2025年湖南省娄底市涟源市中考数学三模试卷（附答案解析）

这是一份2025年湖南省娄底市涟源市中考数学三模试卷（附答案解析），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．农业农村部市场预警专家委员会预测，年我国全年粮食产量有望达到亿吨，比上年略有增长将用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A．B．
C．D．
4．不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
5．下列命题中，正确的是（ ）
A．三角形的重心是三条角平分线的交点B．五边形的外角和为
C．菱形是轴对称图形，但不是中心对称图形D．三个角对应相等的两个三角形全等
6．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ）
A．20B．22C．24D．26
7．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，是边的中点．按下列要求作图：
①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；
②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点；
③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；
④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
10．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．计算的结果是 ．
12．平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度得到点，则点的坐标是 ．
13．如图，在中，点在直线上，点、在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．在点运动过程中，的面积随着的增大而 .（填“增大”、“保持不变”或“减小”）
14．已知反比例函数与正比例函数的图象的一个交点的横坐标为，则 ．
15．若一组数据1，2，3，x的平均数是2，则这组数据的中位数是 ．
16．如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为 ．
17．已知关于x的方程x2﹣2x+k=0有实数根，则k的取值范围是 ．
18．我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为，则称为“方减数”例如：因为，与的十位数字相同，个位数字与的和为，所以是“方减数”按照这个规定，最小的“方减数”是 ．
三、解答题
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．近年来，我国肥胖人群的规模快速增长，目前，国际上常用身体质量指数（Bdy Mass Index，缩写）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的数值，再参照数值标准分成四组：A．；B．；C．；D．．将所得数据进行收集、整理、描述．
收集数据
七年级10名男生数据统计表
七年级10名女生数据统计表
整理、描述数据
七年级20名学生频数分布表
应用数据
(1)______，____________；
(2)已知该校七年级有男生260人，女生240人．
①估计该校七年级男生偏胖的人数；
②估计该校七年级学生的人数
(3)根据以上统计数据，针对该校七年级学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议．
22．如图，已知是等边三角形，是边上的中线，以为直径画，交于点．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求小扇形的面积结果保留．
23．为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
24．如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角．
(1)请仅就图2的情形证明．
(2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于A，两点在的左侧，连接，，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是轴上方抛物线上的一点，轴上是否存在一点，使得以A，，，为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，,当线段长度取得最大值时，求的最小值．
26．综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A．
(1)【操作判断】
如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度；
(2)【问题探究】
如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：；
(3)【拓展延伸】
点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值．
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高（）
1.56
1.50
1.66
1.58
1.50
1.70
1.51
1.42
1.59
1.72
体重（）
52.5
49.5
45.6
40.3
55.2
56.1
48.5
42.8
67.2
90.5
21.6
s
16.5
16.1
24.5
19.4
21.3
21.2
26.6
30.6
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高（）
1.46
1.62
1.55
1.65
1.58
1.67
1.55
1.46
1.53
1.62
体重（）
46.4
49.0
61.5
56.5
52.9
75.5
50.3
47.6
52.4
46.8
21.8
18.7
25.6
20.8
21.2
27.1
20.9
22.3
22.4
17.8
组别
男生频数
女生频数
A
3
2
B
4
6
C
t
2
D
1
0
《2025年湖南省娄底市涟源市中考数学三模试卷》参考答案
1．D
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
【详解】解：A、是整数，是有理数，故本选项不符合题意；
B、是整数，是有理数，故本选项不符合题意；
C、是分数，是有理数，故本选项不符合题意；
D、是无理数，故本选项符合题意．
故选D．
2．C
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此解答即可．
【详解】解：．
故选：C．
3．D
【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，关键是熟悉三视图的定义．
【详解】解：根据三视图的形状，结合三视图的定义以及几何体的形状特征可得该几何体为D选项．
故选：D．
4．A
【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答．
【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意．
故选：A．
5．B
【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据三角形的重心的概念、多边形的外角和、菱形的性质、全等三角形的判定判断即可．
【详解】解：A、三角形的重心是三条中线的交点，故本选项是假命题，不符合题意；
B、五边形的外角和为，是真命题，符合题意；
C、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项是假命题，不符合题意；
D、三个角对应相等的两个三角形不一定全等，故本选项是假命题，不符合题意；
故选：B．
6．B
【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可．
【详解】解：由图可得，
第1种如图①有4个氢原子，即
第2种如图②有6个氢原子，即
第3种如图③有8个氢原子，即
，
第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数．
【详解】解：重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
摩擦力的方向与斜面平行，，
，
故选：C．
8．B
【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率，掌握列表法或树状图法求概率是解题关键．求出摸到的两个球的所有情况，再找出两个摸到的球恰好有一个红球的情况，根据概率公式求解即可．
【详解】解：用A、B、C分别表示红球，白球，绿球，列表如下：
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中两次摸到的球恰好有一个红球的概率为4种，
∴两次摸到的球恰好有一个红球的概率是
故选：B．
9．D
【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出．
【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意；
B．∵，
∴，
∴一定成立，故B不符合题意；
C．∵是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴一定成立，故C不符合题意；
D．不一定成立，故D符合题意．
10．B
【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；
A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断；
B.不一定等于，即可判断；
C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断；
D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断；
掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】解：A.，
，
由对称得，
点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形，
，，
，
，结论正确，故不符合题意；
B.不一定等于，结论错误，故符合题意；
C.由对称得，
∵点 E ，F分别是底边的中点，
，结论正确，故不符合题意；
D.
过作，
，
，
，由对称得，
，
同理可证，
，结论正确，故不符合题意；
故选：B．
11．
【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法运算法则解题即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．
【分析】此题考查了坐标与图形变化平移，将点的横坐标减，纵坐标不变即可得到点的坐标，掌握平移中点的变化规律“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”是解题的关键．
【详解】解：∵将点向右平移个单位长度后得到点，
点的坐标是，即点的坐标为，
故答案为：．
13．保持不变
【分析】本题考查三角形的面积、平行线的性质，掌握三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等是解题的关键．根据三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等判断即可．
【详解】解：设平行线与之间的距离为，则，
而，
，
在点运动过程中，的面积随着的增大而保持不变．
故答案为：保持不变．
14．
【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求得交点坐标是解题的关键．
利用正比例函数的解析式求得交点坐标，然后代入，即可求得的值．
【详解】解：将代入得：，
此点为，
代入反比例函数得：，
解得：．
故答案为：．
15．2
【分析】本题主要考查中位数，解题的关键是根据平均数的定义求出的值，并熟练掌握中位数的定义．先根据算术平均数列出关于的方程，求出的值，从而得出这组数据，再利用中位数的定义求解可得．
【详解】解：数据1，2，3，的平均数是2，
，
解得，
则这组数据为1、2、2、3，
这组数据的中位数为，
故答案为：2
16．2
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，进而可证明，即可推出．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴,
故答案为：2．
17．k≤1
【详解】∵关于x的方程x2﹣2x+k=0有实数根，
∴△=b2﹣4ac≥0，即4﹣4k≥0，
解得，k≤1．
18．
【分析】设，则，，要使最小，需分析并确定和的最小值，代入即可求解．
本题考查了新定义，正确理解题意是解题的关键．
【详解】解：设，则，
由题意得：，
，“方减数”最小，
，
则，，
，
则当时，最小，为，
故答案为：．
19．
【分析】本题需要分别根据零指数幂、绝对值、特殊三角函数值、立方根的相关性质，逐步化简计算式中的各项，再进行加减运算．本题主要考查了零指数幂的性质（， ）、绝对值的化简（正数和的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 ）、特殊角的三角函数值（ ）、立方根的计算（ ），熟练掌握这些数学概念和性质是解题的关键．
【详解】解：原式．
20．，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
先根据分式的混合运算法则化简，再将代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
21．(1)22；2；；
(2)①人；②人
(3)见解析
【分析】题目主要考查统计调查表及扇形统计图，结合图形，熟练掌握用样本估计总体是解题关键．
（1）根据题中公式直接计算即可得s；结合统计表确定t；结合扇形统计图用360度乘以男女生所占比例即可；
（2）①用男生总人数乘以相应比例即可；②分别用男女生总人数乘以各自所占比例即可；
（3）合理即可．
【详解】（1）解：根据题意：，
由统计表得：内，；
∴，
故答案为：22；2；；
（2）①男生偏胖的人数为：（人）；
②七年级学生的人数为：（人）；
（3）对学校学生进行合理、健康的饮食习惯的培养，加强体育锻炼．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的性质，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到直线是的切线；
（2）根据等边三角形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质得到，根据扇形的面积公式得到结论．
【详解】（1）证明：是等边三角形，是边上的中线，
，
为直径，
直线是的切线；
（2）解：是等边三角形，是边上的中线，
，
，
，
，
，
，
小扇形的面积．
23．(1)该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；
(2)需要更新设备费用为万元
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
（1）设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，再利用更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，再建立方程求解即可；
（2）设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，利用用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，再建立分式方程，进一步求解．
【详解】（1）解：设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，则
，
解得：，
则；
答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；
（2）解：设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，则
，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意；
则，
则还需要更新设备费用为（万元）；
24．(1)见解析
(2)塑像的高约为
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是：
（1）连接，根据圆周角定理得出，根据三角形外角的性质得出，然后等量代换即可得证；
（2）在中，利用正切的定义求出，在中，利用正切的定义求出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接．
则．
∵，
∴．
（2）解：在中，，．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
∴．
答：塑像的高约为．
25．(1)抛物线表达式为
(2)存在，的坐标为或或或
(3)的最小值为
【分析】（1）由解析式知，由，即，知，即，再把，代入中，即可解出、的值；
（2）先求出，设，，当以A，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分以下三类讨论：当、为对角线时，当、为对角线时，当、为对角线时．再分别根据平行四边形的对角线性质列方程即可求解每种情形下的点坐标；
（3）由待定系数法可知直线的表达式为，设，，则，即最大值为时，，此时,再求出,构造平行四边形，则由平行四边形性质可得，则，当且仅当A、、共线时取等号．由勾股定理得，即的最小值为，进而的最小值为．
【详解】（1）解：由抛物线可知，，
，即，
，即，
把，代入中，
得，解得，
∴抛物线表达式为。
（2）解：存在，理由如下：
令，由韦达定理知，
∵，
，即．
设，，，，
则当以A，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分以下三类讨论：
当、为对角线时，由平行四边形对角线性质可得
，解得：（舍弃）或，
∴；
当、为对角线时，同理可得
，解得：，则，
∴或；
当、为对角线时，同理可得
，解得：（舍弃）或，
∴，
综上，的坐标为或或或。
（3）解：由待定系数法可知直线的表达式为，
设，，则，
∴最大值为时，，此时，
点为线段的中点，
,
构造平行四边形，则由平行四边形性质可得，
，当且仅当A、、共线时取等号．
故，即的最小值为，
的最小值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式、解直角三角形、平行四边形的存在性问题、二次函数与线段最值、线段和最小值问题等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键．
26．(1)画图见解析，90
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）依题意画出图形即可，证明四边形是矩形，即可求解；
（2）过P作于C，证明矩形是正方形，得出，利用证明，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得证；
（3）分M在线段，线段的延长线讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可；
【详解】（1）解：如图，即为所求，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
故答案为：90；
（2）证明：过P作于C，
由（1）知：四边形是矩形，
∵点P在的平分线上，，，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴
；
（3）解：①当M在线段上时，如图，延长、相交于点G，
由（2）知，
设，则，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当M在的延长线上时，如图，过P作于C，并延长交于G
由（2）知：四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴
，
∵
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，的值为或．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
A
B
B
C
B
D
B
第一次第二次