河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二下学期2月开学考试 数学试题（含解析）

这是一份河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二下学期2月开学考试 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件可得，然后利用平行线间的距离公式可算出答案.
详解】已知直线与直线平行，则，解得.
直线化为；直线为直线.
它们之间的距离为.
故选：A.
2. 已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出椭圆的焦点坐标，由此可得双曲线的右焦点，得到，解得，再根据渐近线方程公式计算.
【详解】由椭圆，易知其右焦点坐标为，
∴双曲线的右焦点为，则，得到.
∴该双曲线的渐近线方程为.
故选：A
3. 已知空间三点，，，则点到直线的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求在上的投影向量，再结合勾股定理求结论.
【详解】因为，，，
所以，，
所以在向量上的投影向量的长为，
所以点到直线的距离是.
故选：C.
4. 有5名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从5人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】假设其中一个人连续参加两天服务求得总共的排列数，从而知道恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数.再由分步计数求出总排列数.再由古典概型求得概率》
【详解】不妨记五名志愿者为 ，假设a 连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有 种方法，
同理：连续参加了两天社区服务，也各有12 种方法，
所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有 种.
总的情况数为 种.
故恰有1人连续参加两天服务的概率为 .
故选：A .
5. 设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可.
【详解】由离散型随机变量的性质可得，
即，解得或，
时，不合题意，.
.
故选：A.
6. 高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率公式应用最大值列不等式组计算求出的值.
【详解】由已知，，，，，，，
所以由
得：
解得，又因为，所以．
故选:B．
7. 已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，的垂直平分线经过点.若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由的垂直平分线经过点，可得，再利用椭圆和双曲线定义，可得到，故，利用对勾函数性质求出的范围.
【详解】不妨设设双曲线的实轴为轴，中心为原点，
根据题意，可得椭圆和双曲线在同一直角坐标系中的大致位置，如图.

因为的垂直平分线经过点，所以，
记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，
由椭圆的定义得，所以；
由双曲线的定义得，所以.
所以，所以，
所以.
所以，
又，所以，，
由函数在单调递减，可得，
所以，
所以.
故选：B.
8. 提供四种不同颜色颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A. 288种B. 296种C. 362种D. 384种
【答案】D
【解析】
【分析】分2号区域和6号区域同色，2号区域与4号区域同色，2号区域与4号区域，6号区域均不同色三种情况讨论，进而可得出答案.
【详解】首先三个区域有种涂法，
当2号区域和6号区域同色时，有种涂法；
当2号区域与4号区域同色时，有种涂法；
当2号区域与4号区域，6号区域均不同色时，有种涂法，
综上，共有384种涂法.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，在正方体中，为棱的中点．动点沿着棱从点向点移动，对于下列四个结论．正确的是（ ）
A. 存在点，使得B. 存在点，使得平面
C. 的面积越来越小D. 四面体的体积不变
【答案】ACD
【解析】
【分析】设正方体棱长为，，求出、，由解得，确定A正确，考虑到到平面的距离不变，从而易判断D，建立空间直角坐标系，可证明不可能与垂直，故B不正确；设，由空间向量法求得到的距离，由距离的变化规律判断C正确.
【详解】设正方体棱长为，，
由平面，平面得，同理，
所以，
由得，存在使得，A正确；
正方体中，平面，，所以到平面的距离不变，
即到平面的距离不变，而面积不变，
因此三棱锥，即四面体的体积不变，D正确；
以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图，

设正方体棱长为，则、、、，
所以，，，，
所以不可能与垂直，故平面也不可能成立，故B错误；
设，则，，，
所以，
设到直线的距离为，
则
，
由二次函数性质知时，递减，所以递减，
又不变，所以的面积为递减，C正确，
综上：ACD正确
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：立体几何中存在性或探究性问题涉及到的点具有运动性和不确定性属于动态几何问题,用纯几何的方法来解决对空间想像能力、作图能力和逻辑推理能力的要求很高，若用向量方法处理，尤其是通过建立空间直角坐标系求解问题则思路简洁明了，本题中用向量法解决点到直线的距离问题避免了抽象复杂找距离过程，而且将距离的变化情况转化为函数的单调性问题解决更简单明了.
10. 已知曲线，，则下列结论正确的有（ ）
A. 若，为曲线上两点，则的最大值为
B. 曲线围成的图形的面积是
C. 若为曲线上一点，则的最小值为
D. 曲线围成区域内含曲线）格点横坐标与纵坐标都为整数的点的个数为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据曲线的方程，分象限讨论其图象，然后作出草图，并得每部分所在的圆，，，等大，且都过坐标原点，即可判断选项A，结合图形直接求面积判断选项B，设点在曲线上，记圆过原点的直径为，直线与直线的夹角为，根据的范围即可判断选项C，根据图形即可判断选项D.
【详解】当，时，由曲线方程，得，
曲线在第一象限内的部分是圆心为，半径为的圆弧.
同理，曲线在第二、三、四象限内的部分都是圆弧，
当时，；当时，.
曲线在坐标系中如图，
曲线关于坐标原点、轴、轴、直线、直线均对称.
记曲线在第一象限及轴正半轴、轴正半轴上的部分为曲线，
曲线所在的圆为圆，
曲线及圆关于轴对称图形分别为曲线，其所在圆为圆，
关于坐标原点对称的图形分别为曲线，其所在圆为圆，
关于轴对称的图形分别为曲线，其所在圆为圆.
由题意可知，圆，，，等大，且都过坐标原点.
因为点在曲线上，所以，
当且仅当为曲线与直线或的交点时，等号成立，
所以的最大值是，故A正确；
曲线围成的图形的面积为，故B正确；
由曲线的对称性，不妨设点在曲线上.
因为，
所以当的值最小时，的值也最小.
因为点在圆上，记圆过原点的直径为，直线与直线的夹角为，
由题意可知，，则，
所以当时，取得最小值，所以的最小值为，故C正确；
由图可知，曲线围成区域内格点的个数为，故D错误.
故选：ABC
11. 设，则（ ）
A. B.
C. D. 当时，除以8的余数是7
【答案】AC
【解析】
【分析】利用赋值法判断AC；利用二项展开式通项求出的值可判断B；利用二项式定理展开即可判断D.
【详解】对于A，令，可得，故A正确；
对于B，通项公式为，令可得，
令可得，故，故B错误；
对于C，令可得，令，可得，
，故C正确；
对于D，当时，
所以除以8的余数是1，故D错误．
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】分别计算甲、乙两轮分别猜对个、个成语的概率，根据互斥事件与独立事件的概率公式计算可得结果.
【详解】设事件、分别表示甲两轮猜对个、个成语，事件、分别表示乙两轮猜对个、个成语，
则，，，.
设事件为“星队”在两轮活动中猜对3个成语，则，且与互斥，与、与分别相互独立，
∴.
故答案为：.
13. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与的左，右两支分别交于两点，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线定义结合已知条件计算得出，再计算求解即可.
【详解】由双曲线定义：，即，，
又，，
∴，，
故答案为：.
14. 已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】过点P作垂直于准线，易知当三点共线时，的周长最小，即可求解．
【详解】抛物线的准线，，过点P作垂直于准线，
由题可知，的周长为，
又，
易知当三点共线时，的周长最小，且最小值为．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点为圆上一点.
（1）若点为的中点，求动点的轨迹的方程；
（2）过坐标原点的直线被曲线截得的弦长为，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据圆的定义可得动点的轨迹的方程；
（2）分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.
【小问1详解】
由题意得，圆，
故，所以，
故动点的轨迹的方程为.
【小问2详解】
因为直线被曲线截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为1.
当直线的斜率不存在时，直线符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，故，解得，
故
综上，直线的方程为或.
16. 如图，在四棱锥中，，，，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，，即可证明四边形是平行四边形，从而得到，即可得证；
（2）取中点，连接，，即可证明平面，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
取中点，连接，，由条件可知，是的中位线，
所以且，又因为且，所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，又因为平面，平面，所以平面；
【小问2详解】
取中点，连接，，
因为，，
所以，即，
所以为等腰直角三角形，则，
在直角梯形中，且，所以四边形为平行四边形，
又，所以为矩形，所以，，由，故，
又因为，，平面，，所以平面，
如图以为坐标原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
故，，，，，
设平面的一个法向量为，则，得
取，
设平面的一个法向量为，则得
取，设平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
17. 某大公司招聘分为笔试和面试，笔试通过后才能进入面试环节，面试环节各部门从笔试通过的人员中抽取部分人员进行该部门的面试.2024年应聘该公司的学生的笔试成绩Y近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，的近似值为5.5，以样本估计总体.
（1）假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该公司预期的平均成绩，求该公司预期的平均成绩大约是多少?
（2）现有甲、乙、丙三名应聘者进入了面试，该公司某部门有意在这3人中随机选取2人参加面试.面试分为初试和复试并且采用积分制，满分为10分，其中通过初试考核记6分，通过复试考核记4分，初试通过才能参加复试，应聘者能否正确回答初试与复试的问题相互独立.已知甲和乙通过初试的概率均为，丙通过初试的概率为，甲和乙通过复试的概率均为，丙通过复试的概率为.
①若从这3人中随机选取2人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于16分的概率；
②若甲和乙两人一起参加本次该部门的面试，记他们本次面试的得分之和为X，求X的分布列以及数学期望.
参考数据：若，则：；；.
【答案】（1）71分 （2）①②分布列见解析，13
【解析】
【分析】（1）利用正态分布的对称性和正态曲线的原则，即可求得该校预期的平均成绩；
（2）①选出人的情况分三种：甲乙、甲丙、乙丙参加面试，计算每种情况下的概率相加即可得到结果；②分析的取值，分别计算概率，列出分布列，利用期望公式求解即可得到结果.
【小问1详解】
由，
又的近似值为76.5，的近似值为5.5，
所以该公司预期的平均成绩大约是（分）.
【小问2详解】
①记选出甲、乙参加面试为事件，选出甲、丙参加面试为事件，选出乙、丙参加面试为事件，这两人本次面试的得分之和不低于分为事件，
则，，，
②的可能取值为，
故，，
，，
，.
故的分布列为：
则.
18. 已知的二项式系数之和为4096．
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中系数最大项．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二项式系数可得，求得，进而求得展开式的通项为，根据题意得，可求得展开式的常数项；
（2）设展开式第项的系数最大，得出不等式组，可求得系数最大的项.
【小问1详解】
因为的二项式系数之和为4096．
所以，解得，
所以二项式展开式的通项为，
令，解得，所以展开式的常数项为.
【小问2详解】
设展开式中第项的系数最大，
则，可得，解得，
因为，所以，所以系数最大的项为.
19. 已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中均为常数，动点P的轨迹称为曲线．
（1）判断曲线为何种圆锥曲线？
（2）若曲线为双曲线，试问应满足什么条件？
（3）设曲线C为曲线，斜率为1的直线l过曲线C的右焦点，且与曲线C交于A，B两个不同的点，求．
【答案】（1）椭圆 （2），且．
（3）
【解析】
【分析】（1）设，根据曲线的定义，可得的坐标满足的方程，分析可得结果.
（2）将整理为，根据双曲线方程的特点分析可得结果.
（3）先根据为曲线可得曲线的方程，利用双曲线的性质及弦长公式易得结果.
【小问1详解】
设，由，得，
当时，，即，所以曲线为椭圆.
【小问2详解】
由，得.
若曲线为双曲线，则，
所以可化为，
所以，则；
故应满足且曲线为双曲线.
【小问3详解】
由，得曲线的方程为，
则的右焦点坐标为，所以直线的方程为.
联立得.
设，则若，则
则.
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