2026省哈尔滨三中高三上学期9月月考试题数学含解析

哈三中2025-2026学年度上学期高三学年第一次验收考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟；（2）第I卷，第II卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.第I卷（选择题，共58分）一、选择题（共58分）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出集合，按交集的定义求解即可.【详解】因为,或，所以或= .故选：C.2. 函数的一个零点所在的区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断.【详解】因为定义域为，且在内单调递增，可知在内单调递增，且，所以函数的唯一一个零点所在的区间是.故选：B.3. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据，平方即可得出的值.【详解】由题意，，∴，解得：．故选：A.4. 已知函数的图象如图所示，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】想要由的图象得到的图象，需要先将图象向右平移个单位得到的图象，然后将轴下方图象翻折到轴上方得到，最后将图象向上平移个单位得到图象.【详解】先将图象向右平移个单位得到的图象 然后将轴下方图象翻折到轴上方得到 最后将图象向上平移个单位得到图象. 故选：5. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可.【详解】因为对任意，当时，都有成立，所以函数在上单调递增，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.6. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用两角和的正切公式，可以得到和的关系，再将所求表达式展开并代入该关系进行计算，即可求解.【详解】根据题意，由，可得，即，化简整理得，又，将代入，得.故选：A7. “百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前激情教育，某班主任根据历年学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个关于经过时间（单位：天）与增加总分数（单位：分）的函数模型，为增分转化系数，为“百日冲刺”后的一模总分，.已知某学生在距离高考还有99天的一模考试中总分为600分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分为（ ）（参考数据：，结果保留整数）A. 658 B. 668 C. 678 D. 688【答案】B【解析】【分析】根据所给函数模型，代入得的值，即可代入求解.【详解】因为，所以，解得，，所以估计此学生在高考中可能取得的总分为分.故选：B.8. 已知函数，，，，则，，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先分析函数的奇偶性和单调性，再比较自变量大小即可得到结果．【详解】函数的定义域为，关于原点对称，又，所以是奇函数，所以，，在上，，，故，所以在上单调递增，，，，又，，综上，，因为单调递增，所以，即．故选：A．二、多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知函数，则下列结论正确的是（　　）A. 函数的定义域为B. 函数的值域为C. 函数的图象关于轴对称D. 函数在上单调递增【答案】ABD【解析】【分析】根据指数函数的性质，结合函数关于轴对称定义、单调性的性质逐一判断即可.【详解】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确；对B：，由，则，故，则，故B正确；对C：，故关于对称，故C错误；对D：，由且为增函数，则为减函数，则在上单调递增，故D正确.故选：ABD.10. 已知函数，则下列选项正确是（ ）A. 若的定义域为，则B. 若的值域为，则C. 若的定义域为，则D. 若在上单调递增，则【答案】AC【解析】【分析】对于A，根据函数的定义域为，可得在上恒成立，分情况讨论计算即可；对于B，根据对数型函数的值域为，可得取遍一切正数，数形结合得不等式组，求解即得；对于C，由函数的定义域为，可转化成不等式的解集为，利用三个二次的关系计算即得；对于D，根据复合函数的单调性，结合对数函数的定义域，列出不等式组求解即可.【详解】对于A，的定义域为等价于在上恒成立，当时，不等式为，符合题意；当时，有，解得.综上即得当的定义域为时，，故A正确；对于B，由的值域为，可得可以取遍一切正数，故需使，解得，故B错误；对于C，的定义域为，即不等式的解集为，故，且方程的两根为和3，则，解得，故C正确；对于D，对于函数在上单调递增，显然，设，因在定义域上为增函数，故依题意，需满足，解得，故D错误.故选：AC.11. 已知函数，定义域均为，的图象关于点对称，且满足，，则（ ）A. 函数的图象关于对称 B. 是周期为4的函数C. D. 是奇函数【答案】ABD【解析】【分析】由的图象关于点对称，根据对称性可得，可判断D；由已知可得判断A；由已知等式推出，可推出函数的周期，判断B；再结合赋值法可判断C.【详解】函数的定义域均为，函数的图象关于点对称，则，即函数是奇函数，D正确；又 ①， ②，由①式，令 ，得，化简可得；由②式，令，得，化简得；因此，即.故的图象关于直线对称，A正确；由①式，令，可得 ③，③-①可得 ④，由判断D选项可知 ， ⑤，④+⑤可得令可得，则，故函数是周期为4的函数，B正确；由判断D选项可知 ，函数是奇函数，则，令，则，令，得，令，得，由，令，得，可得，故，则，C错误，故选：ABD.第II卷（非选择题，共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上）12. 已知角的终边与单位圆的交点为，则________.【答案】##【解析】【分析】利用三角函数的定义求出，代入所求式计算即得.【详解】由题意，，则.故答案为：.13. 已知，，且，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】由基本不等式乘“1”法求得最小值即可求解.【详解】由，可得：，所以，当且仅当时，取等号，所以的最小值为，故答案为：14. 已知函数，若方程有7个不同的实数解，则的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】先画出的图象,设,由图象可转化问题为有3个解,有4个解，然后分析的范围即可求解.【详解】由题可得，当时,；当时,,当时；当,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,当时,,则；当时,,则,画出的图象,如图所示, 因为有7个不同的实数解，设，则，由有个解，则必然有两个解，且有3个解,有4个解，有以下情况：（1），代入可得，矛盾，故舍去；（2）,，设，根据根的分布的性质可得：，解得；（3），，代入，解得，此时，解得，符合题意.综上所述，.故答案为：四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 的内角，，的对边分别为，，，若.（1）求角；（2）若，，成等差数列，且，求.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）结合正弦定理将转化为，再利用两角和正弦公式，同角关系求结论；（2）根据等差数列定义可得，结合（1）及余弦定理可得，再结合条件解方程求即可.【小问1详解】设的外接圆半径为，由正弦定理可得，，，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，故，因为，所以，【小问2详解】因为，，成等差数列，所以，因为，所以，由余弦定理可得，故，所以，又，所以，又，所以，所以.16. 已知数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）借助构造法构造等差数列后结合等差数列性质即可得；（2）借助错位相减法计算即可得.【小问1详解】由，则，则，又，故数列是以为首项，为公差的等差数列，故，则；【小问2详解】则，则，则.17. 已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）设，函数，对于，，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）时，在单调递减；时，在单调递减，单调递增 （2）【解析】【分析】（1）对函数求导，讨论、研究导数符号确定区间单调性；（2）问题化为对，恒成立，讨论函数单调性得出最值计算求参数范围.【小问1详解】由题设且，当时在上递减；当时，令，当时在区间上递减；当时在上递增．所以当时，的减区间为，无增区间；当时，的增区间为，减区间为.【小问2详解】由题设对于，，使得，知，成立．由（1）当时，，则在上递增，，对于，函数单调递增，在上递增， ，所以只需．综上：．18. 已知椭圆的离心率为，过点，为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交曲线于，两点，过点与垂直的直线交曲线于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点.（i）证明：直线过定点；（ii）求面积的最大值.【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）【解析】【分析】（1）根据题意列方程组即可求出；（2）（i）设，，联立方程组求出两点坐标，根据坐标求出直线的方程即可；（ii）根据（i）可得，再令，通过求导研究其最值即可.【小问1详解】由题意可得，，，，解得，故椭圆的标准方程为；【小问2详解】（i）由题意可知，直线斜率存在且不为，则设，故，联立，得，，设，则，，则，，则，，则直线的斜率的倒数为，则直线的方程为，则直线恒过定点；（ii）由（i）可得， 令，则，求导得令，则对称轴为，，故存在使得，则得；得；则在上单调递减，在上单调递增，因，则当时，；当时，；故在上单调递增，在上单调递减，因此，当时，面积有最大值.19. 记，，，.（1）判断并证明的奇偶性；（2）设最小值为，若，对任意恒成立，求的最小整数值；（3）在（2）条件下，设，求在上的零点个数并说明理由.【答案】（1）偶函数，证明见解析 （2）2 （3），理由见解析【解析】【分析】（1）求函数的定义域，证明定义域关于原点对称，再证明，由此可得结论；（2）设，换元可得，设，，利用导数判断函数的单调性，求函数的最小值，由此可得，再求，结合条件求的范围，由此可得结论；（3）由（2）可得，证明函数为周期函数，为函数的一个周期，再证明，由此可得，，都是函数在上的零点，再证明函数在内有且只有一个零点，结合周期性可得结论.【小问1详解】因为，，，所以，函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以函数偶函数，【小问2详解】因为，令，则，，则，设，，则，当时，，又，所以，所以，所以函数在上单调递减，当时，，又，所以，所以，所以函数在上单调递增，所以当时，函数取最小值，最小值为，所以最小值为，所以，所以，因为，对任意恒成立，所以，所以的最小整数值为，【小问3详解】由（2），又，，，所以，因为，所以函数为周期函数，为函数的周期，当时，，，所以，结合周期性可得，，都是函数在上零点，当时，，，，，函数在上没有零点，当时，，，所以，函数在上没有零点，当时，，令，则，所以函数在上单调递增，故函数在上单调递增，又，，所以存在，，，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，又，，，所以函数在上存在唯一零点，在上不存在零点，