2024_2025学年江苏省宿迁市宿城区八年级上册（11月）期中考试数学试题【附答案】

这是一份2024_2025学年江苏省宿迁市宿城区八年级上册（11月）期中考试数学试题【附答案】，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题

1.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A.B.C.D.

2.如图，AB=AD，AC平分∠BAD．证明△ABC≅△ADC的依据是（ ）
A.AASB.SSSC.ASAD.SAS

3.如图，点F，B，E，C在同一条直线上，△ABC≅△DEF，若∠A=24∘，∠F=26∘，则∠DEC的度数为（ ）
A.50∘B.60∘C.70∘D.80∘

4.如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若斜边AB的长为10，则S1+S2的值为（ ）
A.8B.32C.64D.100

5.下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A.32，42，52B.1，43，53C.13，14，15D.7，12，13

6.在△ABC中，∠B=60∘，∠C=35∘，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A.50∘B.55∘C.60∘D.65∘

7.如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用x,y表示直角三角形的两条直角边x>y，请观察图案，下列式子不正确的是（ ）
A.x−y=5B.x2+y2=81C.x+y=12D.xy=28

8.如图，△ABC的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长为（ ）
A.195B.4C.175D.215
二、填空题

9.如图， D， E是边BC上的两点，BD=CE,∠ADB=∠AEC， 现要直接用“AAS”定理来证明△ABD≅△ACE， 请你再添加一个条件： ________________．

10.如图，在△ABC中，∠C=90∘，BD平分∠ABC，DC=5，则点D到AB的距离为____________．

11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连结CD．若∠ACD=20∘，则∠A=______________​∘．

12.在△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=8，则AB边上的中线CD=___________．

13.如图，已知∠AOB=60∘，点P在边OA上，OP=8，点M,N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM的长是________________．

14.如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90∘，BC=CD，作CE⊥AB于E，若CE=4，则四边形ABCD的面积是___________．

15.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=2,BC=4，则AB2+CD2=________________．

16.若等腰三角形的两条高所在直线形成的角中有一个为45∘，则其顶角的度数为____________．

17.如图，CN平分△ABC的外角∠ACM，过点A作CN的垂线，垂足为点D，∠B=∠BAD．若AC=9，BC=6，则AD的长为 _________________________．

18.如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2=7，AB=6，则△ABC的周长为____________．
三、解答题

19.已知∠B=∠C，∠1=∠2，AD=AE，求证△ABD≅△ACE．

20.如图，点E为△ABC的外角∠CAD平分线上的一点，AE // BC．求证：△ABC是等腰三角形．

21.如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE=CF，∠BDE=30∘，求证：△ABC是等边三角形．

22.如图，在△ABC中，EF是边AC的垂直平分线，AB=EC，D是BE的中点，∠BAD=28∘，求∠BAC的度数．

23.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级1班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？

24.如图，在△ABC中，∠B=90∘，点O是∠CAB、∠ACB平分线的交点．
（1）连接BO，求证：BO平分∠ABC；
（2）若BC=4cm，AC=5cm，求点O到边AB的距离．

25.清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”．
（1）当k=14时，写出这一组勾股数______．
（2）证明“罗士琳法则”的正确性．

26.如图，在△ABC中,AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G, CD=AE.
1求证: CG=EG.
2已知BC=13, CD=5,连结ED,求△EDC 的面积.

27.【问题1】在△ABC中，BA⊥AC垂足为A，D为△ABC内一点，连接DA，DC，延长DA到点E，使得AE=AD．
（1）如图1，延长CA到点F，使得AF=AC，连接BF，EF，若BF⊥EF．求证：CD⊥BF；
（2）如图2，连接BE，交CD的延长线于点H，若CD⊥BE，猜想BC，CD，BE的数量关系，并证明你的猜想；
【问题2】如图3，在△ABC中，∠BAC=90∘，如果点D为线段AC上一动点，点E为线段AB上一动点，且AD=BE，连接CE、BD，且AC=5，AB=7，请直接写出BD+CE的最小值为______．

28.如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，AB=3，BC=4，点P是射线BC上一动点，过点P作AC的垂线，交射线AC于点E，交射线AB于点D，连结AP．
（1）当PB=PE时，求EC的长；
（2）如图2，当BP=BA时，求BD的长；
（3）连结CD，在点P的整个运动过程中，当△APC是等腰三角形时，求△BDC的面积．
参考答案与试题解析
2024-2025学年江苏省宿迁市宿城区八年级上学期11月期中考试数学试题
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
轴对称图形
【解析】
本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】
解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
2.
【答案】
D
【考点】
此题暂无考点
【解析】
本题考查了全等三角形的判定；根据角平分线的定义得出∠BAC=∠DAC，进而根据SAS证明两三角形全等，即可求解．
【解答】
解：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABC与△ADC中，
AB=AD∠BAC=∠DACAC=AC ，
∴△ABC≅△ADCSAS，
故选：D．
3.
【答案】
A
【考点】
三角形的外角的定义及性质
全等三角形的性质
【解析】
本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．根据全等三角形的性质可得∠D=∠A=24∘，最后根据三角形的外角性质，即可求解．
【解答】
解：∵ △ABC≅△DEF，
∴ ∠D=∠A=24∘，
∵ ∠F=26∘，点F，B，E，C在同一条直线上，
∴ ∠DEC=∠F+∠D=26∘+24∘=50∘，
故选：A．
4.
【答案】
D
【考点】
以弦图为背景的计算题
【解析】
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．设直角边BC=x,AC=y，则S1=x2,S2=y2，再利用勾股定理求解即可得．
【解答】
解：设直角边BC=x,AC=y，
则S1=x2,S2=y2，
∵斜边AB的长为10，
∴x2+y2=102=100，
∴S1+S2=100，
故选：D．
5.
【答案】
B
【考点】
判断三边能否构成直角三角形
【解析】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】
解：A、322+422≠522，故不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、12+432=532，故是直角三角形，故本选项符合题意；
C、152+142≠132，故是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、72+122≠132，故不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
6.
【答案】
A
【考点】
三角形内角和定理
线段垂直平分线的性质
作垂线(尺规作图)
【解析】
本题主要考查基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
由线段垂直平分线的性质可得AD=DC，根据等边对等角得到∠C=∠DAC，根据内角和定理求得∠BAC=85∘，最后根据角度的和差关系即可得到答案．
【解答】
由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD=DC，
故∠C=∠DAC，
∵∠C=35∘，
∴∠DAC=35∘，
∵∠B=60∘，
∴∠BAC=180∘−∠B−∠C=85∘，
∴∠BAD=∠BAC−∠CAD=50∘，
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
完全平方公式的几何背景
以弦图为背景的计算题
【解析】
本题考查了勾股定理，完全平方公式，由图可得x2+y2=81，x−y2=25，即可判断A、B；进而由完全平方公式可得xy=28，x+y2=x2+y2+2xy=137即可判断C、D；正确识图是解题的关键．
【解答】
解：由图形可得，x2+y2=81，x−y2=25，故B正确；
∴x−y=5，故A正确；
∵x−y2=25，
∴x2−2xy+y2=25，
∴81−2xy=25，
∴2xy=56，
∴xy=28，故D正确；
∵x+y2=x2+y2+2xy=81+56=137，
∴x+y=137，故C错误；
故选：C．
8.
【答案】
A
【考点】
勾股定理与网格问题
三角形的面积
【解析】
本题考查了勾股定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出AB=5，再根据割补法求出△ABC的面积，由三角形面积求出CD即可．
【解答】
解：由勾股定理得：AB=32+42=5，
S△ABC=5×4−12×3×4−12×5×1−12×1×4=192，
∵CD⊥AB，
∴△ABC的面积=12×AB×CD=12×5×CD=192，
∴CD=195，
故选：A．
二、填空题
9.
【答案】
∠BAD=∠CAE
【考点】
用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）
添加条件使三角形全等
【解析】
在△ABE与△ACD中，已知AE=AD，∠AED=∠ADE，即已知一角及角的一边对应相等，根据“AAS”的判定方法，可以添加已知边的对角对应相等即可．本题考查了全等三角形的判定定理：AAS：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
【解答】
解：可添加一个条件：∠BAD=∠CAE，使△ABD≅△ACE．
理由：
在△ABD与△ACE中，
∠BAD=∠CAE∠AED=∠ADEBD=CE ，
∴△ABD≅△ACEAAS．
故答案为∠BAD=∠CAE
10.
【答案】
5
【考点】
角平分线的性质
【解析】
本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．过点D作DE⊥AB于E，结合题目中的条件∠C=90∘，BD平分∠ABC，利用角平分线的性质定理可得DE=DC，再根据距离的定义即可解答．
【解答】
解：过点D作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，∠C=90∘，DE⊥AB，
∴DE=DC=5，即点D到AB的距离为
故答案为：
11.
【答案】
50
【考点】
三角形内角和定理
【解析】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可求解．
【解答】
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠ACD=20∘，
∴ ∠BCD=70∘，
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=70∘，
∴∠B=180∘−∠BCD−∠BDC=40∘，
∴∠A=180∘−∠B−∠ACB=50∘．
故答案为：
12.
【答案】
5
【考点】
勾股定理的应用
直角三角形斜边上的中线
【解析】
本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质．先利用勾股定理求出AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可．
【解答】
解：在△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=8，
∴AB=AC2+BC2=10，
∴AB边上的中线CD=12AB=5，
故答案为：
13.
【答案】
3
【考点】
含30度角的直角三角形
【解析】
作PH⊥MN于H，如图，根据等腰三角形的性质得MH=NH=12MN=1，在Rt△POH中由∠POH=60∘得到∠OPH=30∘，则根据在直角三角形中，30∘角所对的直角边等于斜边的一半可得OH=12OP=12×8=4，然后计算OH−MH即可．
【解答】
作PH⊥MN于H，如图，
∵PM=PN，
∴MH=NH=12MN=1，
在Rt△POH中，
∵∠POH=60∘，
∴∠OPH=30∘，
∴OH=12OP=12×8=4，
∴OM=OH−MH=4−1=3．
故答案为：
14.
【答案】
16
【考点】
全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
多边形内角和问题
【解析】
本题考查了三角形全等的判定与性质，多边形内角和，过点C作CG⊥AD交AD延长线于点G，证明△BCE≅△DCGAAS，将四边形ABCD的面积转化为四边形AECG的面积即可解答．
【解答】
解：过点C作CG⊥AD交AD延长线于点G，
∵ CE⊥AB，CG⊥AG
∴ ∠CEB=∠G=90∘．
∵ ∠DAB=∠BCD=90∘，∠DAB+∠B+∠ADC+∠BCD=360∘，
∴ ∠ADC+∠B=∠ADC+∠CDG=180∘，
∴ ∠B=∠CDG，
在△DCG和△BCE中，
∠B=∠CDG∠CEB=∠CGDCD=BC
∴ △BCE≅△DCGAAS，
∴ CE=CG=4，S△BCE=S△DCG，
∴ S△BCE+S四边形AECD=S△DCG+S四边形AECD，即S四边形ABCD=S四边形AECG，
∴ S四边形ABCD=S四边形AECG=CE⋅CG=4×4=16．
故答案为：16．
15.
【答案】
20
【考点】
四边形其他综合问题
利用勾股定理证明线段平方关系
【解析】
由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解.
【解答】
∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90∘，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2，
∵AD=2，BC=4，
∴AB2+CD2=AD2+BC2=22+42=20，
故答案为：20.
16.
【答案】
45∘或90∘或135∘
【考点】
与三角形的高有关的计算问题
三角形内角和定理
等腰三角形的定义
【解析】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的有关概念，三角形的内角和定理，分三种情况讨论即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【解答】
分情况讨论：
①如图，AB=AC，∠BFE=45∘，
∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠BEC=∠ADB=∠BDC=90∘，
∴∠ABD=∠A=45∘，即顶角为45∘，
②如图，AB=AC，∠BAD=45∘，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
∴∠BAD=∠B=45∘，
∴∠B=∠C=45∘，
∴∠BAC=90∘，即顶角为90∘，
③如图，
同①理可得∠PBN=∠BAM=45∘，
∴∠BAC=135∘，即顶角为135∘，
综上可知：顶角度数为45∘或90∘或135∘．
17.
【答案】
152
【考点】
根据等角对等边证明边相等
全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【解析】
此题考查了等角对等边，全等三角形的判定与性质，添加合适的辅助线构建全等三角形是解题的关键．延长AD交BM于点E，根据等角对等边推出AE=BE，易证△ACD≅△ECD，根据全等三角形的性质得出AC=EC，AD=ED，再根据线段的和差求出AE=BE，即可求解．
【解答】
解：如图，AD的延长线交BM于点E，
∵∠B=∠BAD，
∴AE=BE，
∵CN平分∠ACM，
∴∠ACN=∠ECN，
∵AD⊥CN，
∴∠ADC=∠EDC=90∘，
在△ACD和△ECD中，
∠ACN=∠ECNCD=CD∠ADC=∠EDC ，
∴△ACD≅△ECDASA，
∴AC=EC，AD=ED，
∵AC=9，
∴EC=9，
∵BC=6，
∴BE=BC+EC=15，
∴AE=15，
∴AD=152，
故答案为：152．
18.
【答案】
14
【考点】
通过对完全平方公式变形求值
以直角三角形三边为边长的图形面积
【解析】
本题考查的是勾股定理，熟练掌握与勾股定理有关图形面积计算是解题关键．
根据勾股定理得到AC2+BC2=AB2=36，根据半圆面积公式、完全平方公式由S1+S2=7可得AC⋅BC=14，由∴AC+BC2=AC2+BC2+2AC⋅BC=64，即可求解．
【解答】
解：由勾股定理得，AC2+BC2=AB2，
∵S1+S2=7，
∴12πAC22+12πBC22+12AC⋅BC−12πAB22=7，
∴18πAC2+BC2−AB2+12AC⋅BC=7，
∴AC⋅BC=14，
∵AB=6，
∴ AC2+BC2=AB2=36，
∴AC+BC2=AC2+BC2+2AC⋅BC=36+2×14=64，
∴AC+BC=8（负值舍去），
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=6+8=14，
故答案为：
三、解答题
19.
【答案】
见解析
【考点】
用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）
【解析】
本题考查了全等三角形的判定，由∠1=∠2得出∠CAE=∠BAD，再利用AAS证明△ABD≅△ACE即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．
【解答】
证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠CAE=∠BAD，
在△ABD和△ACE，
∠B=∠C∠CAE=∠BADAD=AE ，
∴△ABD≅△ACEAAS．
20.
【答案】
见解析
【考点】
根据等角对等边证明边相等
两直线平行内错角相等
两直线平行同位角相等
【解析】
首先依据平行线的性质证明∠DAE=∠B，∠EAC=∠C，然后结合角平分线的定义可证明∠B=∠C，故此可证明△ABC为等腰三角形．
【解答】
证明：∵AE∥BC，
∴∠DAE=∠B，
∠EAC=∠ACB，
∵E为△ABC的外角平分线上的一点，
∴∠DAE=∠EAC，
∴∠B=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
21.
【答案】
见解析
【考点】
等边三角形的判定
等腰三角形的判定与性质
全等的性质和HL综合（HL）
【解析】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定，解答本题的关键是明确题意．先利用条件证明出Rt△BED ≅Rt△CFD，从而得到∠B=∠C，利用等角对等边证出AB=AC，再利用∠BDE=30∘，DE⊥AB证明出∠B=60∘，从而得到答案即可．
【解答】
证明：∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
BD=CDBE=CF
∴Rt△BED ≅Rt△CFDHL，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）．
∵∠BDE=30∘，DE⊥AB，
∴∠B=60∘，
∴△ABC是等边三角形．
22.
【答案】
∠BAC=87∘
【考点】
三角形的外角的定义及性质
线段垂直平分线的性质
【解析】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，构建合适的辅助线是解本题的关键．连接AE，根据线段垂直平分线的性质可得AE=CE，推出∠C=∠EAC，AB=AE，根据等腰三角形的性质可得∠BAD=∠EAD=28∘，再利用三角形的外角性质可得∠C=∠EAC=31∘，最后利用角的和差即可求解．
【解答】
解：如图，连接AE，
∵ EF是边AC的垂直平分线，
∴ AE=CE，
∴ ∠C=∠EAC，
∵ AB=EC，
∴ AB=AE，
∵ D是BE的中点，
∴ ∠BAD=∠EAD=28∘，∠ADE=90∘，
∴ ∠AED=90∘−∠EAD=62∘，
∵ ∠AED是△ACE的一个外角，
∴ ∠AED=∠C+∠EAC=62∘，
∴ ∠C=∠EAC=31∘，
∴ ∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠EAC=28∘+28∘+31∘=87∘，
∴ ∠BAC=87∘．
23.
【答案】
（1）风筝的高度CE为21.6米
（2）他应该往回收线8米
【考点】
勾股定理的应用——求旗杆高度
【解析】
（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
（1）解：由题意得：AB=DE=1.6m，
在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2=BC2−BD2=252−152=400，
所以，CD=20（负值舍去），
所以，CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米)，
答：风筝的高度CE为21.6米；
（2）解：由题意得，CM=12米，
∴DM=20−12=8米，
∴BM=DM2+BD2=82+152=17（米)，
∴BC−BM=25−17=8（米)，
∴他应该往回收线8米．
24.
【答案】
（1）见解析；
（2）
【考点】
与三角形的高有关的计算问题
角平分线的性质
角平分线的判定定理
勾股定理的应用
【解析】
（1）过O作OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到OD=OF，OE=OF，继而OE=OD，再根据角平分线的判定即可证明；
（2）先由勾股定理求出AB，再由△ABC的面积=△OBC的面积+△AOB的面积+△AOC的面积，即可求解．
【解答】
解：（1）证明：过O作OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵点O是∠CAB、∠ACB平分线的交点，
∴OD=OF，OE=OF，
∴OE=OD，
∵OD⊥BC，OE⊥AB，
∴BO平分∠ABC；
（2）解：∵BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90∘，
∴AB=AC2−AB2=3，
∵△ABC的面积=△OBC的面积+△AOB的面积+△AOC的面积，
∴12BC⋅AB=12BC⋅OD+12AB⋅OE+12AC⋅OF，
∴3×4=3+4+5×OE，
∴OE=1，
∴点O到边AB的距离是
25.
【答案】
14，48，50；
（2）见解析．
【考点】
勾股数
【解析】
（1）根据题意直接求解即可；
（2）根据勾股定理计算证明即可．
【解答】
（1）解：当k=14时，
根据题意得：12k2−1=48,12k2+1=50，
∴这一组勾股数为14，48，50；
故答案为：14，48，
（2）证明：∵k2+12k2−12=k2+14k2−12
=k2+116k4+1−12k2
=116k4+12k2+1．
12k2+12=14k2+12=116k4+12k2+1，
∴当k大于2时，k2+12k2−12=12k2+12，
∴如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数．
26.
【答案】
（1）见解析；27.5
【考点】
直角三角形斜边上的中线
勾股定理的应用
等腰三角形的性质：三线合一
【解析】
（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一的性质即可得证；
2过点E作EF⊥BC于点F，首先求出BD，再根据等腰三角形三线合一得DF=4，利用勾股定理求出EF即可求出△EDC的面积.
【解答】
（1）证明：连接ED，
∵AD⊥BC
∴∠ADB=90∘
∵CE是AB边上的中线
∴E是AB的中点
∴DE=12AB
又∵AE=12AB
∴AE=DE
∵AE=CD
∴DE=CD
即△DCE是等腰三角形，
∵DG⊥EC，
∴CG=EG；
2如图，过点E作EF⊥BC于点F，
∵BC=13, CD=5
∴BD=13−5=8，DE=CD=5
∵DE=12AB=BE，
∴△BDE为等腰三角形，
又∵FE⊥BD，
∴DF=12BD=4
在Rt△DEF中，EF=DE2−DF2=52−42=3
∴S△EDC=12CD⋅EF=12×5×3=7.5
27.
【答案】
（1）见解析
CD2+BE2=BC2，理由见解析
【考点】
全等三角形的应用
线段垂直平分线的性质
勾股定理的应用
根据矩形的性质与判定求线段长
【解析】
（1）证明△ADC≅△AEFSAS得出∠DAC=∠EFA，从而推出CD∥EF，结合BF⊥EF即可得解；
（2）由“SAS”可证△ADC≅△AEF得出∠DAC=∠EFA，CD=EF，从而推出CD∥EF，结合题意得出EF⊥BE，最后由勾股定理即可得解；
【解答】
解：（1）证明：在△ADC和△AEF中，
AC=AF∠CAD=∠FAE,AD=AE
∴△ADC≅△AEFSAS，
∴∠DCA=∠EFA，
∴CD∥EF，
∵BF⊥EF，
∴CD⊥BF；
（2）解：CD2+BE2=BC2，理由如下：
如图2，延长CA到F，使AC=AF，连接EF，BF，
∵BA⊥AC，AC=AF，
∴AB为CF的垂直平分线，
∴BC=BF，
在△ADC和△AEF中，
AC=AF∠CAD=∠FAEAD=AE ，
∴△ADC≅△AEFSAS，
∴∠DCA=∠EFA，CD=EF，
∴CD∥EF．
∵CD⊥BE，
∴EF⊥BE，
∴由勾股定理可得：EF2+BE2=BF2，
∴CD2+BE2=BC2；
28.
【答案】
（1）2；
（2）4；
（3）73或
【考点】
等腰三角形的定义
解直角三角形的相关计算
勾股定理的应用
全等三角形的应用
【解析】
（1）根据Rt△ABP≅Rt△AEP可知AE=AB=3，又因为AC=AB2+BC2=5，即可求得EC的长；
（2）根据∠EPC+∠ACB=90∘，∠BPD+∠BDP=90∘，可知∠BDP=∠ACB，故△ABC≅△BPD，即可求得BD=BC=4；
（3）分两种情况①当PC=PA时，根据PE是AC的中垂线得到DE是AC的中垂线，在Rt△DBC中，42+x2=3+x2，可求出一种解②当CA=CP时，在Rt△DBP中，92+x2=3+x2可以求出另一种解．
【解答】
（1）解：∵PE⊥AC，PB=PE
∴∠AEP=90∘，
在Rt△ABP和Rt△AEP，
PB=PEAP=AP ，
∴Rt△ABP≅Rt△AEPHL，
∴AE=AB=3
∵AB=3, BC=4
∴AC=AB2+BC2=5
∴CE=AC−AE=5−3=2
（2）解：∵DE⊥AC
∴∠DEC=90∘
∴∠EPC+∠ACB=90∘
∵BC⊥AD
∴∠DBC=90∘
∴∠BPD+∠BDP=90∘
∴∠BDP=∠ACB
在△ABC和△BPD中
∠ACB=∠BDP∠ABC=∠CBDAB=BP
∴△ABC≅△BPDAAS
∴BD=BC=4
（3）解：由题意可知，分两种情况
①当PC=PA时
∵PA=PC
∴PE是AC的中垂线
∵DE是AC的中垂线
∴DA=DC，
设BD=x则AD=3+x，CD=3+x
在Rt△DBC中，42+x2=3+x2解得x=76
S△BDC=4×762=73
②当CA=CP时，
∵CA=CP，∠ACB=∠PCE，∠ABC=∠CEP
∴△ABC≅△PECAAS
∴AB=PE=3
∵CB=CE，∠PBD=∠AED，CD=CD
∴△DBC≅△DECSAS
∴DB=DE
设DB=DE=x，则DP=3+x
∵AC=AB2+BC2=5
∴BP=BC+CP=BBC+AC=9
在Rt△DBP中，92+x2=3+x2解得x=12
S△BDC=4×122=24
综上所述，S△BDC为73或24