2024-2025学年内蒙古包头市高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年内蒙古包头市高二上学期期末考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.斐波那契数列1，1，2，3，5，8，⋯⋯，按此规律，则第9项为( )
A. 13B. 21C. 34D. 55
2.直线3x+4y−3=0关于x轴对称的直线方程为( )
A. −3x+4y−3=0B. 3x−4y−3=0
C. −3x−4y−3=0D. 4x−3y−3=0
3.已知四面体OABC，M，N分别是棱OA，BC的中点，且OA=a，OB=b，OC=c，则向量MN用a，b，c表示为( )
A. 12a+12b+12cB. 12a−12b−12c
C. −12a+12b−12cD. −12a+12b+12c
4.过三点A(1,2)，B(3,2)，C(1,−6)的圆的标准方程为( )
A. (x−2)2+(y+2)2=17B. (x+2)2+(y−2)2=17
C. (x−2)2+(y+2)2=25D. (x+2)2+(y−2)2=25
5.已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64，则这个等比数列的公比为( )
A. 2或12B. 12或−12C. 12D. 2
6.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)一条渐近线的倾斜角为π6，则此双曲线的离心率为( )
A. 2B. 33C. 2 33D. 4 33
7.如图，棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，则点A到平面A1BD的距离是( )
A. 13B. 32C. 2 33D. 33
8.在平面直角坐标系xOy中，已知圆A:(x−3)2+y2=100(圆心为A)，点B(−3,0)，点P在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则点Q的轨迹方程为( )
A. x216+y27=1B. x225+y216=1C. x27+y216=1D. x216+y225=1
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则下列判断正确的是( )
A. 有一条切线方程为y=1B. 有一条切线方程为3x−4y−5=0
C. OP⊥ABD. 四边形OAPB的面积为2
10.已知a>0，b>0，a≠b，则关于双曲线C1:x2a2−y2b2=1与双曲线C2:y2a2−x2b2=1，下列说法中正确的是( )
A. 有相同的焦距B. 有相同的焦点C. 有相同的离心率D. 有相同的渐近线
11.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且满足a1>0，S8=S11，则下列描述正确的是( )
A. S9是唯一最大值B. S10是最大值C. S19=0D. a10=0
12.已知直线y=x−1过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F，且与抛物线相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)(A在第一象限)两点，则下列说法正确的是( )
A. 抛物线方程为y2=4x
B. 弦AB长为4
C. y1⋅y2=−4
D. 过点A作准线的垂线，垂足为A′，则A′，O，B三点共线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，则折纸后异面直线AC与BD所成角的大小为 ．
14.当抛物线x2=y上一点P到直线y=x−3的距离最短时，点P的坐标为 ．
15.已知数列{an}满足a2=3，an+1=1+an1−an，则数列{an}前8项的和为 ．
16.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=5|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知圆C1:x2+y2+2x+8y−8=0，圆C2:x2+y2−4x−4y−2=0．
(1)求圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程;
(2)求圆C1与圆C2的公共弦长．
18.(本小题12分)
如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别是AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA各棱的中点．
(1)求证：A1C⊥平面EFGHKL;
(2)求DA与平面EFGHKL所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
若数列{an}的首项a1=1，且满足an+1=2an+1，
(1)证明数列{an+1}为等比数列;
(2)设bn=1lg2(an+1)，求数列{bn⋅bn+1}的前n项和．
20.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，AD=2 2，M为BC的中点．
(1)求证：AM⊥BP;
(2)求平面PCD与平面APM夹角的余弦值．
21.(本小题12分)
已知F1，F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点P(− 2, 33)在椭圆C上，且PF1⊥F1F2．
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知A(0,2)，B(−1,0)，若过点A的直线l与椭圆C交于M，N两点，若BM⊥BN，求出直线l的方程．
22.(本小题12分)
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=2Sn+2(n∈N∗).
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列?若存在，求出这样的3项;若不存在，请说明理由．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.A
5.A
6.C
7.D
8.B
9.ACD
10.AC
11.BCD
12.ACD
13.90°
14.(12,14)
15.73
16.(1,32]
17.解：(1)∵圆C1：x2+y2+2x+8y−8=0，圆C2：x2+y2−4x−4y−2=0，
∴两圆相减，得圆C1和圆C2公共弦所在直线方程为：x+2y−1=0；
(2)圆C1：x2+y2+2x+8y−8=0的圆心C1(−1,−4)，半径r=5，
圆心C1(−1,−4)到直线x+2y−1=0的距离d=|−1−8−1| 1+4=2 5，
∴公共弦长|AB|=2 25−20=2 5．
18.(1)证明：如图，
以点D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
依题意，设正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为a，(a>0)
则A1(a,0,a)，C(0,a,0)，K(0,0,a2)，L(a2,0,0)，E(a,a2,0)，
A1C=−a,a,−a，KL=a2,0,−a2，LE=a2,a2,0，
所以A1C·KL=0，A1C·LE=0，
则A1C ⊥KL，A1C ⊥LE，
又KL、LE⊂平面EFGHKL，KL∩LE=L，
所以A1C⊥平面EFGHKL．
(2)解：由(1)可知A1C⊥平面EFGHKL，
则A1C=−a,a,−a是平面EFGHKL的法向量，
又D(0,0,0)，A(a,0,0)，
则DA=a,0,0，
所以csDA,A1C=−a2 3a·a=− 33，
则DA与平面EFGHKL所成角的正弦值为 33．
19.解：(1)依题意：an+1+1=2(an+1)，所以an+1+1an+1=2，
故数列{an+1}是以首项a1+1=2，公比为2的等比数列;
(2)由(1)可知an+1=2⋅2n−1，an=2n−1，bn=1lg2 (an+1)=1n
故bn⋅bn+1=1n(n+1)=1n−1n+1，
故其前n项和Tn=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1．
20.解：(1)证明：∵PD=DC=2，AD=2 2，M为BC的中点，
∴ADAB=ABAM= 2，又四棱锥P−ABCD的底面是矩形，
∴∠DAB=∠MBA=π2，
∴Rt△DAB∽Rt△ABM，∴∠DBA=∠AMB，
又∠MBD+∠DBA=π2，∴∠MBD+∠ANB=π2⇒AM⊥DB，
∵PD⊥底面ABCD，AM⊂底面ABCD，
∴PD⊥AM，又DB∩PB=B，且DB，PB⊂平面PBD，
∴AM⊥平面PBD，
BP⊂平面PBD，
所以AM⊥BP；
(2)∵PD⊥平面ABCD，又AD，DC⊂平面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥DC，又四棱锥P−ABCD的底面是矩形，
∴AD⊥DC，∴建立如下图所示的空间直角坐标系，则根据题意可得：
D(0,0,0),P(0,0,2),A(2 2,0,0),M( 2,2,0)，
∴PA=(2 2,0,−2)，MA=( 2,−2,0)，DA=(0,2 2,0)，
设平面APM的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅PA=2 2x−2z=0n⋅MA= 2x−2y=0，取n=( 2,1,2)，
平面PCD的法向量为DA=(0,2 2,0)，
∴平面PCD与平面APM所成角的余弦值为：
|cs|=|DA⋅n||DA||n|=2 22 2× 7= 77．
21.解：(1)因为点P− 2, 33在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，
所以c= 22a2+13b2=1a2=b2+c2，解得a2=3,b2=1．
故椭圆C的方程为x23+y2=1．
(2)易知直线l的斜率不为0，故设直线l的方程为x=my−2，
联立x23+y2=1,x=my−2可得m2+3y2−4m2y+4m2−3=0．
由Δ=16m4−4m2+34m2−3=361−m2>0，可得−1