2026湖北省部分高中协作体高二上学期9月联考数学试题含解析

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本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟.
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考
证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置.
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
4、考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设集合 ， ，则集合 的元素个数为（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】联立求出 ，得到答案.
【详解】联立 ，解得 或 ，
所以 ，集合 的元素个数为 2.
故选：C
2. 已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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【详解】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意结合对数函数的性质可知：
， ， ，
据此可得： .
本题选择 D 选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数
不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，
若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指
数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
3. 已知 ，若关于 的方程 有三个实根，则实数 的取值
范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解方程得 或 ,再根据 图象确定满足条件时 的取值范围.
【详解】因为 ，所以 或 ,
的图象如图所示，
由图象得 有一个实根 0，
所以要使 有两个不同非零实根，只需 ，
故选：C.
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4. 已知函数 ，设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦函数的单调性比较大小即可；
【详解】解：因为
令
解得
∴函数 在 上是减函数，
因为
∴ ，即
故选：A
【点睛】本题主要考查余弦函数的单调性，属于基础题．
5. “勾 3 股 4 弦 5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾 3 股 4 弦
5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了 500 多年，如图，在矩形 ABCD 中，△ABC 满足“勾 3 股 4 弦 5”，
且 AB=3，E 为 AD 上一点，BE⊥AC.若 =λ +μ ，则λ+μ的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
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【分析】建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设 ，由 可得 ，
再由 ，利用坐标表示建立方程组求解即可.
【详解】解：由题意建立如图所示直角坐标系
因为 AB=3，BC=4，则 B(0，0)，A(0，3)，C(4，0)，
， ，设 ，
因为 BE⊥AC，
所以 ，解得 .
由 ，得 ，
所以 解得
所以 ，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示，属于基础题.
6. 已知 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ， ， ，则 （ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理得 ，化简即得解.
【详解】由正弦定理得 .
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故选：D
【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识 理解掌握水平.
7. 若直线 a 不平行于平面 ，且 ，则下列结论成立 是（ ）．
A. 内的所有直线与 a 是异面直线 B. 内不存在与 a 平行的直线
C. 内存在唯一一条直线与 a 平行 D. 内的所有直线与 a 都相交
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线和平面的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设 ，
A 选项， 内过 点的直线与 共面，所以 A 选项错误.
D 选项， 内，不过 点的直线与 异面，所以 D 选项错误.
BC，若存在 ，则由于 ，
所以 ，这与已知矛盾，所以 B 选项正确，C 选项错误.
故选：B
8. 为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，乡政府采用按比例分层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分
村民参与环保调研，已知甲村和乙村人数之比是 ，被抽到的参与环保调研的村民中，甲村的人数比乙
村多 8 人，则参加调研的总人数是（ ）
A. 16 B. 24 C. 32 D. 40
【答案】A
【解析】
【分析】根据分层抽样的要求计算即可.
【详解】设被抽取参与调研的乙村村民有 人，则根据分层抽样按两村人口比例，甲村被抽取参与调研的有
人，
所以 ，即 ，所以参加调研的总人数 .
故选：A
二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符
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合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列各图中，能表示函数 的图象的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合函数的对应关系直接判断即可.
【详解】对 A：多个 对应一个 ，可以是函数；
对 B：在 轴左侧或右侧，一个 对应多个 ，不是函数；
对 C：一个 对应一个 ，可以是函数；
对 D：为不连续的点函数.
故选：ACD
10. 已知复数 均不为 0，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】设出 、 ，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得.
【详解】设 、 ；
对 A：设 ，则 ，
，故 A 错误；
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对 B： ，又 ，即有 ，故 B 正确；
对 C： ，则 ，
， ，则 ，
即有 ，故 C 正确；
对 D：
，
，
故 ，故 D 正确.
故选：BCD.
11. 有一组样本数据 ， ，…， ，由这组数据得到新样本数据 ， ，…， ，其中
( 为非零常数，则（ ）
A. 两组样本数据 样本平均数相同
B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同
D. 两组样本数据的样本极差相同
【答案】CD
【解析】
【分析】A、C 利用两组数据的线性关系有 、 ，即可判断正误；根据中位数、
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极差的定义，结合已知线性关系可判断 B、D 的正误.
【详解】A： 且 ，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为 ，则第二组的中位数为 ，显然不相同，错误；
C： ，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为 ，则第二组的极差为
，故极差相同，正确；
故选：CD
三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分
12. 定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，当 时，
，则 ________________.
【答案】340
【解析】
【分析】利用条件可得 的周期，再利用函数解析式和周期性计算出 至 ，再利用
，从而将目标转化为一个周期内的函数值的运算.
【详解】因为 ，所以 的周期 ，
当 时， ，则 ， ，
则 ， ，
当 时， ，则 ， ， ， ，
则 ， ，
则 ，
，
而 ，
所以
．
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故答案为：340.
13. 如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为 的正 ，粮堆母线 的中点 P 处有一老鼠正在
偷吃粮食，此时小猫正在 B 处，它要沿圆锥侧面到达 P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________
m．
【答案】
【解析】
【分析】结合圆锥的侧面展开图，根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，得到 ，利用勾
股定理，即可求解.
【详解】如图所示，根据题意可得 为边长为 的正三角形，
所以 ，
所以圆锥底面周长 ，
根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，可得 ，
故 ，则 ，
所以 ，
所以小猫所经过的最短路程是 ．
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故答案为：
14. 若 三点共线，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】由三点共线转换为向量共线来做，根据向量共线定理列出方程即可得解.
【详解】 ，且 三点共线，
存在实数 ，使得 ．
即 ，
解得
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分
15. 已知二次函数 ．
（1）若 在区间 上是减函数，求 a 的取值范围．
（2）若 ，设函数 在区间 的最小值为 ，求 的表达式．
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【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分 和 两种情况讨论，结合而二次函数性质分析求解；
（2）分 、 和 三种情况，结合二次函数性质分析求解.
【小问 1 详解】
由题意可知： ，且二次函数 的对称轴为 ，
若 ，则 ，解得 ；
若 ，则 ，符合题意；
综上所述：a 的取值范围 .
【小问 2 详解】
因为 ，则 开口向上，且 的对称轴为 ，
若 ，即 时，则 在区间 上单调递增，
可得 ；
若 ，即 时，则 在区间 上单调递减，
可得 ；
若 ，即 时，则 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
可得 ；
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综上所述： .
16. 已知函数 ．
（1）化简 的表达式；
（2）求函数 的最小正周期和单调递增区间．
【答案】（1）
（2）最小正周期为 ，单调递增区间为 ，
【解析】
【分析】（1）结合二倍角公式，辅助角公式化简函数解析式；
（2）根据周期公式求周期，结合正弦函数的单调性求函数 的单调递增区间.
【小问 1 详解】
因为 ，
又 ，
所以 ．
【小问 2 详解】
函数 的最小正周期为 ，
令 ， ,
则 ， ,
所以函数 的单调递增区间为 ，
17. 已知 A、B、C 分别为△ABC 的三边 a、b、c 所对的角，向量 ，
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且 .
（1）求角 C 的大小：
（2）若 sinA，sinC，sinB 成等差数列，且 ，求边 c 的长．
【答案】（1） ；（2）6.
【解析】
【详解】试题分析：（1）由向量数量积坐标运算得 ，又 三角形的三个内角，所
以有 ，因此 ，整理得 ，所以所求角 的大小为 ；（2）由等
差中项公式得 ，根据正弦定理得 ，又 ，得 ，
由（1）可得 ，根据余弦定理得 ，即 ，
从而可解得 .
（1）
在 中，由于 ，所以 .
又 ， ，又 ， .
而 ， .
（2） 成等差数列， ，由正弦定理得 .
， .由（1）知 ，所以 .
由余弦定理得 ， ， .
.
考点：1.正弦、余弦定理；2.向量数量积.
18. 如图，正方体 的棱长为 4，点 M 为棱 的中点，P，Q 分别为棱 ， 上的
点，且 ，PQ 交 于点 N．
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（1）求证： 平面 ABCD；
（2）求多面体 的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）方法一：由题意证得 ，再由线面平行的判定定理即可证明；
方法二：建立如图所示 空间直角坐标系，由空间向量的坐标表示求出 ，即
可证明；
（2）方法一：由设多面体 BDMPQ 的体积为 V，连接 DP，则
，代入计算即可求出答案；
方法二：建立空间直角坐标系，由空间向量夹角公式求出 的值，即可求出 ，表示出
，再求出点 到平面 的距离，即可得出答案.
【小问 1 详解】
方法一：
∵ ， ，∴ ．
∴ ，即点 N 为线段 的中点．
过点 N 作 于点 E，则 ，且 ，
∴ ，且 ，∴四边形 AMNE 为平行四边形，
∴ ．又∵ 平面 ABCD， 平面 ABCD，∴ 平面 ABCD．
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方法二：
建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
， ，
∴ ， ．
∵ ， ，∴点 N 为 的中点，则 ，
∴ ，
∴ 与 ， 共面，且 平面 ABCD，
∴ 平面 ABCD．
【小问 2 详解】
方法一：
设多面体 BDMPQ 的体积为 V，连接 DP，则
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．
方法二：∵ ， ， ， ，则 ，
∴ ，且 ，
∴四边形 PQDM 为平行四边形，且 ， ．
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
设 为平面 DMPQ 的法向量，则
令 ，则 ， ，即 ，
∴点 到平面 的距离为 ，
∴四棱 B-DMPQ 的体积为 ．
19. 如图，已知平行六面体 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， ，
.
（1）求线段 的长；
（2）求异面直线 与 所成角 余弦值；
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（3）求证： .
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）选择以 为起点的三个向量作为基底，利用基向量表示 ，再利用模长公式进
行求解；
（2）设异面直线 与 所成的角为 ，则 ，
再利用空间向量的模长公式、数量积公式进行求解；
（3）利用空间向量的数量积为 0 进行证明.
【小问 1 详解】
设 ， ， ，
则 ， ， ，
.
因为 ，
所以
，
所以线段 的长为 .
【小问 2 详解】
设异面直线 与 所成的角为 ，
则 ，
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因为 ， ，
所以
，
，
则
，
即异面直线 与 所成的角的余弦值为 .
【小问 3 详解】
证明：因为 ， ，
所以 ，
所以 ，即 .
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