人教版（2024）七年级下册（2024）代入消元法第2课时教学设计

这是一份人教版（2024）七年级下册（2024）代入消元法第2课时教学设计，共7页。教案主要包含了教学目标，教学活动，板书设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
会用代入消元法求解系数非1或-1的二元一次方程组，深化对“消元”思想的理解，能运用该方法解决实际问题
教学重点：用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组
教学难点：方程组中未知数的系数都不为1(或－1)时，如何用一个未知数表示另一个未知数从而实现代入消元的灵活运用
二、教学活动
（一）活动一：旧知回顾，新课导入
【设计意图】通过回顾代入消元法的基本步骤和简单方程组的特点，对比引出系数非1或-1的稍复杂方程组，激发学生的探究兴趣，为新课学习做好铺垫。
师生活动
问题回顾
提问1：上节课学习的代入消元法，核心步骤是什么？
学生回答：将方程组中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再代入另一个方程，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解。
提问2：解方程组x + 2y =5 3x - y =1，你会选择变形哪个方程？为什么？
学生回答：变形第二个方程 3x - y = 1，因为其中 y的系数是-1，变形时计算更简便，可得 y = 3x - 1，再代入第一个方程求解。
新课引入
展示方程组2x + 3y = 10 4x - 5y = 6，提问：这个方程组中两个未知数的系数都不是1或-1，还能用代入消元法求解吗？这节课我们就来解决这类问题。
教学建议
教师可让学生先独立尝试解上述稍复杂方程组，鼓励学生分享自己的变形思路，若遇到困难，再引导学生思考“选择哪个方程、哪个未知数变形更简便”，让学生初步感受系数非1或-1时的变形技巧。
（二）活动二：交流合作，探究新知
探究点1：用代入法解稍复杂的二元一次方程组
【设计意图】通过例题拆解和小组讨论，引导学生掌握系数非1或-1时方程组的变形技巧，熟练运用代入消元法求解，进一步理解“消元”思想。
师生活动
例题讲解
例1：用代入法解方程组2x + 3y = 10 ① 4x - 5y = 6 ②
问题1：观察方程组，两个方程中未知数的系数绝对值分别是多少？选择哪个方程、哪个未知数变形更简便？
学生讨论后回答：方程①中 x的系数是2， y的系数是3；方程②中 x的系数是4， y的系数是5。选择方程①变形 x，因为2是较小的系数，变形后计算量小，即把 x用含 y的式子表示。
问题2：根据上述选择，完成方程①的变形。
学生解答：由①得， 2x = 10 - 3y，所以 x =10-3y2 ③。
问题3：将③代入方程②，转化为一元一次方程并求解。
学生解答：把③代入②，得 4x10-3y2 - 5y = 6
化简： 2(10 - 3y) - 5y = 6，即 20 - 6y - 5y = 6，合并同类项得 -11y = 6 - 20 = -14，解得 y = 1411
问题4：将 y的值代入③，求出 x，并检验方程组的解是否正确。
学生解答：把 y = 1411代入③，得 x = 3411
检验：把 x = 3411， y = 1411代入①，左边 2x3411 + 3x1411 =10，等于右边；
代入②，左边 4x3411 – 5x1411 = 6，等于右边。
所以方程组的解为 x =3411 y = 1411
问题5：若先消去 x，该如何变形？尝试求解。
学生解答：由①得 2x = 10 - 3y，两边乘2得 4x = 20 - 6y ④，把④代入②，得 20 - 6y - 5y = 6，后续求解过程与之前一致，最终得到相同的解。
对应训练
用代入法解方程组 3x + 4y = 16 ① 5x - 6y = 33 ②的解。
解：选择方程①变形 x，由①得 3x = 16 - 4y， x = 16-4y3 ③
把③代入②，得 5x16-4y3 - 6y = 33
两边乘3去分母： 5(16 - 4y) - 18y = 99
展开： 80 - 20y - 18y = 99
合并同类项： -38y = 19，解得 y = -12
把 y = -12代入③，得 x = 16-4(-12)3 = 6。
所以方程组的解为 x = 6 y = -12
教学建议
小组讨论时，教师巡视指导，重点关注学生变形方程和代入计算的过程，对计算失误的学生及时纠正。鼓励学生尝试不同的变形方式，对比哪种更简便，培养学生的灵活解题能力。
探究点2：代入法解二元一次方程组的实际应用
【设计意图】通过实际问题，让学生学会从题目中提取等量关系，列出稍复杂的二元一次方程组，并用代入法求解，提升知识应用能力和解决实际问题的素养。
师生活动
例题讲解
例2：某文具店销售A、B两种笔记本，已知购买2本A种笔记本和3本B种笔记本共花费31元，购买3本A种笔记本和2本B种笔记本共花费29元。求每本A种笔记本和每本B种笔记本的售价各是多少元？
问题1：题目中包含哪些等量关系？
学生回答：等量关系1：2本A种笔记本的费用 + 3本B种笔记本的费用 = 31元；等量关系2：3本A种笔记本的费用 + 2本B种笔记本的费用 = 29元。
问题2：设每本A种笔记本售价为 x元，每本B种笔记本售价为 y元，根据等量关系列出方程组。
学生解答： 2x + 3y = 31 ① 3x + 2y = 29 ②
问题3：用代入消元法解这个方程组。
学生解答：选择方程①变形 x，由①得 2x = 31 - 3y， x = 31-3y2 ③。
把③代入②，得 3x31-3y2 + 2y = 29
两边乘2去分母： 3(31 - 3y) + 4y = 58
展开： 93 - 9y + 4y = 58
合并同类项： -5y = 58 - 93 = -35，解得 y = 7
把 y = 7代入③，得 x = 31-3X72 = 5
答：每本A种笔记本售价5元，每本B种笔记本售价7元。
对应训练
1.某工厂生产甲、乙两种零件，已知生产1个甲种零件和2个乙种零件共需消耗原材料13克，生产3个甲种零件和4个乙种零件共需消耗原材料31克。求生产1个甲种零件和1个乙种零件各需消耗原材料多少克？
解：设生产1个甲种零件需消耗原材料 x克，生产1个乙种零件需消耗原材料 y克，列方程组： x + 2y = 13 ① 3x + 4y = 31 ②
由①得 x = 13 - 2y ③，把③代入②，得 3(13 - 2y) + 4y = 31
展开： 39 - 6y + 4y = 31，合并同类项： -2y = -8，解得 y = 4
把 y = 4代入③，得 x = 5
答：生产1个甲种零件需消耗原材料5克，生产1个乙种零件需消耗原材料4克。
教学建议
引导学生按照“审题找等量关系—设未知数—列方程组—求解—检验—作答”的步骤解决实际问题，强调检验解的实际意义（如售价、原材料消耗不能为负数）。可让学生独立完成对应训练后，同桌互相检查，培养严谨的解题习惯。
（三）活动三：变式训练，巩固提升
【设计意图】通过新定义运算、非负性等变式题目，拓展学生的解题思路，让学生学会根据题目特点构造二元一次方程组，进一步巩固代入消元法的应用。
师生活动
例题讲解
例3：对于任意有理数 m、 n，规定一种新运算： m⊕n = am + bn - 2（ a、 b为常数），已知 2⊕3 = 7， 3⊕(-2) = 4，求 1⊕2的值。
解：根据新运算定义，列出方程组：
由 2⊕3 = 7得： 2a + 3b - 2 = 7，即 2a + 3b = 9 ①
由 3⊕(-2) = 4得： 3a - 2b - 2 = 4，即 3a - 2b = 6 ②
选择方程①变形 a，由①得 2a = 9 - 3b， a = 9-3b2 ③
把③代入②，得 3x9-3b2 - 2b = 6
两边乘2： 3(9 - 3b) - 4b = 12，展开： 27 - 9b - 4b = 12
合并同类项： -13b = -15，解得 b = 1513
把 b = 1513代入③，得 a = 3613
所以 1⊕2 = 1x3613 + 2x1513 - 2 = 4013
对应训练
已知 |2m + 3n - 5|+ (4m - n + 1)2 = 0，求 m、 n的值。
解：因为绝对值和平方数都是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，所以列方程组： 2m + 3n = 5 ① 4m - n = -1 ②
由②得 n = 4m + 1 ③，把③代入①，得 2m + 3(4m + 1) = 5
展开： 2m + 12m + 3 = 5，合并同类项： 14m = 2，解得 m = 17
把 m =17代入③，得 n = 4x17 + 1 = 117
所以 m = 17， n = 117
教学建议
讲解变式题目时，重点引导学生分析题目中的隐含条件（如新运算规则、非负性），帮助学生建立“条件—方程组—求解”的逻辑链条。鼓励学生多角度思考，比如例3也可先消去 b求解，对比不同解法的优劣。
（四）活动四：随堂训练，课堂总结
随堂训练
1.用代入法解方程组4x + 5y = 22 ① 3x - 2y = 5 ②
解：由②得 2y = 3x - 5， y = 3x-52 ③
把③代入①，得 4x + 5x3x-52 = 22
两边乘2： 8x + 15x - 25 = 46，合并同类项： 23x = 69，解得 x = 3
把 x = 3代入③，得 y = 9-52= 2
方程组的解为x = 3 y = 2
2.某商场购进A、B两种玩具，已知购进A种玩具5件和B种玩具3件共花费145元，购进A种玩具3件和B种玩具5件共花费135元。求A、B两种玩具每件的进价各是多少元？
解：设A种玩具每件进价 x元，B种玩具每件进价 y元，列方程组： 5x + 3y = 145 ① 3x + 5y = 135 ②
由①得 5x = 145 - 3y， x = 145-3y5 ③
把③代入②，得 3x145-3y5 + 5y = 135
两边乘5： 435 - 9y + 25y = 675，合并同类项： 16y = 240，解得 y = 15
把 y = 15代入③，得 x = 145-455 = 20。
答：A种玩具每件进价20元，B种玩具每件进价15元。
课堂总结
师生共同回顾：用代入消元法解稍复杂二元一次方程组的关键是选择系数绝对值较小的方程变形，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示，再代入消元；解决实际问题需先找等量关系，再列方程组求解。
学生回答：
提问1：变形方程时，为什么优先选择系数绝对值较小的未知数？
学生回答：可减少分数运算，降低计算难度和失误率。
提问2：用代入法解决实际问题，检验步骤有什么特殊意义？
学生回答：除了检验解是否满足方程组，还要检验解是否符合实际情况，如数量、价格不能为负数或小数（特殊情况除外）。
作业布置
1.教材P99习题10.2第3、4(1)(2)、12题。
2.完成相应课时训练，思考：除了代入消元法，还有没有其他方法可以解二元一次方程组？
三、板书设计
四、教学反思
本节课通过对比简单与稍复杂方程组的差异，引导学生自主探究变形技巧，学生能较好地掌握代入消元法的步骤。但在实际问题求解中，部分学生提取等量关系时容易混淆，后续教学可增加实际问题的审题训练，通过画图、列表等方式帮助学生梳理信息。同时，可引入小组竞赛的形式，激发学生的解题积极性，进一步提升课堂效率。
第2课时 用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组
1. 核心方法：代入消元法
变形：选系数绝对值小的方程，用一个未知数表示另一个未知数
代入：代入另一个方程，消元得一元一次方程
求解：解一元一次方程
回代：求另一个未知数的值
写解：写出方程组的解
2. 实际应用步骤：审题→设元→列方程组→求解→检验→作答