2025年江苏省镇江市中考数学真题（含答案）

这是一份2025年江苏省镇江市中考数学真题（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．计算﹣2+3的结果是（ ）
A．5B．﹣5C．1D．﹣1
2．使二次根式2x−4有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x≤2C．x＞2D．x＜2
3．下列运算中，结果正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5B．a3+a3＝2a6C．（a2）3＝a5D．a4÷a2＝2a2
4．2024年全市共接待国内游客约55510800人次，其中数据55510800可表示为（ ）
A．55510.8万B．5551.08万C．555.108万D．55.5108万
5．如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
6．一组数据：82、80、82、87、90、84、85，它们的中位数是（ ）
A．82B．84C．85D．87
7．如图，小丽从点A出发，沿坡度为10°的坡道向上走了120米到达点B，则她沿垂直方向升高了（ ）
A．120tan10°米B．120sin10°米
C．120tan10°米D．120sin10°米
8．已知点A（﹣1，y1）、B（a，y2）在反比例函数y=1x的图象上，若y2＞y1，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣1或a＞0B．﹣1＜a＜0C．a＞0D．a＜﹣1
9．如图，直线l1∥l2，直线m分别交l1、l2于点A、B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交l2、l1于直线m同侧的点C、D，∠ADB＝35°，AB＝9，则CD的长等于（ ）
A．5πB．4πC．72πD．74π
10．如图，在等腰三角形ABC中，BA＝BC，第1次操作：取AC的中点O1，将O1B绕点O1分别逆时针旋转120°和180°得到线段O1C1和O1A1；第2次操作：取A1C1的中点O2，将O2O1绕点O2分别逆时针旋转120°和180°，得到线段O2C2和O2A2；…；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段O30C30和O30A30，若用点C在点A的正南方向表示初始位置，则点C30在点A30的（ ）
A．正东方向B．正南方向C．正西方向D．正北方向
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如果汽车加油30升记作+30升，那么用去油10升，记作 ．
12．如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是 ．
13．分解因式：x2+5x＝ ．
14．关于x的一元二次方程x2+mx+1＝0有两个相等的实数根，则m的值为
15．用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知x+2y的值等于 ．
16．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，D是AB的中点，M是边AC上的动点，作DN⊥DM，交BC于点N，延长MD到点P，使得DP=12MD．当△PNB面积最大时，AM的长等于 ．
三、解答题（本大题共10小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算：2cs60°−(1−5)0+(14)−1．
18．（5分）解方程：3−x4+x=12．
19．（6分）如图，已知△ABC≌△DEF，边BC与EF、DF分别交于点O、M，AC与EF交于点N，OB＝OE．求证：△MOF≌△NOC．
20．（6分）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率．
21．（6分）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈＝10尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点P处，墙脚O离竹根A处3尺远．请你解答：折断处B离地面多高？
22．（6分）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国2018﹣2024年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到0.1）：
（1）计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到1%）；
（2）小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点A（2019，45.3）、B（2024，104.5）作一条直线来近似的表示y的值随年份x不断增长的变化趋势．设直线AB上点的坐标满足函数表达式y＝kx+b．试求出k的值，并写出k的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数y=−2x和y=kx(k＞0)的图象上，点A的横坐标为﹣1，点B的横坐标为n（n＞3），点C的坐标为（3，0），AC⊥BC，AC＝2BC．
（1）求点A、B的坐标和反比例函数y=kx(k＞0)的表达式；
（2）点D、E分别在反比例函数y=kx(k＞0)和y=−2x的图象上，与点A、B构成以AB为边的平行四边形，则点D、E的坐标分别为 、 ．
24．（10分）如图（1），过⊙O外一点M引⊙O的两条切线MA、MB，切点是A、B，∠AMB为锐角，连接MO并延长与⊙O交于点N，点P在MN的延长线上，过点P作MA的垂线，与BO的延长线相交于点E，垂足为F．
（1）求证：△EOP是等腰三角形；
（2）在图（2）中作△EOP，满足OP＝OF（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）已知sin∠AMB=53，在你所作的△EOP中，若PF＝2，求OE的长．
25．（10分）为什么变速自行车会“变速”？
变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中A、B处分别有几个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮．
[探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等．
（1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为n1、n2，主动轮每分钟转ω1圈，则每分钟啮合的齿数有 个，从动轮每分钟转ω2圈，则每分钟啮合的齿数有 个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出ω1与ω2的关系是ω1ω2= ．
（2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿数分别为32齿和14齿．
若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”的作用是什么？
[发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车“变速”的方法可以是 （写出一种即可）．
26．（12分）在平面直角坐标系中，过点T（0，t）作y轴的垂线与二次函数y=12(x−ℎ)2+k（h、k为常数）的图象交于点E、F（点E在点F的左侧），点P在直线EF上，当点P满足PE+PF＝6时，我们称点P是该二次函数图象的T～6生长点．
（1）二次函数y=12x2的图象如图所示．
①在t的不同取值2、92、5中，使该函数图象有T～6生长点的t的值是 ；
②已知P（m，n）是该函数图象的T～6生长点，猜想n的取值范围，并说明理由．
（2）二次函数y=12(x−ℎ)2+k（h、k为常数）的图象经过点（6，1），若P（3，5）是该函数图象的T～6生长点，求该函数的表达式．
2025年江苏省镇江市中考数学真题参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求）
1．C 2．A 3．A 4．B 5．D 6．B 7．D 8．A 9．C 10．D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．﹣10升 12．35 13x2+5x＝x（x+5） 14．±2 15．337.5 16．2
三、解答题（本大题共10小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）解：原式=2×12−1+4，
＝1﹣1+4，
＝4．
18．（5分）解：原方程两边同乘以2（4+x）得2（3﹣x）＝4+x，
去括号得6﹣2x＝4+x，
移项得﹣2x﹣x＝4﹣6，
合并同类项得﹣3x＝﹣2，
系数化为1得x=23，
经检验，x=23是分式方程的解，
所以方程的解为x=23．
19．（6分）解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，∠F＝∠C，
∵OB＝OE，
∴BC﹣OB＝EF﹣OE，即OC＝OF，
在△MOF和△NOC中，
∠MOF=∠NOCOC=OF∠F=∠C，
∴△MOF≌△NOC（ASA）．
20．（6分）解：画出树状图如下：
由图可知，从袋子中随机摸出2个球共有12种等可能的结果，其中，摸出标有数字2和3的两个球有2种，
则概率为P=212=16，
答：摸出标有数字2和3的两个球的概率为16．
21．（6分）解：如图，过点B作BC⊥OP于点C，
由题意得：BA⊥OA，OP＝9尺，OA＝3尺，AB+BP＝10尺，OA⊥OP，
∴四边形OABC是矩形，
∴BC＝OA＝3尺，OC＝AB，
设OC＝AB＝x尺，则BP＝（10﹣x）尺，CP＝OP﹣OC＝（9﹣x）尺，
BC2+CP2＝BP2，即32+（9﹣x）2＝（10﹣x）2，
解得x＝5，
即AB＝5尺，
答：折断处B离地面5尺．
22．（6分）解：（1）（69.6﹣53）÷53×100%≈31%
∴2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率约为31%；
（2）由题意可得：
2019k+b=45.32024k+b=104.5，
解得k=11.84b=−23859.66，
∴y＝11.84x﹣23859.66；
其中k的实际意义为 2018﹣2024年我国发明专利申请授权数年均增长约11.84 万个；
当x＝2025时，y＝11.84×2025﹣23859.66＝116.34≈116.3，
∴预测我国2025年发明专利申请授权数116.3万个．
23．（6分）解：（1）由条件可知y=−2−1=2，
∴A（﹣1，2），
作AF⊥x轴，BN⊥x轴，如图，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠BCN＝90°，
∵∠CBN+∠BCN＝90°，
∴∠ACF＝∠CBN，
∵∠AFC＝∠BNC＝90°，
∴△AFC～△CNB，
∵AC＝2BC，
∴BNFC=CNAF=12，
∵A（﹣1，2），点C的坐标为（3，0），
∴BN4=CN2=12，
∴BN＝2，CN＝1，
∴ON＝OC+CN＝4，
∴B（4，2），
∵B（4，2）在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，代入得：
k＝2×4＝8，
∴反比例函数解析式为y=8x；
（2）设D(a，8a)，E(b，−2b)，
∵A（﹣1，2），B（4，2），
∴AB∥x轴，且AB＝5，
∵D、E与点A、B构成以AB为边的平行四边形，
∴AB∥DE，且DE＝AB，如图，
∴DE∥x轴，且DE＝5，
∴|a−b|=5①8a=−2b②，
由②得：a＝﹣4b，
代入①得：|﹣4b﹣b|＝5，
解得：b1＝1，b2＝﹣1（舍），
则a＝﹣4，
∴D（﹣4，﹣2），E（1，﹣2）．
故答案为：D（﹣4，﹣2），E（1，﹣2）．
24．（10分）（1）证明：连接OA，如图，
∵过⊙O外一点M引⊙O的两条切线MA、MB，
∴OA⊥MA，OB⊥MB，
在Rt△AOM和Rt△BOM中，
OM=OMOA=OB，
∴Rt△AOM≌Rt△BOM（HL），
∴∠AMO＝∠BMO．
∵PF⊥MF，
∴∠P+∠AMO＝90°，
∵∠MOB+∠BMO＝90°，
∴∠P＝∠MOB．
∵∠MOB＝∠EOP，
∴∠EOP＝∠P，
∴△EOP是等腰三角形；
（2）解：①在MO的延长线上截取OP＝OM，
②过点P作PF⊥MA于点F，
③连接BO并延长交PF的延长线于点E，如图，
则△EOP为所求作．
理由：∵∠MFP＝90°，OM＝OP，
∴OF为Rt△MFP斜边上的中线，
∴OF＝OP=12MP．
（3）解：过点O作OD⊥PE于点D，如图，
∵OP＝OF，OD⊥PE，
∴FD＝PD=12PF＝1，
设MF与BE交于点C，
∵∠MBC＝∠EFC＝90°，∠MCB＝∠ECF，
∴∠E＝∠AMB，
∴sinE=sin∠AMB=53，
∵sinE=ODOE，
∴ODOE=53，
设OD=5k，则OE＝3k，
∴DE=OE2−OD2=2k，
∴PE＝DE+PD＝2k+1，
由（1）知：∠EOP＝∠P，
∴OE＝PE，
∴3k＝2k+1，
∴k＝1，
∴OE＝3k＝3．
25．（10分）解：[探究]（1）主动轮每分钟转ω1圈，则每分钟啮合的齿数有n1w1个，从动轮每分钟转ω2圈，则每分钟啮合的齿数有n2w2个，
∵n1w1＝n2w2，
∴ω1ω2=n2n1，
故答案为：n1w1，n2w2，n2n1；
（2）从动轮的转速为70×3214=160（圈/分钟），
“情轮”的作用是使从动轮与主动轮旋转的方向保持一致，
∴从动轮的转速为每分钟160圈；
[发现]实现自行车“变速”的方法可以是：更换不同齿数的从动轮或主动轮．
故答案为：更换不同齿数的从动轮或主动轮．
26．（12分）解：（1）①当y=12x2=t时，x=±2t，
∴E(−2t，t)，F(2t，t)，
∴EF=22t，
∴当t＝2时，EF＝4，
此时在线段EF的延长线上或线段FE的延长线上，存在点P使PE+PF＝6，满足题意；
当t=92时，EF=22×92=6，
∴当点P在线段EF上时，PE+PF＝EF＝6，满足题意；
当t＝5时，EF=22×5=210＞6，
∴直线EF上不存在点P使PE+PF＝6，不满足题意；
综上：使该函数图象有T～6生长点的t的值是2，92；
故答案为：2或92；
②猜想0＜n≤92，理由如下：
∵点P在直线EF上，
∴n＝t，
由（1）知：当t=92时，此时EF=22×92=6，
∴当t＞92时，EF＞6，此时直线EF上不存在点P使PE+PF＝6，
∴n≤92；
又∵过点T（0，t）作y轴的垂线与y=12x2的图象交于点E，F，
而y=12x2的最小值为y＝0，
∴n＞0；
∴0＜n≤92；
（2）∵二次函数y=12(x−ℎ)2+k（h、k为常数）的图象经过点（6，1），
∴1=12(6−ℎ)2+k；
∵P（3，5）是该函数图象的T～6生长点，
∴t＝5，
当y=12(x−ℎ)2+k=5时，则（x﹣h）2＝2（5﹣k），
∴x=ℎ±2(5−k)，
∴E(ℎ−2(5−k)，5)，F(ℎ+2(5−k)，5)，
∴EF=22(5−k)；
①当点P在线段EF上时，则PE+PF=EF=22(5−k)=6，
∴2(5−k)=3，
解得k=12，
把k=12代入1=12(6−ℎ)2+k，得：h＝5或h＝7，
当h＝5时，E（2，5），F（8，5），满足题意；
当h＝7时，E（4，5），F（10，5），
此时点P不在线段EF上，不符合题意，舍去；
∴y=12(x−5)2+12；
②当点P在点E的左侧时，则PE＝h﹣2（5﹣k）﹣3，PF=ℎ+2(5−k)−3，
∴PE+PF=ℎ−2(5−k)−3+ℎ+2(5−k)−3=6，
∴2h＝12，
∴h＝6，
把h＝6，代入1=12(6−ℎ)2+k，得：k＝1，
此时E(6−22，5)，F(6+22，5），符合题意；
∴y=12(x−6)2+1；
③当点P在点F的右侧时，则PE=3−ℎ+2(5−k)，PF=3−ℎ−2(5−k)，
∴PE+PF=3−ℎ+2(5−k)+3−ℎ−2(5−k)=6，
∴h＝0，
把h＝0，代入1=12(6−ℎ)2+k，得：k＝﹣17，
∴2(5−k)=2×22=211，
此时E(−211，5)，F(211，5)，
点P不在点F的右侧，不符合题意，舍去；
综上所述：y=12(x−5)2+12或y=12(x−6)2+1．
x（年份）
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
y/万个
43.2
45.3
53.0
69.6
79.8
92.1
104.5