湖南省娄底市2024年中考三模[中考模拟]数学试卷（解析版）

这是一份湖南省娄底市2024年中考三模[中考模拟]数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列四个数中，最小的数是( )
A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】，∴最小的数是，
故选D．
2. 如图，，，，那么的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，，，
∴，
故选：D．
3. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴，∴，∴，
故选：C．
4. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 只有一个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等实数根D. 没有实数根
【答案】C
【解析】∵，，，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
5. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】在中，，∴，即，
当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去；
若时，为等腰三角形，
故选：B．
6. 下列说法（或等式）正确的是（ ）
A. B. 一条线段的黄金分割点有两个
C. 与是同类项D. 是最简二次根式
【答案】B
【解析】A、，原结果错误，故不符合题意；
B、一条线段的黄金分割点有两个，靠近两端各有一个，正确，故符合题意；
C、与相同字母的指数不同，不是同类项，原说法错误，故不符合题意；
D、，不是最简二次根式，原说法错误，故不符合题意．
故选：B．
7. 某月1日—10日，甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示，则下列错误的结论是（ ）
A. 1日—10日，甲的步数逐天增加
B. 1日—6日，乙的步数逐天减少
C. 第9日，甲、乙两人的步数正好相等
D. 第11日，甲的步数不一定比乙的步数多
【答案】B
【解析】A. 通过折线统计图中甲的图例实线部分，在1日—10日步数逐天增加，正确，不符合题意；
B. 通过折线统计图中乙的图例虚线部分，在1日—5日步数逐天减少，第6日有所增加，错误，符合题意；
C. 通过折线统计图中甲乙折线部分在第9日出现了重合，所以甲、乙两人的步数正好相等，正确；
D. 第11日图形没有给出，只能预测，所以不一定，正确．
题目要求选择错误的结论，B选项错误．
故选B．
8. 已知反比例函数和一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴，
∴，，
∴函数的图象，随的增大而增大，与轴的交点在轴的负半轴，
故选：D．
9. 某停车场24小时营业，其收费方式如表所示，已知王爱国某日进场停车，停了x小时后离场，x为整数．若王爱国离场时间介于当日的之间，则他此次停车的费用为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】王爱国离场时间介于当日的间，
王爱国的停车费为：元．
故选：A．
10. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别与边，相交于点，，连接．若，，，则的长为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】A
【解析】由题意得：是的垂直平分线，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，
∴，即，
∴，∴，
故选：A．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 若，则__．
【答案】
【解析】∵，
∴．
12. 计算= _________________．
【答案】1
【解析】．
13. 将点先向上平移5个单位，再向左平移3个单位，得到点Q，则点Q的坐标为__．
【答案】
【解析】根据题意，点Q的坐标是，
即．
14. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的值可以是__．（任意写一个满足条件的k值）
【答案】0
【解析】∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
∴，
∴k的值可以是0，
故答案为：0（答案不唯一）．
15. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点，，则的度数是______．

【答案】
【解析】∵四边形内接于，∴，
∵，∴，
∵，∴，
故答案：．
16. 如图所示，是工人师傅用边长均为的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点进行的铺设，若将一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是_________．

【答案】
【解析】正三角形和正方形的内角分别为与，
，
这块正多边形地砖的边数为．
17. 某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务，随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下：
调查问卷
（单选）在下列课外活动中，你最喜欢的是（ ）
A．文学B．科技C．艺术D．体育
填完后，请将问卷交教务处．
根据统计得到的数据，绘制成了下面两幅不完整的统计图．
已知选择“艺术”类课外活动的学生中有16名男生和若干名女生．若从“艺术”类学生中随机抽取1名女生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是__．
【答案】
【解析】抽取的学生一共有：（人），
选择“艺术”类课外活动的学生一共有：（人），
∵选择“艺术”类课外活动的学生中有16名男生，
∴选择“艺术”类课外活动的学生中女生有：（人），
∴若从“艺术”类学生中随机抽取1名女生座谈，恰好抽到女生的概率，
故答案为：．
18. 如图，在中，，将绕着点旋转（至，旋转后的点落在上的点处，是的角平分线，则__．
【答案】
【解析】∵将绕着点旋转（）至，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
解：．
20. 先化简，再求值：，其中．
解：
，
当时，原式．
21. 某校舞蹈队共名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：），数据整理如下：
．名学生的身高：
，，，，，，，，，，，；
．名学生的身高的平均数、中位数、众数：
（1）表中 ， ；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 （填“甲组”或“乙组”）；
（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为，，，他们的身高的方差为在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
解：（1）数据按由小到大的顺序排序：，，，，，，，，，，，，
则舞蹈队名学生身高的中位数，众数，
故答案为：；；
（2）甲组学生身高的平均值是：，
甲组学生身高的方差是：，
乙组学生身高的平均值是：，
乙组学生身高的方差是：，
∵，
∴甲组舞台呈现效果更好．
故答案为：甲组；
（3）∵已选168，168，172，
∴从剩下舞蹈队学生的身高“，，，，，，，，”中再选两名，
又∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，
∴先选择剩下的最大的两名，，，
平均数为：，
方差为：，
符合题意，
∴选出的另外两名学生的身高分别为和．
22. 为了满足市民的需求，某市在一条小河的两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①；②．经勘测，点在点的正东方，点在点的正北方千米处，点在点的正西方千米处，点在点的北偏东方向，点在点的正南方，点在点的南偏西方向．由于时间比较宽松，小明决定选择一条较长线路进行锻炼，请计算说明小明应该选择线路①还是线路②呢？（参考数据：，）
解：如图，过点作于点，
又∵点在点的正东方，点在点的正北方千米处，点在点的正西方千米处，点在点的北偏东方向，点在点的正南方，点在点的南偏西方向，
∴，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵在中，，，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴，，
∴路线①的长度为，
路线②的长度为，
∵，
∴小明应该选择线路②．
23. 某中学为更好地课后服务学生，丰富学生课余生活，计划从体育用品专店一次性购置若干个同一品牌的足球和篮球．经协商，购置3个足球和2个篮球共需310元，购置2个足球和5个篮球共需500元．问：
（1）购置一个足球和一个篮球各需多少元?
（2）根据学校对学生课后爱好情况统计分析，需一次性购置足球和篮球共96个，但学校要求购置足球和篮球的总费用不得超过5720元，该校最多可以购置多少个篮球?
解：（1）设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，
列方程组得： ，解得：，
答：购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元；
（2）设购买了a个篮球，则购买了个足球．列不等式得：
，解得，
∵a正整数，
∴a最多可以购买30个篮球．
∴这所学校最多可以购买30个篮球．
24. 如图，四边形是矩形，点E，F分别在的延长线上，．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
25. 如图，是的直径，点是上一点，延长到点，使得，点在的延长线上，点是线段上一点，交于、交于．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求证：
（3）若，，，求的面积．
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是的切线；
（2）证明：∵，由（1）得是的切线，
∴，
又∵，
∴，即，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得：或，
当时，，
当时，，
∵，即，
∴，
∴，
∴的半径，
∴的面积．
26. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上一个动点．

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点的坐标为时，求四边形的面积；
（3）当动点在直线上方时，在平面直角坐标系内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把，代入得：，
解得：，∴该抛物线的函数表达式为；
（2）如图，连接、、、，过点作于点，

∵点的坐标为，
∴，，
∵时，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴
；
（3）存在，
如图，当为边时，四边形为矩形，交轴于点，交轴于点，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，

∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴和为全等的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，∴，
∴直线的解析式为，
联立方程组得，解得或，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当为对角线时，四边形为矩形，过点作轴于点，轴于点，

则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，
∵，，动点在直线上方，
∴，，或，
∴，
∴，，，，
∴，
整理得：，，
分解因式得：，
∴或，
解得：（舍去），（舍去），，
∴，，
∴此时点的坐标为．
综上所述，在平面直角坐标系内存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或．停车时间
收费方式
3元/小时，该时段最多收18元．
1元/小时，该时段最多收10元．
若进场时间与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费
平均数
中位数
众数
甲组学生的身高
乙组学生的身高