2025-2026学年河北省邢台市高二（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年河北省邢台市高二（上）开学数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z=i(−6+i)的虚部为( )
A. 1B. −1C. 6D. −6
2.从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，则与事件“取出的是红球”互为对立事件的是( )
A. “取出的是白球”B. “取出的是黄球”
C. “取出的是红球”D. “取出的不是红球”
3.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，则AE=( )
A. 32AB+12AD
B. AB+12AD
C. 32AB+AD
D. AB+32AD
4.已知甲的投篮命中率为0.6，若甲连续投篮2次，每次投中与否相互独立，则甲连续投中2次的概率为( )
A. 0.4B. 0.6C. 0.36D. 0.16
5.已知α，β，γ是3个不同的平面，且α⊥β，下列命题正确的是( )
A. 若β⊥γ，则α⊥γB. 若β⊥γ，则α//γ
C. 若β/​/γ，则α⊥γD. 若β/​/γ，则α//γ
6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinC=2sinAcsB，则( )
A. a=bB. a=cC. b=cD. C=π2
7.如图，在棱长均相等的正三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为线段BB1，A1C1的中点，点F在B1E上，若BF⊥平面ACD，则B1FB1E=( )
A. 12
B. 13
C. 23
D. 34
8.我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，该图被后人称为“赵爽弦图”.如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形EFHG的边长为1，E为DF的中点，点P在正方形EFHG内(不含边界)，则AP⋅AB的取值范围为( )
A. (1,2)B. (0,4)C. (2,4)D. (1,4)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=53−4i，则( )
A. z=35+45iB. z的共轭复数为35+45i
C. |z|=1D. z>0
10.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则( )
A. 平面CDA1B1与平面ABB1A1所成二面角的正弦值为 22
B. 平面CDA1B1与平面BB1C1C所成二面角的正弦值为1
C. 点B到平面CDA1B1的距离为 2
D. 三棱锥B1−BCD外接球的表面积为3π
11.从日历上随机选14个日期，记这些日期中星期一到星期天的天数分别为x1，x2，⋯，x7，下列结论正确的是( )
A. x1，x2，⋯，x7中最多有4个数据大于2
B. 若x1，x2，⋯，x7的极差为6，则x1，x2，⋯，x7中最多有4个数据为0
C. 若x1，x2，⋯，x7的方差为s2，则0≤s2≤24
D. 若x1，x2，⋯，x7的方差为s2，且中位数为3，则127≤s2≤1027
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(−1,2)，b=(m,3)，若a⊥b，则m=______．
13.已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为 11，则该正四棱台的体积为______．
14.某斜面上有两根长为3米的垂直于水平面放置的杆子，杆子与斜面的接触点分别为A，B，某时刻它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.5米，另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为 5米，斜面的底角为θ，则tanθ= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某机构为了调查喝酸奶是否可以降低体脂，邀请了40名女性作为研究对象，将其随机分成两组，其余变量不变的情况下，实验组每天喝220g酸奶，对照组每天喝220g牛奶，持续24周后，得到如下数据．
单位：人
(1)从这些研究对象中随机抽取1人，求此人每天喝220g酸奶且脂肪减少1kg的概率；
(2)用按比例分层随机抽样的方法从脂肪减少1kg的研究对象中抽取5人进行进一步调查，并从这5人中随机选2人发一份小礼品，求这2人都来自实验组的概率．
16.(本小题15分)
为进一步加强防溺水宣传工作，保障儿童生命安全，预防溺水事故发生，某校举办了“珍爱生命，谨防溺水”主题教育活动及知识竞赛(得分均为整数，满分为100分).从参赛的学生中抽取了100人，统计了其本次竞赛成绩，将数据按照[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成4组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值；
(2)试估计本次竞赛成绩的平均分；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(3)该校准备对本次竞赛成绩排名前15%的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，记平面PAB∩平面PCD=l，l//平面ABCD．
(1)证明：AB//CD．
(2)证明：平面PAB⊥平面PAD．
(3)已知PA=AD=AB=3，CD=2，求直线BC与直线PD所成角的余弦值．
18.(本小题17分)
如图，在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2CD=2,cs∠BAC= 1010．
(1)若sin∠ABC=45，求AC；
(2)若AB=AC，求△ABC的面积；
(3)若AB=AD，求△ABC的周长．
19.(本小题17分)
如图，圆台形水桶内装有少量水，已知水桶的上底面直径B1C1=50cm，下底面直径BC=40cm，水面直径PQ=42cm，AA1，BB1，CC1均为圆台形水桶的母线，长度均为50cm.现有一根细棒l，其长度为16 10cm，将l放入水桶中，且将l的一端置于点B处(水桶厚度、细棒粗细均忽略不计)．
(1)l如何放置时，浸入水中部分的长度最小，最小为多少？
(2)若将l的另一端置于母线CC1上点M2处，求l浸入水中部分的长度．
(3)已知AA1⊥BC，若将l的另一端置于母线AA1上点M3处，求l浸入水中部分的长度．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：z=i(−6+i)=−1−6i，所以z的虚部为−6．
故选：D．
由复数的乘法运算及复数的概念可得．
本题主要考查复数的四则运算，复数的概念，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意，从口袋中任取1个球，结果有“取出的是红球”，“取出的是白球”和“取出的是黄球”，共三种情况，
故事件“取出的是红球”互为对立事件的是“取出的不是红球”．
故选：D．
根据对立事件的概念即可求解．
本题考查对立事件的定义，注意随机事件的定义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，
则AE=AB+BE=AB+12BC=AB+12AD．
故选：B．
根据平面向量的线性运算可得结果．
本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
4.【答案】C
【解析】解：甲的投篮命中率为0.6，
若甲连续投篮2次，每次投中与否相互独立，
则甲连续投中2次的概率为：
P=0.6×0.6=0.36．
故选：C．
利用相互独立事件概率乘法公式求解．
本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：已知α⊥β，若β⊥γ，则α⊥γ或α/​/γ，
如图，正方体中三个面共顶点时三个面两两互相垂直，上下底面与侧面垂直，而上下底面互相平行，故A、B错误；
已知α⊥β，若β/​/γ，设α∩β=l，在平面β内作直线a⊥l，

因为α⊥β，根据面面垂直的性质，所以a⊥α．
过a作一个平面δ与平面γ相交于直线b，
由β/​/γ，得b/​/a，所以b⊥α．
又b⊂γ，所以α⊥γ，故C正确，D错误．
故选：C．
由空间中平面与平面关系依次判断即可．
本题考查空间中平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
6.【答案】A
【解析】解：因为sinC=2sinAcsB，根据正余弦定理得：c=2a⋅a2+c2−b22ac，
所以c2=a2+c2−b2，所以a2=b2，a=b．
故选：A．
根据正余弦定理即可得解．
本题考查了正余弦定理，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意，在棱长均相等的正三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为线段BB1，A1C1的中点，点F在B1E上，BF⊥平面ACD，
如图所示，取AC中点G，连接BG，EG，DG，
∴BG⊥AC，EG/​/A1A，
∴EG⊥平面ABC，
∵AC⊂平面ABC，
∴EG⊥AC，
∵BG∩EG=G，BG，EG⊂平面B1BGE，
∴AC⊥平面B1BGE，
∵BF⊂平面B1BGE，
∴AC⊥BF，
要使BF⊥平面ACD，只须BF⊥DG，
设三棱柱ABC−A1B1C1的棱长为2a，
则B1E=BG= 3a,BD=a，
∴∠BDG=π3,∠B1BF=π6，
∴在Rt△B1BF中， 33=tan∠B1BF=B1FB1B=B1F2a，
∴B1F=2 33a，
∴B1FB1E=2 33a 3a=23．
故选：C．
取AC中点G，先证明AC⊥平面B1BGE，进而得到AC⊥BF，然后分析出要使BF⊥平面ACD，只需BF⊥DG.通过计算得到∠BDG=π3,∠B1BF=π6，进而在Rt△B1BF中求出B1F，即可得解．
本题考查了线面垂直的判定和性质以及解三角形的应用，考查了空间想象能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：因为E为DF的中点，正方形EFHG的边长为1，
设EF=1，所以DF=2，
可得GB=2，AG=1，所以EA=DF=2，
因为∠DEA=90°，可得AD= AE2+ED2= 12+22= 5，
所以AB= 5，
过G作GM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，过F作FK⊥DC于K，
S△AGB=12AB⋅MG=12AG⋅GB=12×1×2，
可得MG=2 55，
因为△AGB≅△DFC，所以FK=GM=2 55，AM= AG2−GM2= 1−(2 55)2= 55，
因为AM=BN，所以BN= 55，所以FN=NK−FK= 5−2 55=3 55，
过P作PP1⊥AB于P1，所以|AP1||AP|=cs∠PAB，
可得|AP1|=|AP|cs∠PAB，所以AP⋅AB=|AP|⋅|AB|⋅cs∠PAB= 5|AP|⋅cs∠PAB= 5|AP1|，
又因为|AM|