北师大版 (2019)必修 第一册必要条件与充分条件图文课件ppt

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常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分,是数学表达和交流的工具,是逻辑思维的基本语言.本节的内容包括必要条件、充分条件、充要条件,全称量词与存在量词,全称量词命题与存在量词命题以及它们的否定. 在初中数学中,已经学过:可以判断真假,用文字或符号表述的陈述句叫作命题.一个命题通常可以表示为“若p,则q”和“ p是q”两种形式.当命题表示为“若p,则q”时,p是命题的条件,q是命题的结论.当命题“若p,则q”是真命题时,就说由p推出q,记作 p⇒q.2常用逻辑用语一、必要条件与性质定理实例分析 在初中数学中,我们学习过一些性质定理,例如:定理1菱形的对角线互相垂直.即如果四边形为菱形,那么这个四边形的对角线互相垂直.定理1是菱形的性质定理,即对角线互相垂直是菱形必不可少的性质.也就是说,如果能确定四边形为菱形,那么一定可以得出这个四边形的对角线互相垂直,而一旦某个四边形的对角线不互相垂直,那么这个四边形一定不是菱形.2.1必要条件与充分条件思考交流试用分析定理1的方法分析定理2如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.定理3 如果两个三角形是全等三角形,那么这两个三角形的对应角相等.抽象概括 一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的必要条件.也就是说，一旦q不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是必要的.例如,在定理1中,“四边形的对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件.例1将下面的性质定理写成“若p,则q”的形式,并用必要条件的语言表述:(1)平面四边形的外角和是360°;(2〉在平面直角坐标系中,关于x轴对称的两个点的横坐标相同.解(1)“平面四边形的外角和是360°”可表述为“若平面多边形为四边形,则它的外角和为360°”,所以“外角和为360°”是“平面多边形为四边形”的必要条件;(2)“在平面直角坐标系中,关于x轴对称的两个点的横坐标相同”可表述为“在平面直角坐标系中,若两个点关于x轴对称,则这两个点的横坐标相同”,所以“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中,两个点关于x轴对称”的必要条件.二、充分条件与判定定理实例分析在初中数学中,我们学习过一些判定定理,例如:定理4若a>0,b>0,则ab>0.定理5对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理6平行于三角形一边的直线,截其他两边所得的三角形与原三角形相似.定理4是说:如果满足了条件“a>0,b>0”,一定有结论“ab>0”.但要注意,当ab>0时,a>0,b>0不一定成立,例如,由“a0,b>0”这个条件,就可以判定“ab>0”.思考交流 试用分析定理4的方法分析定理5、定理6.抽象概括一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的充分条件.综上,对于真命题“若p,则q”,即 p⟹ q时,称q是p的必要条件,也称p是q的充分条件.p⟹ q可以理解为只要有条件p,就一定有结论q.即p对于q是充分的.也就是说,为了得到结论,具备条件p就足够了.“若p,则q”形式的命题为真命题是指:由条件p可以得到结论q,通常记作:p⟹ q,读作“p推出q”.此时我们称p是q的充分条件.例2用充分条件的语言表述下面的真命题:(1)若a=-b,则|a|=|b|;(2)若点C是线段AB的中点,则AC=BC;(3)当ac5,q:x>3;(2) p;a2=4,q;a=2(3)p:向量α=0或向量β=0.q:α·β=0.解(l)由p⟹ q,故p是q的充分条件,q是p的必要条件;(2)由于q⟹ p,故:q是p的充分条件,p是q的必要条件;(3)由于p⟹ q,故p是q的允分条件,q是p的必要条件.三、充要条件实例分析在初中数学中,勾股定理及其逆定理是非常重要的数学定理.勾股定理如果一个三角形为直角三角形,那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的逆定理﹐如果一个三角形的一边的平方等于其他两边的平方和,那么这条边所对的角是直角.在勾股定理中,“两直角边的平方和等于斜边的平方”是“三角形为直角三角形”的必要条件;“三角形为直角三角形”是“两直角边的平方和等于斜边的平方”的充分条件.在勾股定理的逆定理中,“三角形的一个角是直角”是“三角形的直角所对的边的平方等于其他两边的平方和”的必要条件;“三角形的一边的平方等于其他两边的平方和”是“这条边所对的角是直角”的充分条件. 一般地,如果 p⟹ q,且q⟹ p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件，记作p⟺ q.p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”,或“p与q等价”.当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件. 充要条件是数学中非常重要的概念,运用充要条件可以从不同的角度来理解、刻画很多数学内容. 例如，“三角形一边的平方等于其他两边的平方和”与“三角形一边上的中线等于该边长的一半”都可以用来定义直角三角形.抽象概括我们常用“当且仅当"来表达充要条件.p是q的充要条件也可以说成;p成立当且仅当q成立.如果 p,q分别表示两个命题,它们互为充要条件,我们通常称命题p和命题q是两个相互等价的命题. 给定p,q,有p是q的充分条件,但不是q的必要条件.例如，“一个数的末位数字为0"是“这个数能被5整除"的充分条件但不是必要条件. 有时,p是q的必要条件,但不是q的充分条件.例如,在直角坐标系中,“两条直线平行”是“这两条直线斜率相等”的必要条件,但不是充分条件,因为有的直线斜率不存在. 有时,既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.例如,“a>b”既不是“a2>b2”的充分条件,也不是“a2>b2”的必要条件.例3在下列各题中,试判断p是q的什么条件.(1) p:A⊆B,q:A∩B=A;(2)p:a=b,q :|a|=|b|;(3)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形.解(1)因为命题“若A⊆B,则A∩B=A”为真命题,并且“若A∩B=A,则AA⊆B”也为真命题,所以p是q的充要条件;(2)因为“a=b”→“|a|=|b|”,但是“|a|=|b|”不能推出“a=b”,例如,“|1|=|-1|”，而“1≠-1”,所以p是q的充分条件,但不是必要条件;(3)因为“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”,并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”,所以p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.P18练习