徐州市树人初级中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份徐州市树人初级中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应的位置）
1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义分析判断即可．
【详解】A选项：是分式方程，不是一元二次方程，故A错误；
B选项：是二元一次方程，故B错误；
C选项：是一元二次方程，故C正确；
D选项：是二元二次方程，故D错误．
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．
2. 已知的半径为2，，则点A在（ ）
A. 内B. 上C. 外D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，判断点与圆的位置关系，根据点在圆上，则；点在圆外，则；点在圆内，则（即点到圆心的距离，即圆的半径）进行判断是解决问题的关键．
【详解】解：∵，
∴点与位置关系是点在圆外，
故选：C．
3. 用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法一般步骤：（1）把常数项移到等号右边，（2）二次项系化为1，（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．先进行移项，变形为，两边同时加上4，则左边配成完全平方式，右边化为常数．
【详解】解：移项得，
配方得，
∴，
故选：B．
4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，掌握“一元二次方程有实数根，则”是解题的关键．
根据一元二次方程有实数根，则列出不等式，解不等式即可，需要注意．
【详解】解：由题意得，
解得：且，
故选：D．
5. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，直接根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行解答即可．
【详解】解：∵如图：，
∴，
故选：D．
6. 产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同，都为x，则x应满足的方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据降低后的价格=降低前的价格×（1-降低率），如果设平均每次降价的百分率是x，则第一次降低后的价格是600（1-x），那么第二次后的价格是600（1-x）2，即可列出方程求解．
【详解】解：∵两次降价的百分数相同，都为x，
∴x应满足的方程是：600（1-x）2=384；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据实际问题找到等量关系并列出方程．
7. 《九章算术》中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深1寸(寸)，锯道长1尺尺寸），问这块圆形木材的直径是多少．”如图，请根据所学知识计算：圆形木材的直径是（）
A. 13寸B. 20寸C. 26寸D. 28寸
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设圆的半径为寸，利用勾股定理列出方程是解题的关键．利用垂径定理和勾股定理求得圆的半径即可得出结论．
【详解】解：，
（寸）．
设圆的半径为寸，则寸，
寸，
，
，
解得：．
圆柱形木材的直径是（寸）．
故选：C
8. 如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、圆的定义，确定动点的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时的最小值．
【详解】解： 将沿所在直线折叠，得到，
，
，
E是直角边的中点，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示，
，
当、、共线时，即与重合时，取得最小值，
又，
此时的值最小，
D是斜边的中点，
是的中位线，
，
此时，，
的最小值为4．
故选：C．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应的位置）
9. 一元二次方程的根是______．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法法求解即可，熟练掌握解一元二次方程的方法及步骤是解题的关键．
【详解】解：
，
，，
故答案为：，．
10. 如图，是直径，，，的度数是______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中，等弧所对的圆心角相等得到，再根据平角的定义可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案：．
11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是3，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，解关于a的方程即可．
【详解】解：把3代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
12. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是______．
【答案】13
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系．先解一元二次方程，根据三角形三边关系确定第三边的长，进而即可求解．
【详解】解：，
∴，
解得：．
当时，三边为3，4，6，能组成三角形，
∴这个三角形的周长为；
当时，三边为2，3，6，不能组成三角形，
故答案为：13．
13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 __．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据判别式的意义得到，然后解一次方程即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故答案为4．
14. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，连接，由是的直径，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得，最后由圆内接四边形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则该圆弧所在圆的圆心坐标为______．
【答案】2,1
【解析】
【分析】本题考查垂径定理的应用，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，据此即可求解；
【详解】解：由图可知：，
分别作出弦的垂直平分线，如图所示：
根据弦的垂直平分线必过圆心可得：该圆弧所在圆的圆心坐标为2,1，
故答案为：2,1
16. 如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为，宽为的挂图，设边框的宽为，如果风景画的面积是，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用一元二次方程解决实际问题，设边框的宽为，由题意列出方程，然后解方程并检验即可，正确列出方程是解题的关键．
【详解】解：设边框的宽为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）
∴的值是，
故答案为：．
17. 如图，为的内接三角形，为圆心，于点，于点，若，则______．
【答案】4
【解析】
分析】本题考查了三角形中位线判定和性质，垂径定理．由于点，于点，根据垂径定理可得，根据三角形中位线定理可得，即可得出结论．
【详解】解：∵为的内接三角形，于点，于点，
∴，
∴DE为的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：4．
18. 如图，在中，，，，是中点，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时两点同时停止运动，连接、，为______时的面积为．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形面积，三角形中位线定理，过点作于，利用三角形中位线定理求得的长度；然后根据题意得，然后列出方程，求出方程的解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】根据题意得：，，
∴，，
过点作于，
∵，即，
∴，
又∵是的中点，
∴，是的中位线，
∴，
∵，
∴，
整理，得，
解得：，，即当或时，的面积是，
故答案为：或．
三、解答题（本题共7小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程．
（1）将方程的常数项移到等号的右边，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，配方法后，再开平方求解即可；
（2）方程移项后再利用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
，
，
，
，
，
，
∴，；
【小问2详解】
，
，
或，
∴，．
20. 如图，是的两条弦，与相交于点，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系．利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
即．
∴．
21. 关于的方程．
（1）求证：不论取何值，方程总有两个实数根；
（2）若该方程有两个实数根，且，求的值．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，将展开，代入求解即可．
【小问1详解】
证明：，
∴，
∴不论取何值，方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：，
，
对于方程，
可得，
∴，
解得：．
22. 百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
【答案】每件童装应降价元
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程，进行求解即可．
【详解】解：设每件童装应降价元，由题意，得：
，
解得：或，
∵要尽快减少库存，
∴；
答：每件童装应降价元．
23. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点O作OD⊥BC交BC于点E，交⊙O 于点D，CDAB．
（1）求证：E为OD的中点；
（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）S四边形CAOD ．
【解析】
【分析】（1）首先根据CDAB得到∠DCE=∠B， 根据垂径定理得到CE=BE，然后利用ASA证明△DCE ≌ △OBE，根据全等三角形的性质即可得到E为OD的中点；
（2） 连接OC，首先根据题意证明四边形CAOD是平行四边形，然后根据，，证明出△OCD是等边三角形，然后根据30°角直角三角形的性质求出DE的长度，进而得到DO的长度，最后根据平行四边形面积公式求解即可．
【详解】解：（1）证明： ∵ 在⊙O中，OD⊥BC于E，
∴ CE=BE，
∵ CDAB，
∴ ∠DCE=∠B，
在△DCE与△OBE中
∴ △DCE ≌ △OBE（ASA），
∴ DE=OE，
∴ E为OD的中点；
（2）解： 连接OC，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°，
∵ OD⊥BC，
∴ ∠CED=90°=∠ACB，
∴ ACOD
∵ CDAB，
∴ 四边形CAOD是平行四边形，
∵ E是OD的中点，CE⊥OD，
∴ OC=CD，
∵ OC=OD，
∴ OC=OD=CD，
∴ △OCD是等边三角形，
∴ ∠D=60°，
∴ ∠DCE=90°-∠D=30°，
∴ 在Rt△CDE中，CD=2DE，
∵ BC=6，
∴ CE=BE=3，
∵ ，即，
∴ 解得：，，
∴ ，
∴S四边形CAOD ．
【点睛】此题考查了直径所对的圆周角是直角，垂径定理，全等三角形的判定和性质，30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据垂径定理得到CE=BE，进而证明△DCE ≌ △OBE．
24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
（1）下列方程是三倍根方程的是______；（填序号即可）
；；．
（2）如果关于的方程是“三倍根方程”，则的值______；
（3）如果关于的方程是“三倍根方程”，求代数式的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）的值为或．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系及解法，分式求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
（）分别求出三个方程的根，然后根据题中所给定义可进行求解；
（）设关于的方程程的两个根为，，然后根据“三倍根方程”可令，进而根据一元二次方程根与系数的关系及方差的解可进行求解；
（）先解一元二次方程：，，然后根据“三倍根方程”的关系分当即，当即，求出的关系，然后代入求值即可．
【小问1详解】
解：，
解得：，
∴
∴不是“三倍根方程”；
，
解得：，
∴，
∴不“三倍根方程”；
，
解得：，，
∴，
∴是“三倍根方程”；
故选：；
【小问2详解】
解：设关于的方程程的两个根为，，
∴，，
∵的方程是“三倍根方程”，
，
解得：，，
∴，
故答案为：；
【小问3详解】
解：由，
解得：，，
∵关于的方程是“三倍根方程”，
∴当，即，
∴，
∴；
∴当，即，
∴，
∴；
综上可知：的值为或．
25. 【问题提出】
我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？
【初步思考
（1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______， ；
（2）如图2，是的弦，圆心角，点是上不与、重合的一点，求弦所对的圆周角的度数为 ______；（用的代数式表示）
【问题解决】
（3）如图3，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹）；
实际应用】
（4）如图4，在边长为12的等边三角形中，点、D分别是边、上的动点，连接、，交于点，若始终保持，当点从点运动到点时，的最小值是______．
【答案】（1）50，130；（2）；（3）见解析；（4）
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理即可求出，根据圆内接四边形即可求出；
（2）分在优弧上和在劣弧上两种情况分类讨论即可求解；
（3）作线段的垂直平分线，以为直径作圆，交垂直平分线于点，以点为圆心，以为半径作圆，则（实线部分且不包含、两个端点）就是所满足条件的点所组成的图形；
（4）先证明，得到，，根据（3）问点P的运动轨迹是，，连接CO，证明，进而得到，，根据勾股定理求出，根据，可得，即可求出的最小值为．
【详解】解：（1），
．
故答案为：50，130；
（2）当在优弧上时，；
当在劣弧上时，；
故答案为：或
（3）如图（实线部分且不包含、两个端点）就是所满足条件的点所组成的图形．
证明：∵为的直径，
∴，
在中，∵点C在上，
由（2）得，
∴（实线部分且不包含、两个端点）就是所满足条件的点所组成的图形；
（4）解：如图，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点P的运动轨迹是，
∴．
连接CO，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在中，设，则，
根据勾股定理得，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，综合性强，难度较大，解题时要熟知相关知识，注意在解决每一步时都要应用上一步结论进行解题．