2025长春外国语学校高一下学期期末考试数学A卷含答案、答题卡

吉林省普通高中G8教考联盟2024-2025学年下学期期末考试高一年级 数学学科参考答案2 13. 14. 单选题1.【答案】D【详解】，故虚部为．故选：D2.【答案】A【详解】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为，由，得，又，所以，解得，；所以圆锥的高为.故选：A.3.【答案】C【详解】由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为右起第二个矩形下底边的中点值，直线左右两边矩形面积相等，而直线左边矩形面积大于右边矩形面积，则，又数据分布图左拖尾，则平均数小于中位数，即，所以.故选：C.4.【答案】C【详解】在中，由，，可得，结合已知和正弦定理可得：，解得，因为在点C测得塔顶A的仰角为，所以，故选：C.5.【答案】D【详解】对于A，若，，则或，A错误，对于B，如图，在正方体中，记为平面，为平面，为直线，为直线，由正方体性质易知，，但是与不垂直，B错误；对于C，若，，则或，C错误；对于D，过直线作平面分别交于直线，因为，，所以，所以，由线面平行的判定定理可知，因为，，所以，所以，D正确.故选：D.6.【答案】D【详解】解：由右图可知，偏爱民宿用户对小红书平台的选择占比为，则偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最高，故A正确；在被调查的酒店用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和为，在被调查的民宿用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和为，则在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等，故B正确；小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比为，携程旅行的占比为，携程旅行的占比略高于小红书占比，故C正确；在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比分别为和，抖音的占比分别为和，则酒店预订方面同程旅行占比高，民宿预订方面抖音的占比高，故D错误．故选：D．7.【答案】B【分析】根据题意确定基本事件，再应用独立乘法公式及互斥事件加法求概率即可.【详解】第4次仍然由甲投掷分为四类：第一类，前三次均为甲中，概率为；第二类，第一次甲中，第二次甲不中，第三次乙不中，概率为；第三类，第一次甲不中，第二次乙中，第三次乙不中，概率为；第四类，第一次甲不中，第二次乙不中，第三次甲中，概率为．所以第4次仍然由甲投掷的概率为．故选：B8.【答案】C【详解】∵分别表示与方向的单位向量，∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线，∵，∴的平分线与垂直，故.取的中点，连接，则， 由题意得，，∴.  如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，故.设，则，∴，∴，，∴，当时，取得最小值，最小值为.故选：C.多选题9.【答案】AD【详解】A选项，因为点的坐标为在第二象限，则对应的点为，所以在第三象限，故A选项正确；对于B，若，，，但，故B不正确；对于C，设，因为，所以，所以所以，故C不正确；对于D，因为，所以复数是方程在复数范围内的一个解，故D正确.故选：AD.10.【答案】ABD【详解】由题意得共有个基本事件，第一次向上的点数是1有，共6种情况，由古典概型概率公式得，第二次向上的点数是偶数有，共种情况，由古典概型概率公式得，两次向上的点数之和是8有，共5种情况，由古典概型概率公式得，而事件表示第一次向上的点数是且第二次向上的点数是偶数，符合条件的有，共3种，则，对于A，由已知得，，满足，则与相互独立，故A正确，对于B，事件表示第一次向上的点数是1和两次向上的点数之和是8至少有1个发生，符合条件的有，，共11个，故，满足，可得与互斥，故B正确，对于C， 题意得共有个基本事件，则表示第二次向上的点数是偶数且两次且向上点数之和是8，符合条件的有，共3种，则，故C错误.对于D，由概率加法公式得，即D正确，故选：ABD11.【答案】ACD【详解】A选项，如图，取的中点，连接，因为为的中点，所以且，又矩形中，为的中点， 故且，所以，且，所以四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，所以平面，A正确；B选项，连接，若⊥，而⊥，，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，所以是直角三角形，所以斜边，因为，所以矛盾，所以不可能有，B错误；C选项，由B知，，故异面直线与所成的角等于与所成的角，其中⊥，，，，由勾股定理得，所以，故异面直线与所成的角的余弦值为，C正确；D选项，当平面⊥平面时，三棱锥的体积最大，取的中点，的中点，连接，因为，所以⊥，且，又平面平面，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为，由勾股定理得，又，所以，由勾股定理逆定理得，故，其中，所以，故即为三棱锥的外接球的球心，半径为1，三棱锥的外接球的表面积是，D正确.故选：ACD填空题【答案】 2【详解】在向量上的投影向量为..13.【答案】【详解】根据题意可知，这个刍童为棱台则棱台的高为，由题意其上下底面的面积分别为，由棱台体积公式有.故答案为：.14.【答案】【详解】依题意，由正弦定理可得，即；所以，又因为为锐角三角形，所以，即，又，且，可得，；易知；显然，由对勾函数性质可知在上单调递增，所以可得.故所求范围为四、解答题15.【答案】(1)；(2)8.【详解】在中，由正弦定理及得：， ——————————2分由余弦定理得， ——————————— 4分而，解得： ——————————— 5分因为AD是的中线，故，于是得，————————7分而AD=2，则有，————11分当且仅当时取“=”， ————————12分因此当时， ————————13分16.【答案】(1)；(2)平均数为74,上四分位数为84；(3)平均数为62，方差为37.【详解】由每组小矩形的面积之和为1，得，解得， ————————3分（2）由.估计样本成绩的平均数为74. ————————6分成绩在内的频率为，在内的频率为，显然上四分位数，由，解得，所以上四分位数为84. ——————————9分（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，所以， ——————————11分总方差为. —————15分17.【答案】(1)证明见解析 (2)【详解】证明：连接因为，为中点，所以，————————1分因为为正方形，所以，——————————2分又平面，平面，且，所以平面， ——————————4分又平面，所以. ——————————5分（2）（方法一：几何法）解：由（1）得，，所以为二面角的平面角，即，————————6分因为，故，又，则，因为，可得，又，且平面，平面，则平面， ————————————8分故，又，且，故，所以 ————————————10分因为所以设D到平面的距离为，因为故，所以 ——————————————13分设与平面所成角为，则故 ——————————————15分（方法二：向量法）解：由（1）得，，所以为二面角的平面角，即，-----------------------------------6分，则，又，则，因为，可得，又，且平面，平面，则平面，则两两互相垂直，----------------------------------------------8分建立如图所示空间直角坐标系，有，则，-----------------------------------------------11分设平面的法向量，则，即为，取，-----------------------------------------12分设平面与所成角为，则，--------------14分，故平面与所成角的余弦值为．---------------------15分18.【答案】(1) (2) (3)【详解】（1）因为每次是否通过互不影响，甲同学通过第一轮的概率分别为，通过第二轮的概率为，甲进入决赛的概率，所以甲没有进入决赛的概率； ————————3分（2）已知甲､乙两名同学通过第一轮的概率分别为，通过第二轮的概率分别为，甲只通过一轮的概率为：；————————5分乙只通过一轮的概率为：，————————7分因为甲、乙的比赛情况相互独立，故甲､乙均只通过一轮的概率————9分（3）甲进入决赛的概率为；乙进入决赛的概率为，——————11分两人都不进入决赛的概率为，甲､乙两人中至少有一人进入决赛的概率为，—————13分两人均进入决赛的概率为， ——————14分因为，所以，即，——————16分所以. ——————17分19.【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接，因为为的中点，N为PD中点，所以又，所以所以四边形为平行四边形，——————2分故，而平面，平面，所以平面． ————————4分（方法一：几何法）取的中点，连接由为等边三角形，得，且而平面平面，平面平面，平面，则平面， ——————————6分连接CO，则，且，，所以中CD边上的高为，故设点A到平面PCD的距离为，因为所以，解得 ————————9分因为M为AP中点，所以M到PCD的距离为. ————————10分假设线段PD上存在一点E，满足题意，过E点作于点F，则，故过F点作于点H，连接HE，则为二面角的平面角，即为平面与平面夹角，所以，———————12分设，则，,因为，所以， ————————14分即， ————————16分解得，即，所以 ——————————17分（方法二：空间向量法）（2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得，而平面平面，平面平面，平面，则平面，由，得四边形是平行四边形，于是，而，则，直线两两垂直，--------------------6分以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，--------------------------7分设平面的法向量为，则，取，得，--------------8分所以到平面的距离，因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，即.----10分（直接求M到平面的距离采分点一致）（3）令，--------------------------------------------------------11分，，设平面的法向量为，则，取，得，---------------------------------------------13分平面的法向量为，--------------------------------------------------------------14分于是，---------------------------------------16分化简得，又，解得，即，所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，.-----------------------------------17分1234567891011DACCDDBCADABDACD