2025-2026学年高二数学上学期第一次月考02(北京专用)(快进度)

这是一份2025-2026学年高二数学上学期第一次月考02(北京专用)(快进度)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若 ，则（ ）
A． B． C．5D．2
圆心为，且半径为的圆的方程是（ ）
B．
C．
D．
已知两个向量，且，则（ ）
B．
C． D．
已知直线方程，则可知直线恒过定点的坐标是（ ）
B．
C．
D．
在四面体 中，点是靠近的三等分点，记，则 （ ）
C．
B．
D．
已知圆 和圆 ，则它们的位置关系是（ ）
外离B．相切
C．内含D．相交
“ ”是“直线与平行”的（ ）
充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
已知直线： 和直线 ：，则与间的距离最短值为（ ）
C．
A．1B．D．2
已知直线，圆 ，若直线上存在两点，圆 上存在点 ，使得
，且，则的取值范围是（ ）
C．
B．D．
在平面直角坐标系中，已知点满足，记 为点到直线的距离.当变化时， 的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
直线的倾斜角为.
已知空间向量，则.
已知长方体的底面是正方形， ， ， 为棱的中点，则
.
已知点 P 是圆 上的动点，直线：， ：，记 P 到直线，的距离分别为 ，（若 P 在直线上，则记距离为 0），
的最大值为；
若当点 P 在圆上运动时，为定值，则 m 的取值范围是．
如图，正方体的棱长为 1，线段上有两个动点 ，且.则下列结论中正确的有
①．当 向 运动时，二面角的大小不变
②．二面角 的最小值为
③．当 向 运动时， 总成立
④．在方向上的投影向量为
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14 分）已知向量 ，，
求的值；
求；
求的最小值.
17．（13 分）已知 的三个顶点， ，.
求过点 且与直线平行的直线的方程；
求边的高线所在直线的方程.
，
，
18．（14 分）已知向量.
（Ⅰ）当时，若向量 与垂直，求实数和的值；
（Ⅱ）若向量与向量， 共面，求实数的值.
19．（15 分）已知圆上三点坐标分别为．
求该圆的一般方程；
求弦 BC 垂直平分线的方程；
求 的面积．
20．（15 分）已知点和圆 C： .
求圆 C 的圆心坐标及半径的大小；
求过点 P 且与圆 C 相切的直线方程；
若直线：与圆 C 交于 O，A 两点，直线： 与圆 C 交于 O， 两点,且，求证：直线 AB 恒过定点.
21．（15 分）如图，在长方体中，和交于点 E，F 为 AB 的中点.
求证： 平面；
再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
平面与平面 的夹角的余弦值；
点 A 到平面 的距离.条件①： ；
条件②：与平面所成角为.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷 02
全解全析
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若 ，则（ ）
A．
B．
C．5
D．2
【答案】A
【解析】若
，所以
，
故
.
故选：A.
圆心为，且半径为的圆的方程是（ ）
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由已知圆心为
，且半径为，
则圆的方程是
.
故选：D.
已知两个向量 ，且 ，则（ ）
B．
【答案】B
【解析】向量
，且
，则存在实数 ，使得
，
即
，所以
,解得
,
故
，
故选：B
4．已知直线方程
，则可知直线恒过定点的坐标是（ ）
C．D．
A．B．
C．
D．
【答案】B
【解析】直线
，即
，令
，解得
，
所以直线
恒过点
.
故选：B
在四面体 中，点是 靠近的三等分点，记，则（ ）
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：点 是靠近 的三等分点，
.
故选：D.
已知圆和圆，则它们的位置关系是（ ）
外离B．相切
【答案】B
【解析】圆
的圆心为
，半径为
，
圆
化简为标准方程为
，故其圆心为
，半径为
，
故
，
故圆 与圆 的位置关系为相切.
故选：B.
C．内含D．相交
“ ”是“直线与平行”的（ ）
充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若直线
，则
，解得：.
所以“”是“直线
的充分必要条件.
故选：C
已知直线 ： 和直线 ： ，则 与 间的距离最短值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】C
【解析】因为直线 ：
即为
，
可知直线 与直线 平行，
则 与 间的距离
，
当且仅当时，等号成立，
所以 与 间的距离最短值为.
故选：C.
已知直线，圆 ，若直线上存在两点，圆上存在点 ，使得
，且，则的取值范围是（ ）
C．
B．D．
【答案】C
【解析】由
，得点 在以线段为直径，中点
为圆心的动圆上，
令圆 的圆心为 ，则
，当且仅当
时取等号，
而点 在圆 上，则圆 与圆 必有公共点，显然点 在圆 外，于是
，
又
有最小值 2，无最大值，因此 无最大值，
，
所以 的取值范围是
.
故选：C
在平面直角坐标系中，已知点满足，记 为点到直线 的距离.当 变化时， 的最大值为（ ）
【答案】C
【解析】直线
过定点
，
对于任意确定的点 ，
A．1B．2C．3D．4
当
时，此时
，
当不垂直 时，过点 作
，此时
，如图所示：
因为
，所以
，所以
，
由上可知：当 确定时，
即为，且此时
；
又因为 在如图所示的正方形上运动，所以
，
当取最大值时， 点与
重合，此时
，
所以
，
故选：C.
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11．直线
的倾斜角为
.
【答案】0/
【分析】根据直线与坐标轴平行可得倾斜角.
【解析】因为直线
与 轴平行，所以直线
的倾斜角为 .
故答案为：
已知空间向量，则.
【答案】
【分析】利用空间向量的坐标运算，来求向量的模.
【解析】由
，
故答案为：
.
已知长方体的底面是正方形， ， ， 为棱 的中点，则
.
【解析】解：以、、
所在直线分别为 轴, 轴， 轴建立空间坐标系，如图所示：
则
,
,
,
所以
，
所以
.
故答案为： .
14．已知点 P 是圆
上的动点，直线 ：
， ：
，记 P 到直线 ，
的距离分别为 ，（若 P 在直线上，则记距离为 0），
的最大值为；
【答案】
3
【解析】（1）圆
，圆心
，半径为 ，
圆心到直线 的距离
，
所以 P 到直线 的距离 的最大值为
；
（2）
若当点 P 在圆上运动时， 为定值，则 m 的取值范围是．
当
时，两直线重合，不符题意；当
时，直线 ， 平行，
若当点 P 在圆上运动时，
为定值，所以圆在两平行线之间，此时直线 与圆相离，
所以
，解得
或
，
又因为当
时，直线 ， 在圆同侧，不符合题意，所以
，
故答案为：3，
.
15．如图，正方体
的棱长为 1，线段上有两个动点
，且
.则下列结论中正
确的有
①．当 向运动时，二面角的大小不变
②．二面角 的最小值为
③．当 向运动时， 总成立
④． 在 方向上的投影向量为
【答案】①②④
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
因为在上，且，故可设，，，所以，.
对于①，连接，平面即为平面，而平面即为平面，故当 向运动时，二面角的大小不变，①对；
对于②，设平面的法向量为，又，所以
取，则，所以是平面的一个法向量，又平面的一个法向量为，所以，
设二面角的平面角为 ，则 为锐角，故，
因为，故，所以，
当且仅当时取最大值，此时 取最小值，②对； 对于③，因为，
故不恒为零，③错；
对于④，因为，，所以，故在方向上的投影向量为
，④对.
故选：①②④.
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14 分）已知向量 ，，
求的值；
求；
【解析】（1）因为
，
，
所以
，
又因为
，
所以
.
（2）因为
，
，
所以
.
（3）因为
，
，
所以
，
所以
，
当
时，
取得最小值，则
最小值为.
求的最小值. 16．（14 分）
17．（13 分）已知的三个顶点 ， ，.
求过点 且与直线 平行的直线的方程；
【解析】（1）由
，
可知
，
故所求直线 的方程为
，
即
.
求 边的高线所在直线 的方程. 17．（13 分）
（2）易知
，
则所求直线的斜率为，
故所求直线 的方程为
，
即
.
，
.
18．（14 分）已知向量，
（Ⅰ）当时，若向量 与 垂直，求实数 和 的值；
【解析】解：(Ⅰ)因为
,所以
.
且
.
因为向量
与 垂直,
所以
.
即
.
所以实数 和 的值分别为 和.
(Ⅱ)因为向量 与向量 ， 共面,所以设
（
）.
因为
,
所以
所以实数 的值为.
（Ⅱ）若向量 与向量 ， 共面，求实数 的值. 18．（14 分）
19．（15 分）已知圆上三点坐标分别为 ．
求该圆的一般方程；
求弦 BC 垂直平分线的方程；
求 的面积．
19．（15 分）
【解析】（1）设圆的一般方程为
.
将
，
，
分别代入方程可得：
解得
，
，
.
所以圆的一般方程为
.
（2）先求中点坐标，
，
，中点坐标为
.
，则弦垂直平
分线的斜率为.
根据点斜式可得弦垂直平分线的方程为
，即
.
（3）
.
直线的方程为
，即
.
点
到直线
的距离
.
所以
的面积
.
20．（15 分）已知点 和圆 C： .
求圆 C 的圆心坐标及半径的大小；
求过点 P 且与圆 C 相切的直线方程；
若直线：与圆 C 交于 O，A 两点，直线 ： 与圆 C 交于 O，两点,且 ，求证：直线 AB 恒过定点.
【解析】（1）由题可知，
所以圆 的圆心为，半径为 .
（2）当过点
直线斜率不存在时，为
，显然此时与圆 相切；
当过点
直线斜率存在时，设为
，若与圆 相切，
则有
20．（15 分）
所以过点 P 且与圆 C 相切的直线方程为
，
.
（3）由题可知，
显然可以竖直，但是不能水平，故设的直线方程为
，
联立
得
所以有
所以
由题可知，
所以有
所以此时
此时的直线方程为
故过定点
.
21．（15 分）如图，在长方体 中，和 交于点 E，F 为 AB 的中点.
求证： 平面；
再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
平面与平面 的夹角的余弦值；
点 A 到平面 的距离.条件①：；
条件②： 与平面所成角为.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 21．（15 分）
【解析】（1）连接相交于点 G，连接 EG，则 G 是的中点，由长方体的性质知，点 E 是的中点，
所以，，
而 F 是 AB 的中点，且，，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）选择条件①：， 以 D 为原点建立空间直角坐标系，
设，则，
所以，
若，则，解得，
（ⅰ），
所以，
设平面 CEF 的法向量为，则，令 x=1，则，所以，
设平面 BCE 的法向量为，则，令 b=1，则，所以，
所以，
故平面 CEF 与平面 BCE 的夹角的余弦值为.
（ⅱ），
由（ⅰ）平面 CEF 的法向量为，
所以点 A 到平面 CEF 的距离为.
选择条件②：B1D 与平面 ADD1A1 所成角为 ，以 D 为原点建立空间直角坐标系，
设，则 D（0，0，0），B1（2，t，2），
所以，
平面的一个法向量为，因为与平面所成角为 ，
所以，解得，
（ⅰ），
所以，
设平面的法向量为，则，令，则，所以，
设平面的法向量为，则，令，则，所以，
所以，
故平面 CEF 与平面 BCE 的夹角的余弦值为.
（ⅱ）
，
由（ⅰ）平面
的法向量为
，
所以点 A 到平面
的距离为
.