程求出直线l1 的方程.
（2）当直线l2 与 AB 平行时，利用点斜式直线方程求解；当直线l2 经过 AB 中点时，利用两点式直线方程求解，即可得解.
【小问 1 详解】
因为 B(1, 2), C(4, 4) ，所以 BC 的中点为 5 , 1 ，
 2
y  3
故直线l1 的方程为 1 3

 x  2
5  2 ，整理得8x  y 19  0 ，
2
所以 BC 边上的中线所在直线l1 的方程为： 8x  y 19  0 ．
【小问 2 详解】
①当直线l2 与 AB 平行时，
因为 k
 3  2  1，故直线l 为 y  4  (x  4) ，即 x  y  8  0 ；
AB2 12
②当直线l 经过 AB 中点时， AB 中点为 3 , 5  ，
2 2
2
y  5
 

x  3
故直线l 的方程为 2  2 ，整理得13x  5 y  32  0 ，
24  54  3
22
所以直线l2 的方程为： x  y  8  0 或13x  5 y  32  0 ．
已知直线l 的方程为2m  1 x  m  1 y  7m  4  0 ．
求证：不论m 为何值，直线l 必过定点 M ；
过点 M 的直线l1 交坐标轴正半轴于 A, B 两点，当V AOB 面积最小时，求V AOB 的周长．
【答案】（1）证明见解析
10
（2） 8  2
【解析】
【分析】（1）将直线方程整理为关于参数m 的表达式，利用其对任意m 恒成立的条件，即可证明直线过定
点；
（2）通过直线过定点，设点斜式方程来求两坐标轴上的截距，再求面积，利用基本不等式求最小值，然后求出对应三角形的周长即可.
【小问 1 详解】
由2m 1 x  m 1 y  7m  4  0 可得， m 2x  y  7  x  y  4  0 ，
令2x  y  7  0,  x  3, 所以直线l 过定点 M 3,1 ．


x  y  4  0 y  1,
【小问 2 详解】
由（1）知，直线l1 恒过定点 M 3,1 ，
由题意可设直线l1 的方程为 y 1  k  x  3(k  0) ，直线l1 与 x 轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A, B ，
令 x  0 ，得 yB
 1 3k ；令 y  0 ，得 xA
 3  1 ．
k
9k   1 
k 

所以V AOB 的面积 S  1 1 3k  3  1   1 9k     1   6  1 2

 6  6 ，
2k 2 
k 
2 


当且仅当9k  1
k
，即 k   1 时等号成立，此时V AOB 面积最小，
62  (2)2
10
3
A6, 0, B 0, 2 ， AB 
 2，
10
10
V AOB 的周长为6  2  2 8  2．
10
所以当V AOB 面积最小时， V AOB 的周长为8  2．
已知圆 x2  y2  4 上一定点 A2, 0 ，点 B 1,1 为圆内一点， P, Q 为圆上的动点．
求线段 AP 中点的轨迹方程；
若PBQ  90 ，求线段 PQ 中点的轨迹方程．
【答案】（1）  x 12  y2  1 x  2
（2） x2  y2  x  y 1  0
【解析】
【分析】（1）设出线段 AP 的中点坐标，表达出 P 的坐标，代入 x2  y2  4 求出轨迹方程；
（2）由几何关系得到 PN  BN ，故OP2  ON 2  BN 2 ，得到轨迹方程.
【小问 1 详解】
设线段 AP 的中点 M 的坐标为 x, y  ， P 的坐标为 x0 , y0  x0  2 ，
x  2  x0
2x0  2x  2
∵ 0  y
，∴  y
 2 y，
 y  0  0
2
又 P  x0 , y0  在圆 x2  y2  4 上，
∴ 2x  22  2 y 2  4 ，化简得 x 12  y2  1 x  2 ，故线段 AP 中点的轨迹方程为 x 12  y2  1 x  2 ；
【小问 2 详解】
设 PQ 的中点为 N  x, y  ，
在Rt△PBQ 中， PN
 BN ，
设 O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥ PQ ，
22222
∴ OP ON PN ON BN ，
∴ x2  y2   x 12   y 12  4 ，化简得 x2  y2  x  y  1
故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2  y2  x  y 1  0
已知圆 C 过 A1,  7  ， B 6, 2 3 ，且圆心 C 在 x 轴上.
求圆 C 的周长；
3
若直线l 过点 D 2,10 ，且被圆 C 截得的弦长为4
，求直线l 的方程；
过点 C 且不与 x 轴重合的直线与圆 C 相交于 M，N，O 为坐标原点，直线OM ， ON 分别与直线
x  8 相交于 P，Q，记VOMN的面积为 S ， △OPQ 的面积为 S ，求 S1 的最大值.
S
12
2
【答案】（1） 8π
（2） x  2 或12x  5 y  74  0
（3） 1
4
【解析】
【分析】（1）由已知设圆的方程为( x  a)2  y 2  r 2 ，代入 A1,  7  ， B 6, 2 3 ，即可求解；
由已知根据勾股定理可得圆心 C 到直线l 的距离，分斜率存在和斜率不存在两种情况求解即可；
设直线OM 的斜率为 k k  0 ，联立直线OM 和圆 C 的方程，可得点 M 的坐标，根据MON  π
2
可得直线ON 的斜率，同理可求解点 N 的坐标，由此可知点 P, Q 的坐标，然后根据 S1
S2
结合
OM
OP
ON
OQ
基本不等式求解即可.
【小问 1 详解】
由圆心 C 在 x 轴上，设圆的方程为( x  a)2  y 2  r 2 ，

(1 a)2  7  r 2
又圆 C 过 A1, 
7 ， B 6, 2 3 得
(6  a)
，
2 12  r 2
解得 a  4 ， r  4 ，所以圆的方程为(x  4)2  y2  16 ，其周长为2πr  8π ；
【小问 2 详解】
3
16  2
3 2
因为直线与圆 C 截得的弦长为4，所以圆心 C 到直线l 的距离为
 2 ，
①若直线l 的斜率不存在时，直线l 与圆 C 交点为2, 2 3 ，
直线与圆 C 截得的弦长为4
，故直线 x  2 符合题意；
3
②若直线l 斜率存在时，设l : y 10  k  x  2 ，整理得l : kx  y 10  2k  0 ，
所以圆心 C 到直线l 的距离为
 2 ，解得 k   12 ，
k 2 1
10  2k
5
则直线l : y 10   12  x  2 ，即直线12x  5 y  74  0 ，
5
综上所述，直线l 的方程为 x  2 或12x  5 y  74  0 ；
【小问 3 详解】
因为原点O 在圆 x  42  y2  16 上，直线 MN 过圆心C ，且与 x 轴所在直线不重合，
， MON  π ，设直线OM 的斜率为 k k  0 ，则直线OM 的方程为 y  kx ，
2
 y  kx

由x2  y2  8x  0
，得1 k 2  x2  8x  0 ，
x  0
x 

8
1 k 2
解得 y  0 或8k，

 y 

1 k 2

则点 M 的坐标为
8, 8k ，
 1 k 2 1 k 2 

又直线ON 的斜率为 1 ，则直线ON 的方程为 y   1 x ，
kk
 y   1 x

由k，得1 k 2  x2  8k 2 x  0 ，
x2  y2  8x  0
8k 2
x  0x  1 k 2
解得 y  0 或8k，

 y  

1 k 2
 8k 28k

则点 N 的坐标为 1 k 2 ,  1 k 2  ，
8 
k
由题可知： P 8,8k  ， Q  8,   ，

OM
OP
ON
OQ
OM
ON
OQ
OP
故 S1 ，
S2
OM
OP
8
2
8k 2
又因为
 xM
 1 k 2 
1，
 xN
 1 k 2 k，
P
Q
x81 k 2x81 k 2
ON
OQ
Sk 2111
2 k 2  1  2

k 2
1 

所以 S2
k 4  2k 2  1
k 2  1
k 2
 24 ，
当且仅当 k 2  1
k 2
S1
，即 k  1 时等号成立，
1
2
所以 S 的最大值为 4 .
x2y26
19. 已知椭圆C :
a2b2
 1a  b  0 的离心率为
3 , F1、F2 分别为左右焦点，短轴一个端点到右焦点
3
F2 的距离为.
求椭圆C 的方程；
3 2
2
斜率为 1 的直线l 被椭圆C 截得的弦长为
，求直线l 的方程；
设直线l 与椭圆C 交于A 、 B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为 3 ，求V AOB 面积的最大值.
2
【答案】（1）
x2  2 
y
1
3
（2） y  x 1
（3） 3
2
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出 a, b, c 即可作答；
设直线l : y  x  m ，直线l 与椭圆的交点为 A x1, y1 , B  x2, y2  ，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式求解即可；
分 AB ⊥x 轴， AB 与 x 轴不垂直两种情况讨论求出弦长的最大值，进而求解即可.
【小问 1 详解】
设椭圆的半焦距为c ，依题意a 
3 ，而 c 6 ，
b2  c2

a3
解得c 
2, b  1 ，所以椭圆C 的方程为
x2  2
y
3
 1.
【小问 2 详解】
设直线l : y  x  m ，直线l 与椭圆的交点为 A x1, y1 , B  x2, y2  ，
 y  x  m

联立方程 x2
 3
 y2  1
，消去 y 得4x2  6mx  3m2  3  0 ，
则  36m2 16 3m2  3  0 ，解得2  m  2 ，
可得 x1  x2  
则 AB 
3m

2 , x1 x2
112

3m2 1
3m 2
  2   4 


3m2 1
4
，
4

x  x 4x x
12

2
1 2
2 
4  m2
6  3 2 ，解得 m  1，
22
所以直线l 方程为 y  x 1.
【小问 3 详解】
设 A x1, y1 , B  x2, y2  ，当 AB ⊥x 轴时，直线 AB : x  3 ，
2
3

x  
由2
，得 y  3 ，则 AB ；
3
2
x2  3y2  3
当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y  kx  m ，即 kx  y  m  0 ，
依题意，
 3 ，则 m2  3 k 2 1 ，
m
1 k 2
24
 y  kx  m

联立 x2
 y2  1
，得3k 2 1 x2  6kmx  3m2  3  0 ，
 3
则  36k 2m2  4 3k 2 13m2  3  36k 2 12m2 12  0 ，
x  x  6km , x x 
123k 2 11 2
当 k  0 时， AB 
3m2 1

1 k 2



36k m
2 2
12 m2 1




3k 1
2

2
3k 2 1


，
3k 2 1
1 k 2

x  x 4x x
21

2
1 2

12 k 2 13k 2 1 m2 
3k 2 12
3k 2 19k 2 1
3k 2 12

12k 2
3 
9k 4  6k 2 1


 2
3 
12
9k 2  1  6
k 2
3 
12
2 9k 2  1  6
k 2
，
当且仅当9k 2  1
k 2
，即 k  
3 时等号成立；
3
3
3

 y  
当 k  0 时，直线 AB : y  ，由2，
得 x 
2
3
3 ，则 AB ；
2
x2  3y2  3
1
2
max
综上所述， AB 2 ，
则V AOB 的面积 S

AB 
3  1  2 3 3 ，
V AOB
2222
所以V AOB 面积的最大值 3 .
2