河北省石家庄市长安区2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷（解析版）

这是一份河北省石家庄市长安区2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共12小题，每题3分，共36分）
1. 下列计算，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A、无法计算，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
2. 二元一次方程的正整数解有（ ）
A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组
【答案】C
【解析】∵由3x+2y=20可得，2y=20−3x，y=10−x，x，y是正整数．
∴根据题意，x是2的倍数，
则或或，共有3组．
故选：C．
3. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵分式有意义，
∴，
解得，．
故选D．
4. 若不等式组有解，则m的值可以是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】，
解不等式①得：，
这个不等式组有解，
，
观察四个选项可知，只有选项A符合，
故选：A．
5 一副三角板按图所示方式叠放，若FEBC，则∠α等于（ ）
A. 75°B. 95°C. 105°D. 115°
【答案】C
【解析】如图所示：
FEBC，
，
，
，
在的三角板中，，
是的一个外角，
，
故选：C．
6. 如果是一个完全平方式，则实数的值是（ ）
A. 16B. －16C. D.
【答案】D
【解析】由题意得：，
即，
则，
所以，
故选：D．
7. 若多项式与的乘积中不含的一次项，则的值( )
A. B. 2C. D. -2
【答案】B
【解析】
，
多项式与的乘积中不含的一次项，
，
解得，
故选：B．
8. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（ ）
A. 60°B. 10°C. 45°D. 10°或60°
【答案】D
【解析】分两种情况：
①如图1，当∠ADC=90°时，
∵∠B=30°，
∴∠BCD=90°-30°=60°；
②如图2，当∠ACD=90°时，
∵∠A=50°，∠B=30°，
∴∠ACB=180°-30°-50°=100°，
∴∠BCD=100°-90°=10°，
综上，则∠BCD的度数为60°或10°；
故选：D.
9. 为增强学生体质，感受中国的传统文化，某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，若将图1抽象成图2的数学问题：在平面内，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，延长DC交AE于点F，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
10. 下列分式是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．，故此选项不合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．是最简分式，故此选项符合题意．
故选：D．
11. 某校在为贫困学生献爱心活动中，已知七年级同学捐款总额为4800元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，且两个年级人均捐款额恰好相等．设八年级捐款人数为x人，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，找出等量关系：
设八年级捐款人数为x人，
∵两个年级人均捐款额恰好相等，
∴可得方程，
故选：B.
12. 如图，在三角形中，，平分，，，以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】∵，
∴，故①正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，而与不一定垂直，
∴不一定成立，故③错误；
∵，
∴和互余，和互余，而，
∴，故④正确．
故选：B．
二．填空题（本题共4个小题，每题3分，共12分）
13. 三角形的三边长分别为5，a，10，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】根据题意得：，
即．
故答案为：．
14. 已知a，b，c是的三边，，则的形状是___．
【答案】等腰三角形
【解析】∵，
∴，
，
∴，
∴，
所以此三角形是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形．
15. 对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有_____个．
【答案】3
【解析】∵
∴5＞≥4
解得，＞≥7
整数有7,8,9,共3个.
16. 将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图2，，，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，则所有满足条件的的值为_______．
【答案】30或120
【解析】由题意得，，，
（1）如图1，当时，延长交于点，
①在上方时，
，，，
，
，
，
，
，
即，
；
②在下方时，，
，，，
，
，
，
，
，
即，
（不符合题意，舍去）；
（2）当时，延长交于点I，
①在上方时，，
，，
，
，
，
，
，
即，
；
②在下方时，，
，，，
，
，
，
，
，
即，
（不符合题意，舍去），
综上，所有满足条件的的值为或．
故答案为：或．
三．解答题（共8小题，共72分）
17. 计算题
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）2x3y⋅-2x2y2÷2xy
=2x3y⋅4x4y2÷2xy
=8x7y3÷(2xy)
；
（2）
=19-1+-18×-182024×82024
=19-1+-18×-18×82024
=19-1+-18×1
；
（3）
．
18. （1）解方程组：．
（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．
（3）解分式方程：．
（4）先化简，再求值：，其中．
解：（1）x-4y=13①3x+2y=4②，
得：，
解得，
将代入，得：，
解得，
所以该方程组的解为：；
（2），
解不等式，得：，
解不等式，得：，
所以该不等式组的解集为：，其中整数解为：，0，1；
（3），
等号两边同乘，得：，
解得，，
检验：当时，=3×0-1=-3≠0，
所以是原分式方程的解；
（4）x+4x-4+x-32
，
由得：，
所以原式=2×-1-7=-9．
19. 计算下列各式：
（x﹣1）（x+1）= ；
（x﹣1）（x2+x+1）= ；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）= ；
…
（1）根据以上规律，直接写出下式的结果：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；
（2）你能否由此归纳出一般性的结论 （其中n为正整数）；
（3）根据（2）的结论写出1+2+22+23+24+…+235的结果．
解：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1；
故答案为：x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；
（1）由上面算式可知，（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7﹣1；
故答案为：x7﹣1；
（2）xn﹣1；
故答案为：xn﹣1；
（3）1+2+22+23+24+…+235
=（2﹣1）（235+234+233+…+2+1）
=236﹣1．
20. 如图，在中，点D，E分别在，上，且，．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
21. 下面是小博同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成下面的任务．
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
（1）在以上化简步骤中，第________步有错，错误的原因是__________；
（2）请写出该分式化简的正确过程．
解：（1）在以上化简步骤中，第二步有错，错误的原因是去括号时符号错误；
故答案为：二，去括号时符号错误；
（2）
=-（m+1）
=-m-1．
22. 某校计划购买篮球和排球两种球若干．已知购买2个篮球，3个排球，共需花费190元；购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同．
（1）求篮球和排球的单价；
（2）该校计划购买篮球和排球共30个．某商店有两种优惠活动（两种优惠活动不能同时参加），活动一：一律打九折，活动二：购物不超过600元时不优惠，超过600元时，超过600元的部分打八折．请根据以上信息，说明选择哪一种活动购买篮球和排球更实惠．
解：（1）设篮球每个x元，排球每个y元，根据题意得：2x+3y=190且3x=5y，
解得x=50，y=30.
答：篮球每个50元，排球每个30元；
（2）设购买篮球m个，则购买排球（30﹣x）个，
价值：50m+30（30﹣m）=900+20m，
因为900+20m＞600，所以可以参加活动二；
按活动一需付款：0.9（900+20m）=810+18m；
按活动二付款：600+0.8（900+20m﹣600）=840+16m；
若活动一更实惠：810+18m＜840+16m，m＜15；
若活动一和活动二一样实惠：810+18m=840+16m，m=15；
若活动二更实惠：810+18m＞840+16m，m＞15；
综上所述，当0＜m＜15时，选择活动一更实惠；
当m=15时，两个活动一样实惠；
当m＞15时，选择活动二更实惠．
23. 现有甲，乙，丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲，乙纸片各1块，其面积和 ．
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块．
（3）从这些纸片中选取几张，用它们拼成一个面积为的长方形请画出所拼的长方形．
解：（1）取甲，乙纸片各1块，其面积和为；
故答案为：.
（2）∵甲纸片1块和乙纸片9块的面积之和为：，且是完全平方式，
∴要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形时，还需取丙纸片6块，
故答案为：6．
（3）∵，
∴所拼的长方形的长为，宽为，
画出所拼的长方形为
24. 【初步认识】
（1）如图①，在△ABC中，BO、CO分别平分、．求证：．
【继续探索】
（2）如图②，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，设，．BO、DO分别平分、．
①若，，求的度数；
②用含m、n的式子直接表示的度数为______°．
（3）如图③，BO、CO分别平分、．射线CO与的平分线所在的直线相交于点H（不与点D重合）．直接写出点H在不同位置时，与之间满足的数量关系（用含m、n的式子表示）．
（1）证明：∵BO、CO分别平分、，
∴，．∵，
∴．
∵，∴．
∴．
（2）解：根据第（1）问建立模型，延长DE、BC交于点F，可将图②补形成下图：
①由题（1）可知．
∵，
，，
∴．
∴．
②同理可得：；
（3）解：当点H在△ABC内时，，
设交于点，
，
，
，
，
当点H在△ABC外时，．
如图，设交于点，
，
，
.人数
捐款总额
人均捐款额
七年级
x-20
4800
八年级
x
5000