2024-2025学年天津市第二南开学校高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市第二南开学校高二（上）第一次月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.与向量a=(−12,−32,1)平行的一个向量的坐标是( )
A. (1,−3,−2)B. (1,3,−2)C. (−12,32,−1)D. ( 2,3,−2 2)
2.直线x− 3y+1=0的倾斜角为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
3.已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cs=− 32，则l与α所成的角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
4.在空间直角坐标系Oxyz中，与点(−1,2,1)关于平面xOz对称的点为( )
A. (−1,−2,1)B. (−1,2,1)C. (−1,−2,−1)D. (1,−2,−1)
5.设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y−4=0与直线l2：x+(a+1)y+2=0平行”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知点A(−3,6)和B(1,2)，在x轴上求一点M，使|AM|+|BM|最小，那么点M的坐标为( )
A. (−2,0)B. (1,0)C. (4.4,0)D. (0,0)
7.已知点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD上一点，则PA⋅PC1的最小值为( )
A. −12B. 0C. −2D. −1
8.已知点P，Q的坐标分别为(−1,1)，(2,2)，直线l：x+my+m=0与线段PQ的延长线相交，则实数m的取值范围是( )
A. (−3,−23)B. (−3,−23)∪(12,+∞)
C. (13,32)D. (−2,13)∪(13,32)
9.关于空间向量，以下说法正确的有( )
①若直线l的方向向量a=(0,1,−1)，平面的法向量n=(1,−1,−1)，则l⊥α
②若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，则P，A，B，C四点共面
③设{a,b,c}是空间中的一组基底，则{a−b,b+c,a+c}也是空间的一组基底
④若空间四个点P，A，B，C满足PC=14PA+34PB，则A，B，C三点共线
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.直线x+ay+1+a=0在两坐标轴上的截距相等，则实数a= ______．
11.已知直线l的方程为(m2−2m−3)x−(2m2+m−1)y+6−2m=0，若直线l的斜率为1，则m的值为______．
12.无论k为何值，直线l：(2k−1)x+(k+1)y−7k−1=0恒过一定点P，则点P的坐标为______．
13.已知a=(2,1,−1)，b=(−1,1,0)，c=(1,0,λ)，若a,b,c三向量共面，则实数λ= ______．
14.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，M，N分别是棱AB，BB1的中点，点P在对角线CA1上运动，则△PMN的面积的最小值为______．
15.直线l：ax+(a+1)y+2=0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是________．
三、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是 3，且经过点A(3, 3)；
(2)经过A(−1,5)，B(2,−1)两点；
(3)在x轴、y轴上的截距分别为−3，−1；
(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴．
17.(本小题9分)
已知直线l垂直于直线3x−4y−7=0，直线l与两坐标轴围成的三角形周长为5，求直线l的方程．
18.(本小题10分)
直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．
19.(本小题10分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，PA=AB=2，M，N分别为AB，PC的中点．
(1)求证：MN⊥平面PCD；
(2)求异面直线PD与MC所成角的余弦值；
(3)求PD与平面PMC所成角的余弦值．
20.(本小题10分)
已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB//CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA1=2，AD=DC=1.N是B1C1的中点，M是DD1的中点．
(1)求证D1N//平面CB1M；
(2)求平面CB1M与平面BB1CC1的夹角余弦值；
(3)棱BB1上是否存在点P，使其到平面CB1M的距离为2 1111？若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.B
2.A
3.B
4.A
5.C
6.D
7.C
8.A
9.B
10.1或−1
11.−2
12.(2,3)
13.−13
14. 316
15.{a|a0}
16.解：(1)若直线的斜率是 3，且经过点A(3, 3)，
由点斜式，则该直线的方程为y− 3= 3(x−3)，即 3x−y−2 3=0；
(2)若直线经过A(−1,5)，B(2,−1)两点，
由两点式，则该直线的方程为y−5−1−5=x−(−1)2−(−1)，即2x+y−3=0；
(3)若直线在x，y轴上的截距分别是−3，−1，
由截距式，则该直线的方程为x−3+y−1=1，即x+3y+3=0；
(4)若经过点B(4,2)，且平行于x轴，则y=2，即y−2=0．
17.解：由直线l垂直于直线3x−4y−7=0，设直线l的方程为4x+3y−b=0，
则直线l交x轴于点A(b4,0)，交y轴于点B(0,b3)，
故|OA|=|b|4,|OB|=|b|3，|AB|= |OA|2+|OB|2=5|b|12，
依题意，有|b|4+|b|3+5|b|12=5，解得b=±5，
所以直线l的方程为4x+3y−5=0或4x+3y+5=0．
18.解：显然P(2,2)到x轴的距离是三角形的高，故三角形的高是2，
而S△=12×底×高=12×底×2=2，
∴三角形的底是2，即直线l与x轴的交点是(2,0)或(−2,0)，
∴当直线l与x轴的交点是(2,0)时，直线m的方程是：x=2，
直线l与x轴的交点是(−2,0)时，直线的斜率为2−02+2=12，
故直线的方程为y−2=12(x−2)，即x−2y+2=0．
故答案为：x=2或x−2y+2=0．
19.解：(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD=AB，PA⊥AB，PA⊂平面PAB，
则PA⊥平面ABCD，由ABCD为正方形，得AB⊥AD，
以点A为原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，

而M，N分别为AB，PC的中点，
则C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，M(1,0,0)，N(1,1,1)，
于是MN=(0,1,1),PD=(0,2,−2),DC=(2,0,0)，
则有MN⋅PD=0,MN⋅DC=0，
即MN⊥PD，MN⊥CD，
而PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD，
所以MN⊥平面PCD；
(2)由(1)知，PD=(0,2,−2),MC=(1,2,0)，
所以异面直线PD与MC所成角的余弦值为：
|cs〈PD,MC〉|=|PD⋅MC||PD||MC|=42 2⋅ 5= 105；
(3)由(1)知，PD=(0,2,−2),MC=(1,2,0),MP=(−1,0,2)，
设平面PMC的一个法向量为n=(x,y,z)，
则有n⋅MC=x+2y=0n⋅MP=−x+2z=0，取z=1，得n=(2,−1,1)，
设PD与平面PMC所成角为θ，
则sinθ=|cs〈n,PD〉|=|n⋅PD||n||PD|=4 6⋅2 2= 33，
所以PD与平面PMC所成角的余弦值csθ= 1−sin2θ= 63．
20.解：(1)证明：在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，
取CB1中点Q，连接NQ，MQ，
由N是B1C1的中点，得NQ//CC1，且NQ=12CC1，
由M是DD1的中点，得D1M=12DD1=12CC1，且D1M//CC1，
则D1M//NQ，D1M=NQ，
于是四边形D1MQN是平行四边形，D1N//MQ，
又MQ⊂平面CB1M，D1N⊄平面CB1M，
所以D1N//平面CB1M；
(2)在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，
A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，则直线AB，AD，AA1两两垂直，
以A为原点，直线AB，AD，AA1分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，B1(2,0,2)，M(0,1,1)，C(1,1,0)，C1(1,1,2)，
则有CB1=(1,−1,2)，CM=(−1,0,1)，BB1=(0,0,2)，
设平面CB1M的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，
则有m⋅CB1=x1−y1+2z1=0m⋅CM=−x1+z1=0，取x1=1，得m=(1,3,1)，
设平面BB1CC1的一个法向量为n=(x2,y2,z2)，
则有n⋅CB1=x2−y2+2z2=0n⋅BB1=2z2=0，取x2=1，得n=(1,1,0)，
则cs〈m,n〉=m⋅n|m|⋅|n|=1+3 1+9+1⋅ 1+1=2 2211，
所以平面CB1M与平面BB1CC1的夹角余弦值为2 2211；
(3)假定在棱BB1上存在点P，使其到平面CB1M的距离为2 1111，
设P(2,0,t)，0≤t≤2，则PB1=(0,0,2−t)，
由(2)知，平面CB1M的一个法向量为m=(1,3,1)，
则|PB1⋅m||m|=2−t 1+9+1=2 1111，解得t=0，
即点P(2,0,0)与点B重合，
所以在棱BB1上存在点P与点B重合，
使其到平面CB1M的距离为2 1111．