河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高三上学期8月开学考试数学试题

这是一份河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高三上学期8月开学考试数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知复数满足，则复数的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知是圆锥底面的直径，为底面圆心，为半圆弧的中点，，分别为线段，的中点，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
8．已知 ，，直线 与曲线 相切，则 的最小值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．在数列中，已知．当时，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．是等比数列D．
10．如图，函数的导函数的图象经过点，和，对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递增
C．在处取得极小值D．在处取得极小值
11．函数是物理中常见的锯齿波函数，其中表示不大于x的最大整数，标准锯齿波波形先呈直线上升，随后陡落，再上升，再陡落，如此反复．下列说法正确的有（ ）
A．B．函数的最小正周期为
C．函数的值域为D．函数为周期函数
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为 .
13．过抛物线上一点作切线与轴交于点，直线被圆截得的弦长为，则点的坐标为 .
14．在中，，，，为边上一点，，，，则的最小值为
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在平面四边形中，.
(1)求的值；
(2)求的正弦值；
(3)若，求中边上高的长度.
16．如图，在三棱锥中，是等边三角形，，，点D在上，，平面．
(1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值．
17．已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C.
(1)直线与圆相切于点Q，求的值；
(2)求曲线C的方程；
(3)过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标.
18．已知函数．
(1)当时，证明：恒成立；
(2)若对于任意的，都有恒成立，求实数的取值范围．
19．已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，特别规定：若时，．
(1)若，写出，及的值；
(2)若数列是等差数列，求数列的通项公式；
(3)设集合，，求证：且．
参考答案：
1．A2．B3．A4．C5．B6．D7．B8．D
9．AC10．BD11．AB
12．1250 13． 14．
15．（1）解：在中，由余弦定理得
即，即，
所以或（舍去），所以的值为.
（2）解：在中，由正弦定理得，
即，解得，
因为，所以为锐角，所以，
又因为，所以.
（3）解：由，
在中，由余弦定理得
，解得，
又因为的面积为，
设中边上高的长度为，可得，
可得，所以的边上高的大小为.
16．（1）
∵平面，又平面，∴，
取的中点E，连接，，
因为是等边三角形，
所以，又，故，，
又，平面，
∴平面，又平面，∴，
又，、平面，
∴平面．
（2）
设，取中点M和中点N，
连接，则，,
∵平面，∴，即，故为二面角的平面角，
∵平面，平面，∴，
又，，
所以，，
∴，∴，同理可得，
∴，
∵平面，又平面，∴，
∴，则，
，故，，
，则，故，
在中，，
故二面角的余弦值为．
17.（1）由直线与圆的位置关系可知，，
所以点；
（2）由题意可知，设动圆半径为，，，，
即，
所以点是以为焦点的双曲线的右支，，，则，
所以曲线的方程为，；
（3）当直线的斜率不存在时，，，
直线，当，得，即，直线，
此时直线过点，
当直线的斜率存在时，设直线，，，
直线，当时，，，
联立，得，
，，，
下面证明直线经过点，即证，，
把，代入整理得，
即，
所以直线经过点，综上可知，直线经过定点，定点坐标为.
18．（1）当时，．
令，则．
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
，，
，
即当时，在上恒成立．
（2）令，
若对于任意的恒成立，则．
令，
令，
令．
①当时，由（1）可知，在上恒成立且不恒为零，则在上为增函数．
，当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增，，符合题意．
②当时，．
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以，
函数在上单调递增．
，，
存在，使得，
当时，，则函数在上单调递减，
，则函数在上单调递减，
，则函数在上单调递减，
故当时，，不符合题意．
③当时，，若，由②知在上单调递增，则存在，使得，且当时，；
若，由②知在上单调递增，当时，．
当时，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
，函数在上单调递增，
故当时，，不符合题意．
综上所述，存在，使得对于任意的，都有恒成立，
实数的取值范围为．
19．（1）因为，所以，，
由得，，所以，
由得，，所以；
（2）由题可知，所以，即，
若，则，，
所以，，与是等差数列矛盾，所以，
设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以，
假设存在使得，设，由得，
由得，，与是等差数列矛盾，
所以对任意都有，
所以数列是等差数列，；
（3）因为对于，，所以，所以，即数列是递增数列，
先证明，
假设，设正整数，
由于，故存在正整数使得，所以，
因为是各项均为正整数的递增数列，所以，
所以，，
所以，，
又因为数列是递增数列，所以，与假设矛盾，
所以；
再证明，
由题可知，所以要证，只需证，设且，
因为数列是各项均为正整数的递增数列，所以存在正整数，使得，
令，
若则，即，所以，所以，所以，
若，则，所以所以，
因为，所以，所以，
所以；
综上所述，且.