江苏省镇江市2025年中考真题数学试卷（解析版）

这是一份江苏省镇江市2025年中考真题数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求）
1. 计算的结果是（ ）
A. 5B. C. 1D.
【答案】C
【解析】解：，
故选：C．
2. 使二次根式有意义的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：使二次根式有意义，则，
解得，
故选：A．
3. 下列运算中，结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：A、，则此项正确，符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：A．
4. 2024年全市共接待国内游客约55510800人次，其中数据55510800可表示为（ ）
A. 55510.8万B. 5551.08万C. 555.108万D. 55.5108万
【答案】B
【解析】解：万，
故选：B．
5. 如图所示的几何体的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：这个几何体的主视图是，
故选：D．
6. 一组数据：82、80、82、87、90、84、85，它们的中位数是（ ）
A. 82B. 84C. 85D. 87
【答案】B
【解析】解：从小到大排序为：80，82，82，84，85，87，90，
中间的数为84，
∴中位数为84．
故选：B．
7. 如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】D
【解析】解：如图，由题意得：，米，
∴，
∴米，
即她沿垂直方向升高了米，
故选：D．
8. 已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ）
A. 或B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：∵点、在反比例函数的图像上，
∴，，
∵，
∴
∴当时，解得，
∴；
当时，解得；
综上所述，则的取值范围是或．
故选：A．
9. 如图，直线，直线分别交于点A、B，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
根据作图可知：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
故选：C．
10. 如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（ ）
A. 正东方向B. 正南方向
C. 正西方向D. 正北方向
【答案】D
【解析】解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和，
则，且，
为等边三角形，
同理，皆为等边三角形，
∵将绕点逆时针旋转，
∴，
为等边三角形，的中点为，
，
，
同理，
则，
∵，
∴每转到12次后与方向重合，
，
∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反，
又∵为等边三角形，
，
此时点在点的正北方．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 如果汽车加油30升记作升，那么用去油10升，记作_____．
【答案】升
【解析】汽车加油30升记作升，
用去油10升记作升；
故答案是：升．
12. 如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是_____．
【答案】
【解析】解：由图可知，任意转动转盘1次共有5种等可能的结果，其中，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的结果有3种，
则当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是，
故答案为：．
13. 分解因式：______．
【答案】
【解析】解：，
故答案为．
14. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____．
【答案】
【解析】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
解得：．
故答案为：．
15. 用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于_____．
【答案】
【解析】解：如图，
由题意和图（2）可知：，，
∴，，
由（1）可知：，
即：，
∴，
∴；
故答案为：．
16. 如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_____．
【答案】2
【解析】解：连接，取的中点，连接并延长交于点，
∵，，是的中点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，即：，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则：，，
∴，
∴面积，
∴当时，面积的面积最大；
此时；
故答案为：2．
三、解答题（本大题共10小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
解：，
，
，
．
18. 解方程：．
解：，
方程两边同乘以，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是分式方程的解，
所以方程的解为．
19. 如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：．
解：，
，
，
，即，
在和中，
，
．
20. 一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率．
解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，从袋子中随机摸出2个球共有12种等可能的结果，其中，摸出标有数字2和3的两个球有2种，
则摸出标有数字2和3的两个球的概率为，
答：摸出标有数字2和3的两个球的概率为．
21. 小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？
解：如图，过点作于点，
由题意得：，尺，尺，尺，
∴四边形是矩形，
∴尺，，
设尺，则尺，尺，
在中，由勾股定理得：，即，
解得，
即尺，
答：折断处离地面5尺．
22. 新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）：
（1）计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）；
（2）小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数．
（1）解：
∴2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率约为；
（2）解：将，代入得，
，
解得，
∴；
其中的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约 万个；
当时，，
∴预测我国2025年发明专利申请授权数万个．
23. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，．
（1）求点A、的坐标和反比例函数的表达式；
（2）点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____．
（1）解：∵点A的横坐标为，且点在反比例函数的图象上，代入得：
，
，
作轴，轴，如图，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
∵，
，
∵，点的坐标为，
，
，，
，
，
在反比例函数的图像上，代入得：
，
∴反比例函数解析式；
（2）解：∵、分别在反比例函数和图像上，
∴设，，
∵，，
∴轴，且，
∵、与点A、构成以为边的平行四边形，
∴，且，如图，
∴轴，且，
∴
由②得：，
代入①得：
解得：（舍），
则，
∴．
故答案为：．
24. 如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）已知，在你所作的中，若，求的长．
（1）证明：∵是的两条切线，切点是，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由对顶角相等得：，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：如图，满足的即为所作．
（3）解：如图，过点作于点，过点作于点，
∵是的两条切线，切点是，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，，
∵在等腰中，，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴．
25. 为什么变速自行车会“变速”？
变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中A、B处分别有几个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮．
［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等．
（1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为、，主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出与的关系是_____．
（2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿数分别为32齿和14齿．
若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”的作用是什么？
［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车“变速”的方法可以是_____（写出一种即可）．
解：［探究]（1）主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有个，
∵
∴，
故答案为：，，；
（2）从动轮的转速为（圈/分钟），
“惰轮”的作用是使从动轮与主动轮旋转的方向保持一致，
∴从动轮的转速为每分钟160圈；
［发现]实现自行车“变速”的方法可以是：更换不同齿数的从动轮或主动轮．
26. 在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点．
（1）二次函数的图像如图所示．
①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____；
②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由．
（2）二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式．
（1）解：①当时，，
∴，
∴，
∴当时，，
此时在线段的延长线上或线段的延长线上，存在点使，满足题意；
当时，，
∴当点在线段上时，，满足题意；
当时，，
∴直线上不存在点使，不满足题意；
综上：使该函数图像有生长点的的值是；
②猜想，理由如下：
∵点在直线上，
∴，
由（1）知：当时，此时，
∴当时，，此时直线上不存在点使，
∴；
又∵过点作轴的垂线与的图像交于点，
而的最小值为，
∴；
∴；
（2）∵二次函数（h、k为常数）的图像经过点，
∴；
∵是该函数图像的生长点，
∴，
当时，则：，
∴，
∴，
∴，
①当点在线段上时，则：，
∴，
解得，
把代入，得：或，
当时，，满足题意；
当时，，此时点不在线段上，不符合题意，舍去；
∴；
②当点在点的左侧时，则：，
∴，
∴，
∴，
把，代入，得：，
此时，符合题意；
∴；
③当点在点的右侧时，则：，
∴，
∴，
把，代入，得：，
∴
此时，点不在点的右侧，不符合题意，舍去；
综上：或．（年份）
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
万个