2025-2026学年湖南省永州四中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年湖南省永州四中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=2i2022+i20231+i，i为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知非零向量a，b满足|a|=|b|=|a−b|，则a−b与b的夹角为( )
A. 5π6B. π3C. π4D. 2π3
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2=(a−b)2+6,C=2π3，则△ABC的面积是( )
A. 32B. 3C. 3 32D. 2 3
4.已知直线l，A为直线l外一点，下列叙述中正确的是( )
①过点A有且只有一条直线与l平行； ②过点A有且只有一个平面与l平行；
③过点A有且只有一条直线与l垂直； ④过点A有且只有一个平面与l垂直．
A. ①④B. ①③C. ②④D. ②③
5.已知直线l1：2x−my+1=0，l2：(m−1)x−y+m=0，则m=−1是l1//l2的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.直线xsinθ+ 3y+2=0的倾斜角的取值范围是( )
A. [π6,5π6]B. [π3,2π3]C. [0,π6]∪[5π6,π]D. [0,π3]∪[2π3,π]
7.已知函数f(x)=sinx− 3csx图象的一个对称中心为(θ,0)，把f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后，可以得到偶函数y=g(x)的图象，则|θ−φ|的最小值为( )
A. 5π6B. 2π3C. π3D. π6
8.已知f(x)=xlg2( 4x2+1+2x)−csx，且a=f(lg213),b=f(0.90.1),c=f(lg34)，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. a>c>b
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设计如图所示的四个电路图，p：“开关S闭合”，q：“灯泡L亮”，则p是q的充要条件的电路图是( )
A. B.
C. D.
10.一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}，记事件A=“得到的点数不大于4”，记事件B=“得到的点数为偶数”，记事件C=“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是( )
A. P(A∪B)=34B. 事件B∪C−与AC互斥
C. A，B，C两两独立D. P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为1，点M为棱A1D1上的点，N为棱AD上的点.下列说法正确的是( )
A. 正方体ABCD−A1B1C1D1外接球的半径为 3
B. 三棱锥N−BCM的体积为16
C. 点M到BC的距离为 2
D. 若N为AD的中点，则过N，B，C1三点的正方体的截面的面积为98
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.已知直线l过定点A(1,2,3)，向量n=(1,0,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为______．
13.如图，两条异面直线a，b所成的角为π3，在直线a，b上分别取点A′，E和点A，F，使AA′⊥a，且AA′⊥b，已知A′E=1，AF=2，EF=3，则线段AA′= ．
14.若区间[a,b]满足：①函数f(x)在[a,b]上有定义且单调；②函数f(x)在[a,b]上的值域也为[a,b]，则称区间[a,b]为函数f(x)的共鸣区间．请完成：
(1)写出函数f(x)=x3的一个共鸣区间______；
(2)若函数f(x)= x+1−k存在共鸣区间，则实数k的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的顶点B(5,1)，AB边上的高所在的直线方程为x−2y−5=0
(Ⅰ)求直线AB的方程；
(Ⅱ)在下列两个条件中任选一个，求直线AC的方程．
①角A的平分线所在直线方程为x+2y−13=0；
②BC边上的中线所在的直线方程为2x−y−5=0．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
16.(本小题15分)
为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，迬胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表：
(1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；
(2)一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．
17.(本小题15分)
定义在R上的函数f(x)是单调函数，满足f(3)=6，且f(x+y)=f(x)+f(y)，(x,y∈R)．
(1)求f(0)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；
(3)若对于任意x∈[12,3]，都有f(kx2)−f(−2x−1)P(M)，
即P(A)P(C)+P(A)P(B)P(C)>P(A)P(B)+P(A)P(B)P(C)，即P(C)>P(B)=425，
游戏三的所有结果如下表：
当m=3，4，8，9时，P(C)=220425，满足题意．
所以m的所有取值为5，6，7．
17(1)取x=0，得f(0+y)=f(0)+f(y)，即f(y)=f(0)+f(y)，
∴f(0)=0；
(2)f(x)是奇函数，证明如下：
证明：取y=−x，得f(0)=f[x+(−x)]=f(x)+f(−x)=0，
移项得f(−x)=−f(x)，
∴函数f(x)是奇函数；
(3)∵f(x)是奇函数，且f(kx2)+f(2x+1)