2024—2025学年度内蒙古包头市高二上学期期中考试数学[含解析]

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1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知两条直线，若与平行，则实数（ ）
A．B．3C．或3D．1或
4．如图，在正方体中，，分别为棱和的中点，则和所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
5．与圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．在四棱锥中，底面，底面是正方形，.则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（ ）
A．B．C．5D．10
8．已知球的表面积为，若球与正四面体的六条棱均相切，则此四面体的体积为（ ）
A．B．C．D．8
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知椭圆的左、右焦点分别是、，点为椭圆上一点且，则下列关于椭圆的结论正确的有（ ）
A．离心率为B．长轴长为8
C．的周长为18D．的面积为9
10．已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积最小值为
B．M为圆C上一动点，则最小值为
C．最短时，弦直线方程为
D．最短时，弦长为
11．已知圆和圆.设为平面上的点，满足：存在过点的无数对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，下列所有满足条件的点的坐标有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．一动圆与圆：内切，且与圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是 ．
13．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示，已知直线的方程为，则点到直线的距离为 .
14．已知椭圆，点，，为其长轴上从左到右的3个四等分点，分别过这三点作斜率为的一组平行线，交椭圆于，，，，，，则6条直线，，，…的斜率乘积为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．的三个顶点是，，，求：
(1)边上的高所在直线的方程；
(2)边的垂直平分线的方程；
(3)外接圆的方程.
16．已知圆，直线.
(1)求证：直线恒过定点；
(2)直线被圆截得的弦何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长；
(3)在（2）的条件下，求以短弦长为直径的圆的方程.
17．已知椭圆的上顶点为，两个焦点为、，半焦距为，原点到经过，两点的直线距离为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，求的周长.
18．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段，的中点，在平面ABC内的射影为.
(1)求证：平面BDE；
(2)若点F为棱的中点，求点到平面BDE的距离；
(3)若点F为线段上的动点（不包括端点），求平面FBD与平面BDE夹角的余弦值的取值范围.
19．“曲线”：由半椭圆与半椭圆组成，其中，.如图，设点是相应椭圆的焦点，和分别是“曲线”与轴的交点，为线段的中点.
(1)若等边三角形的重心坐标为，求“曲线”的方程；
(2)设是“曲线”的半椭圆上任意的一点.求证：当取得最小值时，在点或处；
(3)作垂直于轴的直线与“曲线”交于两点，求线段中点的轨迹方程.
答案
1．【正确答案】D
【详解】由直线得其斜率为，
设直线的倾斜角为（），则，
所以，所以直线的倾斜角为，
故选：D
2．【正确答案】B
【详解】由题意
，
又，
.
故选：B
3．【正确答案】A
【详解】直线平行，则，
所以.
故选：A
4．【正确答案】B
【详解】分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，设正方体棱长为2，
则，，，，
，
，
所以和所成角的余弦值为，
故选：B．

5．【正确答案】C
【详解】解：设圆心关于直线对称的点的坐标为，
所以，解得，故对称圆的圆心为，对称圆的半径和原来的圆一样，
故对称圆的方程为；
故选：C．
6．【正确答案】A
【详解】在四棱锥中，平面，且四边形为正方形，
以为坐标原点，分别以AB，AD，为，，轴， 建立如图所示空间直角坐标系.

则B1,0,0，D0,1,0，P0,0,1，C1,1,0，
从而，PD=0,1,−1，，
设平面的法向量为n=x,y,z，则，令，则，
设直线与平面所成的角为，则.
故选：A
7．【正确答案】C
【详解】直线过定点，直线，即过定点，
又，即直线与直线垂直，
因此，则，
当且仅当时取等号，所以的最大值为5.
故选：C
8．【正确答案】B
【详解】由球的表面积为，得，球半径，
以正四面体的棱为正方体的面对角线，将该正四面体放到正方体中，则正方体的内切球即与正四面体的六条棱均相切，
正方体的棱长为，所以此四面体的体积为.
故选：B
9．【正确答案】ACD
【详解】由椭圆方程可知：，所以，
所以：离心率，所以选项A正确；
长轴，所以选项B错误；
由椭圆的定义可知：，
所以的周长为，所以选项C正确；
设，所以，因为，
所以由勾股定理可得：，即：，
化简得：，
解之得：或，即：或，
所以的面积为： ，故选项D正确.
故选：ACD.
10．【正确答案】ACD
【分析】根据已知，结合图形，利用直角三角形、圆的性质、直线方程以及点到直线的距离公式、勾股定理计算求解.
【详解】对于A，由切线长定理可得，又因为，所以，
所以四边形的面积，
因为，当时，取最小值，且，
所以四边形的面积的最小值为，故A正确；
对于B，因为，所以最小值为，故B错误；
对于C，由题意可知点，，在以为直径的圆上，设，
其圆的方程为：，
化简为，与方程相减可得：，
则直线的方程为，当最短时，，则，
解得，故直线的方程为，故C正确；
对于D，当最短时，圆心C到直线的距离，
所以弦长为，故D正确.
故选：ACD.

难点点睛：解答本题的难点在于C的判断，解答时要注意结合圆的公共弦方程的求解，求出直线AB方程，然后利用垂径定理求出弦长.
11．【正确答案】AB
【详解】设点坐标为，
由存在过点P的无数对互相垂直的直线和，得一定有无数对直线和的斜率存在，
设直线的方程分别为，
即：，
由直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，又两圆半径相等，
得圆心到直线与圆心到直线的距离相等，，
化简得，或，
关于的方程有无穷多解，则或，解得或，
所以点坐标为或.
故选：AB
12．【正确答案】
由圆与圆的位置关系可得，再由椭圆的定义即可得解.
【详解】由题意，圆：的圆心为，半径为，
圆：的圆心为，半径为，
设动圆的圆心，半径为，
动圆与圆：内切，与圆：外切，
所以，，
所以，
所以的轨迹是以原点为中心，焦点在轴上的椭圆，且，，
所以，
椭圆的方程为.
故．
13．【正确答案】
【分析】由题设直线经过点，且为一个方向向量，易得，应用点线距离的向量求法求点到直线的距离.
【详解】由题设，直线为，经过点，且为一个方向向量，
所以，故到直线的距离为.
故2
14．【正确答案】
【详解】不妨设左右顶点的坐标分别为，
，，为其长轴上从左到右的3个四等分点，故与原点重合，
设椭圆上任意一点坐标为Px0,y0，且Px0,y0不与重合，即，
则，所以，
则，
由对称性可知，，故，
同理可得，
所以6条直线，，，…的斜率乘积为.
故答案为.
15．【正确答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）直线的斜率，
所以边上的高所在直线的方程，即.
（2）直线的斜率，线段的中点，
所以边的垂直平分线的方程为，即.
（3）线段的中点，则边的垂直平分线的方程为，即，
由，解得，因此外接圆的圆心为，半径，
所以外接圆的方程为.
16．【正确答案】(1)证明见解析；
(2)当的方程为时最短；，最短弦长为；
(3)
【详解】（1）直线的方程可化为，由，解得，
所以直线恒过定点.
（2）圆的圆心，半径，
令点，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，
直线的斜率为，由得直线的斜率为，解得
此时的方程为，即，
圆心到直线的距离为，最短弦长为
所以当的方程为时最短；，最短弦长为.
（3）由（2）知，以短弦长为直径的圆的圆心为，半径为，
所以以短弦长为直径的圆的方程.
17．【正确答案】(1)；
(2)13.
【详解】（1）依题意，不妨令，，则，又是直角三角形，
于是，解得，
所以椭圆的离心率.
（2）由（1）知，，，椭圆的方程为，
如图所示，，，即为正三角形，
又过且垂直于的直线与C交于D，E两点，则为线段的垂直平分线，
直线的斜率为，直线的方程：，
由消去并整理得：，
，，
解得，得，由垂直平分线段，得，
因此的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为
.
18．【正确答案】(1)证明过程见解析
(2)
(3)
【详解】（1）连接，因为在平面ABC内的射影为，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，⊥，
因为为边长为2的等边三角形，D是线段的中点，
所以⊥，
因为，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为，四边形为平行四边形，
所以平行四边形为菱形，故⊥，
因为D，E分别是线段，的中点，所以，
故⊥，
因为，平面，
所以⊥平面；
（2）由（1）知，两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为⊥，D是线段的中点，
所以由三线合一可得，
又，故为等边三角形，
，
由（1）知，⊥平面；故平面的一个法向量为，
点到平面BDE的距离；
（3）点F为线段上的动点（不包括端点），设，
，则，故，故，
设平面的法向量为，
则，
解得，令，则，故，
又平面的一个法向量为，
故，
令，
则，
因为，故，
，
平面FBD与平面BDE夹角的余弦值取值范围是.
19．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）解：因为等边的重心坐标为，
.
在半椭圆中，
由，
，
解得，
因此“曲线”的方程为.
（2）证明：设Px,y，则，.
，开口向下，
对称轴为：，
当或时，
取得最小值时，即在点或处.
（3）由题可知，直线的斜率，则设直线，
设在上，
当时，.
设在半椭圆上，
当时，.
的中点为,
即线段中点的轨迹方程为.