安徽省A10联盟2026届高三上学期9月学情诊断试题 数学 含解析

这是一份安徽省A10联盟2026届高三上学期9月学情诊断试题 数学 含解析，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答.
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题其8小题.每小题5分.共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题意得，又，得．
故选：C．
2. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【详解】等价于或，
所以或，
解得或．
故选：A．
3. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由题意得，，故．
故选：B．
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】由，得，则，即，
由，得，则， ，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
5. 已知函数，且，则所在区间可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】令，则的定义域是，
，所以在上单调递减，
因为，则．
故选：B．
6. 设定义在上的函数的导函数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由题意得，，令，则，
所以上单调递减，则，
即，即．
故选：D．
7. 若实数a，b满足，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由，得，当且仅当或时，等号成立；
由，得，解得，
当时不满足，所以；
又，故，解得，
当且仅当或时，等号成立．
综上，．
故选：D．
8. 若不等式对恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【详解】令，则，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．
因为不等式对恒成立，所以，
则．
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分.有选错的得0分．
9. 已知，集合，或，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 不存在实数a，使得
【答案】ABD
【详解】由题意得，．
A.若，则，则，故A正确；
B.若，则或，解得或，故B正确；
C.，所以，解得，故C错误；
D.若，则，无解，故D正确．
故选：ABD．
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若关于x的不等式的解集为，则
B. 若函数和在区间上均单调递增，则函数在区间上不一定单调递增
C. 已知直线是曲线的一条切线，则
D. 若定义在R上的偶函数满足，且当时，，则
【答案】BC
【详解】关于x的不等式的解集为，且，解得，故A错误；
设，易得在上先减后增，故B正确；
由求导得，
设切点为，则，由①③可得，代入②，得，故C正确；
，是周期为4的周期函数．
是偶函数，且时．，
当时，，
，，故D错误．
故选：BC．
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数有相同的极小值
B. 若方程有唯一的实根，则m的取值范围为
C. 若，则
D. 当时，不等式恒成立
【答案】ACD
【详解】由题意，则时，时，
则在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为；
，则时，时，
则在上单调递减．在上单调递增，所以的极小值为，故A正确；
当时，，当时，，
所以当方程有唯一的实根时，或，故B错误；
由得，且，则，
由得，，即，
由，在上单调递增，得，则，故C正确；
由，得，即且．
令，在R上单调递增，且，则，即．
令，则，故时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，故D正确．
故选：ACD．
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【详解】由题意得，在上单调递增，且在上恒成立，
则，解得．
故答案为：
13. 已知正实数x，y满足，则的最小值为______．
【答案】
【详解】由题意得，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
14. 若函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【详解】有且仅有两个零点，故有两个解，
设，则直线与函数的图象有两个交点．
由，显然函数在上单调递增，
令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
作出函数图象如图所示，
其中，，则实数a的取值范围为．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）若的定义域为R，求m的取值范围；
（2）若的值域为R，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
函数的定义域为R，则在R上恒成立．
当时，在R上不恒成立，不符合题意；
当时，有，解得．
综上，m的取值范围为．
【小问2详解】
函数的值域为R，
则的值域必须包含．
当时，则的值域包含，符合题意；
当时，有，解得．
综上，m的取值范围为．
16. 已知二次函数．
（1）若不等式的解集为，求a和b的值；
（2）若．
（i）解关于x的不等式；
（ⅱ）若对任意恒成立，求x的取值范围．
【答案】（1）
（2）（i）答案见解析；（ⅱ）
【小问1详解】
由题意得，，1是方程的两根，
则，解得．
【小问2详解】
（i）若，则．
当时，，则不等式的解集为；
当时，，则不等式的解集为；
当时，，则不等式的解集为．
（ⅱ）若，则．
令，则在上恒成立，
所以，即，
解得或，
即x的取值范围为．
17. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数（为的导数）零点的个数；
（3）求证：当时，对恒成立．
【答案】（1）
（2）无零点 （3）证明见解析
【小问1详解】
由题意得，的定义域为，，
∴，则所求切线方程为，即．
【小问2详解】
由题意得，的定义域为，．·
令，则，
令，解得，令，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，∴恒成立，即函数无零点；
【小问3详解】
令，，
则，
令，则，
∵，∴，则当时，恒成立，
∴，即在上单调递减，
∴，
∴在上单调递减，
∴，
即．
18. 已知函数且的图象过点，．
（1）求a的值；
（2）当时，求方程的实数根；
（3）记函数在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，求k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
由题意得，，解得，因为，所以；
【小问2详解】
由（1）得，，当时，，
等价于，即，
即，所以，解得；
【小问3详解】
由（1）得，，当时，；
当时，在上单调递减，此时，
因为是必要条件，所以，
所以，解得；
当时，在上单调递增，此时，
因为，所以，解得；
综上，实数k的取值范围为.
19. 已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，，求a的取值范围；
（3）求证：．
【答案】（1）极大值，无极小值；
（2）；
（3）证明见解析
【小问1详解】
当时，，定义域为，
，
由，得；由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以函数有极大值，无极小值．
【小问2详解】
由题意得，．
①当时，，
令，则，
当时，，则在上单调递增，
所以，所以当时，，
所以，所以在上单调递增，
所以，所以满足题意．
②当时，令，
所以当时，，所以在上单调递减，
又，所以当时，，所以在上单调递减，
所以，所以不符合题意．
③当时，，所以在上单调递减，
所以，所以不符合题意．
综上，实数a的取值范围是．
【小问3详解】
由（2）得，当时，，所以．
当时，，所以．
令，得，即．
所以，
即．