2026高二数学上学期第一次月考（沪教版2020）（选择性必修第一册第一~二章）含解析

2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪教版2020选修第一册第一、二章5．难度系数：0.65。一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知点A(2，0)，B(3，3)，则直线AB的倾斜角为【答案】π3（或60°）【解析】由题意得直线AB的斜率k＝3)－03－2＝3，设直线AB的倾斜角为α，则tan α＝3；因为0°≤α4，所以点M在圆C外．【9分】当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，所以直线x＝3是圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，由圆心C到切线的距离d′＝|k－2＋1－3k|\r(k2＋1)＝r＝2，解得k＝34;所以切线方程为y－1＝34(x－3)，【12分】即3x－4y－5＝0.综上，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.因为|MC|＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，所以过点M的圆C的切线长为|MC|2－r2＝5－4＝1；【14分】19．（1）已知椭圆C的一个焦点为(1，0)，且过点(0，3)，求：椭圆C的标准方程；（2）已知椭圆经过P(－23，1)，Q(3，－2)两点，求：此椭圆的标准方程；（3）已知椭圆与椭圆x24＋y23＝1有相同的离心率，且经过点(2，－3)，求：此椭圆的标准方程；【答案】（1）x24＋y23＝1；（2）x215＋y25＝1；（3）x28＋y26＝1或y2253＋x2254＝1；【解析】（1）根据题意，椭圆的焦点在x轴上，故设其方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，显然c＝1，b＝3，则a2＝b2＋c2＝4，故椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1; 【4分】（2）设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，则有12m＋n＝1，3m＋4n＝1，)解得m＝\f(11515)，则所求椭圆的标准方程为x215＋y25＝1; 【8分】（3）椭圆x24＋y23＝1的离心率是e＝12，当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程是x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，所以\f(c12a2＝b2＋c2，43b2)＝1，解得a2＝8，b2＝6，)所以所求椭圆方程为x28＋y26＝1.7 / 9当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，所以\f(c12a2＝b2＋c2，34b2)＝1，所以a2＝\f(253254)，所以椭圆的标准方程为y2253＋x2254＝1.所求椭圆标准方程为x28＋y26＝1或y2253＋x2254＝1；【14分】20．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）；（1）证明：直线l过定点；（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求：S的最小值，并求此时直线l的方程；【解析】（1）[证明] 直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令x＋2＝0，1－y＝0，)解得x＝－2，y＝1.)所以无论k取何值，直线总经过定点(－2，1) 【4分】（2）[解] 由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有－\f(1＋2kk1＋2k≥1，解得k>0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)；【10分】（3）[解] 由题意可知k≠0，再由l的方程，得A\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2kk)，0)，B(0，1＋2k).依题意得－\f(1＋2kk1＋2k＞0，解得k>0.因为S＝12·|OA|·|OB|＝12·\f(1＋2kk))·|1＋2k|＝12·(1＋2k)2k＝12\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1k)＋4)≥12×(2×2＋4)＝4，等号成立的条件是k>0，且4k＝1k，即k＝12，所以Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0；【18分】【说明】1、求直线方程：弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程；2、求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式(或二次函数)求解最值；3、求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解；21．已知双曲线C的两个焦点坐标分别为 ， ，双曲线C上一点P到两焦点的距离之差的绝对值等于4.（1）双曲线C的标准方程；（2）过点 作直线 交双曲线的右支于A，B两点，且M为 的中点，求直线 的方程；8 / 9（3）已知定点 ，点D是双曲线右支上的动点，求 的最小值；【提示】（1）利用双曲线的定义求出双曲线C的标准方程.（2）设出直线 的方程，与双曲线方程联立，结合中点坐标公式求出直线方程.（3）利用双曲线定义，结合线段和差大小关系求出最小值；【答案】（1） ；（2） ；（3） ；【解析】（1）依题意，双曲线焦点在 轴上，半焦距 ，实半轴长 ，则虚半轴长 ，所以双曲线C的标准方程为 ；【4分】（2）显然直线 不垂直于 轴，否则弦 中点纵坐标为0，设直线 的方程为 ，即 ，设 ，由 消去 得： ，依题意， ，由M为 的中点，得 ，解得 ，此时方程为 ， ，符合题意，所以直线 的方程为 ；【10分】（3）由 ，得点 在双曲线夹含虚轴的区域内，又点 在双曲线右支上，即 ，因此 ，当且仅当 是线段 与双曲线右支的交点时取等号，所以 的最小值为 ；【18分】9 / 9