江苏省南通市2024-2025学年高一下学期6月期末质量监测数学试题（解析版）-A4

这是一份江苏省南通市2024-2025学年高一下学期6月期末质量监测数学试题（解析版）-A4，共16页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效．
3．本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的运算性质得到，再利用复数的模长公式求解即可.
【详解】由题意得，
由复数的模长公式得，故C正确.
故选：C
2. 南通轨道交通1号线从南通西站到孩儿巷共个车站，某时刻各站上车的人数统计如下：，则这组数据的第百分位数为（ ）
A. 25B. 30C. 55D. 60
【答案】D
【解析】
【分析】利用总体百分位数的定义求解即可.
【详解】因为，
所以这组数据的第百分位数为第个数，即为，故D正确.
故选：D
3. 已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量夹角公式求出，再结合投影向量公式求解即可.
【详解】由向量的夹角公式得，
由投影向量公式得在上的投影向量为，故D正确.
故选：D
4. 在中，若，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】先利用正弦定理边化角，再利用两角差的正弦公式得到，最后结合正弦函数的性质得到，判断三角形形状即可.
【详解】在中，因为，
所以结合正弦定理可得，
则，可得，
由两角差的正弦公式得，
因为，，所以，
可得，解得，
即的形状是等腰三角形，故A正确.
故选：A
5. 已知，，是三个不同的平面，l是一条直线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用线面垂直的性质判断C，举反例判断A，B，D即可.
【详解】对于A，若，，则可能会相交也可能平行，故A错误，
对于B，若，，则可能会相交或平行，故B错误，
对于C，由线面垂直的性质得若，，则，故C正确，
对于D，若，，则或，故D错误.
故选：C
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用诱导公式将目标式化为，再利用二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】由题意结合诱导公式得，
由二倍角的余弦公式得，故B正确.
故选：B
7. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图是圆心角为的扇环，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用圆台的性质求出母线长度，结合勾股定理求出高，再利用体积公式求解即可.
【详解】由题意得圆台的上、下底面半径分别为1和2，
因为圆台的侧面展开图是圆心角为的扇环，
所以圆台的母线长度为，
设圆台的高为，由勾股定理得，
由圆台的体积公式得体积为，故A正确.
故选：A
8. 如图，用三种不同元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响．当元件都正常工作或正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率分别为，则系统正常工作的概率为（ ）
A. 0.504B. 0.846C. 0.902D. 0.956
【答案】D
【解析】
【分析】利用对立事件概率公式将目标事件合理转化，再结合独立事件的概率公式求解即可.
【详解】由题意得，，，
且系统正常工作的对立事件为系统不都正常工作且也不正常工作，
而每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，则相互独立，
可得不都正常工作的概率为，
故系统不正常工作的概率为，
由对立事件的概率公式得系统正常工作的概率为，故D正确.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列等式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用两角和的正弦公式判断A，利用二倍角的余弦公式判断B，利用两角和的正切公式判断C，利用两角差的正切公式判断D即可.
【详解】对于A，由两角和正弦公式得
，故A正确，
对于B，由二倍角的余弦公式得，故B错误，
对于C，由题意得，
由两角和的正切公式得，
则，代入可得
，故C正确，
对于D，由题意结合两角差的正切公式得
，故D错误.
故选：AC
10. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一次向上的点数是1”为事件，“第二次向上的点数是偶数”为事件，“两次向上的点数之和是8”为事件，则（ ）
A. 与B相互独立B. 与互斥
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用古典概型公式求出，， ，进一步结合独立事件的概率公式和互斥事件的定理逐个选项判断即可.
【详解】由题意得共有个基本事件，
第一次向上的点数是1有，共6种情况，
由古典概型概率公式得，
第二次向上的点数是偶数有
，共种情况，
由古典概型概率公式得，
两次向上的点数之和是8有，共5种情况，
由古典概型概率公式得，
而事件表示第一次向上的点数是且第二次向上的点数是偶数，
符合条件的有，共3种，则，
下面，我们开始分析各个选项，
对于A，由已知得，，
满足，则与相互独立，故A正确，
对于B，事件表示第一次向上的点数是1和两次向上的点数之和是8至少有1个发生，
符合条件的有，
，共11个，故，
满足，可得与互斥，故B正确，
对于C，由概率加法公式得
，即C正确，
对于D， 题意得共有个基本事件，
则表示第二次向上的点数是偶数且两次且向上点数之和是8，
符合条件的有，共3种，则，故D错误.
故选：ABC
11. 在正三棱柱中，，，M为BC的中点，点N在棱上，且，则（ ）
A. B. 平面
C. 直线MN与平面所成角为D. 三棱锥的外接球表面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：先证明平面,利用线面垂直的性质定理即可证明；对于B：利用线面平行判定定理即可证明；
对于C：找出线面角即可求得结果，对于D：求出外接球的半径即可得到结果.
【详解】对于A：因为正三棱柱，所以平面,平面，
故,又因为三角形为正三角形，M为BC的中点，故,
因为,且平面，故平面，
又因为平面，所以，故选项A正确；
对于B：如图，连接两线相交于点O，
再连接OM，因为是正三棱柱，所以四边形为长方形，
故点O为直线的中点，又因为M为BC的中点，所以OM为三角形的中位线，
故,因为平面，平面，所以平面，故选项B正确；
对于C：
如图，找直线的中点H，直线AC的中点G，连接,因为，
所以点N是的四等分点，故点N为的中点，又因为M为BC的中点，
故,所以直线MN与平面所成角即为直线BH与平面所成角，
因为正三棱柱，所以平面，平面，故,
又因为三角形为正三角形，G为AC的中点，故,因为,
且平面，故平面，故即为所求线面角，
设线面角为，因为,
所以,故选项C错误；
对于D：因为正三棱柱，所以平面,所以球心到平面的距离为,
又因为三角形的外接圆圆心为，所以外接球半径,故，故选项D正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知一组数据2，4，，6，8的平均数为5，该数据的方差为_______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据平均数求出实数，再求出方差.
【详解】由题：一组数据2,4,,6,8的平均数为5，即，解得，
所以该组数据的方差为.
故答案为：4
【点睛】此题考查根据平均数求某个数据，根据已知数据求解方差，关键在于熟练掌握公式，根据公式求解.
13. 在中，，，，且，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据向量的线性运算，结合数量积的运算律可得，即可求解.
【详解】由于，故,故,
又,
故,
故,
故，
由于，故，
故答案为：
14. 在中，，角平分线交于，，则面积的最小值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据二倍角公式以及正弦定理边角转化可得为直角，由等面积法得，结合基本不等式即可求解
【详解】
设在中，角所对的边分别为.
因为，所以，
所以，
由正弦定理可得，故，
因为为的角平分线，所以.
由得，
整理得，即.
因，所以，当且仅当时取等号，
所以，故面积的最小值为8.
故答案为：8.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，满足，，与的夹角为．
（1）求；
（2）若，求k的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据模长公式即可求解，
（2）根据垂直的向量关系，结合数量积的运算律，即可代入求解.
【小问1详解】
由可得，
故，
故
【小问2详解】
由于，故，
即，
故，解得，
16. 为调查学生体能状况，现从某校高一年级参加体能测试的学生中随机抽取100名学生的体能测试成绩，这组数据均在区间，其频率分布直方图如图所示．
（1）求m的值；
（2）用组中值估计该校高一学生的平均体能测试成绩；
（3）现用分层抽样的方法从区间，，抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求这2人体能测试成绩在的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1即可求解，
（2）根据平均数的计算公式即可求解，
（3）列举样本点，即可根据古典概型的概率公式即可求解.
【小问1详解】
由题意可得，解得，
【小问2详解】
平均数为
【小问3详解】
，，的频率分别为，故之比为，因此从，，抽取5个人，则需要从，，分别抽取的人数为1，3，1，
设的1个人为，的3个人为，的1一个人为,
故样本空间为,共有10个，
则2人体能测试成绩在的样本点有共有3个，
故概率为，
17. 已知，．
（1）求；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据和差角公式化简可得，结合同角三角函数的基本关系可得结果.
（2）根据同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角差的正弦公式可求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
化简得，
因为，所以，
所以，即，故.
【小问2详解】
由，得，且，
所以.
因为，所以，
由得，
所以，
所以.
18. 一副三角板按如图所示的方式拼接，将折起，使得．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）设BD，CD的中点分别为M，N，平面AMN与平面ABC的交线为l，求直线l与BD所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据线线垂直，结合线面垂直的判定可得平面，即可由面面垂直的判定求解，
（2）根据二面角的定义，结合垂直关系可得为所求角，即可利用三角形的边角关系求解，
（3）根据线面平行的性质可得与所成的角即为直线l与BD所成角的角，即可求解.
【小问1详解】
，又，平面，
故平面，
又平面，故平面平面；
【小问2详解】
取中点为，过作于，连接，
由（1）知平面平面，且两平面的交线为,
由于,是的中点，
故,平面，故平面，
平面，则，
结合，平面，
故平面，平面，故，
因此为二面角的平面角，
设,则,故
【小问3详解】
由于M，N分别为BD，CD的中点，故,
平面，平面，
故平面
平面,且平面与平面的交线为l，故，
故与所成的角即为直线l与BD所成角的角，
由于与所成的角为
故直线l与BD所成角的余弦值为．
19. 在平面四边形ABCD中，，，，．
（1）若A，B，C，D四点共圆，求AC；
（2）若为锐角，且四边形ABCD的面积为，求；
（3）求BD的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理可得，即可根据共圆的性质求解，由余弦定理即可求解，
（2）利用等面积法以及余弦定理即可求解，
（3）根据正余弦定理，结合辅助角公式可得，即可利用三角函数的性质求解.
【小问1详解】
在中，由正弦定理可得,
结合，，故，
由于为的内角，所以，
因此，
由于A，B，C，D四点共圆，故,
因此在中，
【小问2详解】
由（1）知，，，，
设，，则，
则四边形的面积为，
又，
因此，
故，结合，
可得，结合为锐角，
故，因此，
故,
因此,且,,
故‘
【小问3详解】
由（2）可知，
由正弦定理可得，
所以，
在中，，
结合，故，
由于，所以，
故，
因此