2024—2025学年度天津市南开区高二上学期第一次月考数学试题[含解析]

这是一份2024—2025学年度天津市南开区高二上学期第一次月考数学试题[含解析]，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．与向量平行的一个向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．直线的倾斜角是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
3．已知向量，分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若，则l与α所成的角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
4．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ）
A．B．C．D．
5．设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知点和，在轴上求一点，使最小，那么点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．已知点是棱长为2的正方体的底面上一点，则的最小值为（ ）
A．B．0C．D．
8．已知点的坐标分别为，，直线与线段的延长线相交，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．关于空间向量，以下说法正确的有（ ）
①若直线的方向向量，平面的法向量，则
②若对空间中任意一点，有，则四点共面
③设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
④若空间四个点满足，则三点共线
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题）
10．直线在两坐标轴上的截距相等，则实数 .
11．已知直线的方程为，若直线的斜率为1，则的值为 .
12．无论为何值，直线恒过一定点，则点的坐标为 .
13．已知，，，若三向量共面，则实数 .
14．如图，正方体的棱长为1，分别是棱的中点，点P在对角线上运动，则的面积的最小值为 .
15．直线l：ax+（a+1）y+2=0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共5小题）
16．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是，且经过点；
(2)经过，两点；
(3)在轴、轴上的截距分别为；
(4)经过点，且平行于轴.
17．已知直线垂直于直线，直线与两坐标轴围成的三角形周长为5，求直线的方程.
18．直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．
19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求与平面所成角的余弦值.
20．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.是的中点，是的中点.

(1)求证平面；
(2)求平面与平面的夹角余弦值；
(3)棱上是否存在点，使其到平面的距离为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由.
答案
1．【正确答案】B
【详解】对于A，由于，所以与向量不共线，故A不正确；
对于B，由题意得向量，则其与向量共线，故B正确；
对于C，由于，所以与向量不共线，故C不正确．
对于D，由题意得向量，则其与向量不共线，故D不正确．
故选：B．
2．【正确答案】A
【详解】因为的斜率，
所以其倾斜角为30°.
故选：A.
3．【正确答案】B
【详解】解：设l与α所成的角为θ，
则sin θ＝，
∴θ＝60°，
故选：B．
4．【正确答案】A
【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为.
故选：A.
5．【正确答案】C
【详解】解：当时，：，：，，可得两直线平行；
若与平行，则，解得或舍，
故为充要条件，
故选：C.
6．【正确答案】D
【详解】对于点关于轴的对称点为.已知，那么关于轴的对称点.设直线的方程为.
根据两点求斜率公式，可得.
把和代入得，解得.
所以直线的方程为.
因为点在轴上，令，代入得，解得.
所以点的坐标为.
故选：D.
7．【正确答案】C
【详解】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，
以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则点，设点的坐标为，由题意可得，，
，
由二次函数的性质可得，当时，取得最小值，
故选：C.
8．【正确答案】A
【详解】如下图所示，

由题知，
直线过点.
当时，直线化为，一定与相交，所以，
当时，，考虑直线的两个极限位置.
（1）经过，即直线，则；
（2）与直线平行，即直线，则，
因为直线与的延长线相交，
所以，即，
故选；A.
9．【正确答案】B
【详解】对于①，，则.线面垂直的向量法判定或,故①错误；
对于②，若对空间中任意一点，有，
因为，所以四点共面，故②正确；
对于③，由向量的加法法则可知：，所以不能构成空间的一组基底，故③错误；
对于④，若空间四个点，由共线向量定理可知:三点共线，故④正确.
故选：B.
10．【正确答案】1或
【详解】依题意，，令，则，令，则，
因此直线在轴上的截距分别为，
于是，解得或，
所以实数或，
故1或.
11．【正确答案】
【详解】由直线的斜率为1，得，解得，
所以的值为.
故
12．【正确答案】2,3
【详解】化简直线方程为关于的方程，
因为直线恒过定点，所以，
解得，则定点的坐标为.
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】因为，，且三向量共面，
设，即.
根据向量相等的条件，对于向量，则，，.
所以可得方程组.由可得，将代入中，得到，即，解得.因为，所以.
又因为，，所以.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】正方体的棱长为1，以A为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，的中点，
，，则，
设，，
由与共线，可得，所以，所以，其中，
因为，
，
所以，所以，即是动点到直线的距离，
由空间两点间的距离公式可得，
所以当时，取得最小值，此时为线段的中点，
由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点.此时.
故答案为.
15．【正确答案】
【详解】当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；当a≠－1时，直线l的斜率为，只要>1或者