青岛市城阳第一高级中学2024_2025学年高二下学期5月月考数学试卷[含解析]

这是一份青岛市城阳第一高级中学2024_2025学年高二下学期5月月考数学试卷[含解析]，共20页。试卷主要包含了多选题，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】由全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定为.
故选：D
2. 在的展开式中，含项的系数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】当且时，的展开式通项为，
展开式中含项的系数是，
所以，在的展开式中，
含项的系数.
故选：C.
3. 已知集合，则的真子集的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 15
【答案】D
【详解】因为的对称轴为，顶点为，且过点,
当时，上的点为，
作，的图象，如图，
由图可知，的图象与抛物线有4个不同的交点，
则有4个元素，从而的真子集的个数为.
故选：D
4. 已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】是的必要不充分条件，则是的子集，
又因为，或，所以.
故选：C.
5. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. 1D. 4
【答案】B
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以，
，
因为，所以，解得或1（舍去）.
故选：B.
6. 在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（ ）
A. 0.25米B. 0.5米C. 0.75米D. 1米
【答案】A
【详解】由可知，且，
故，
当且仅当即时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米.
故选：A.
7. 已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若减少一个杂点数据后，得到修正后的回归直线的纵截距为，则数据的残差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题意可得回归方程为，所以，
因为，所以，所以，
若减少一个杂点数据后，剩余样本数量为10，
修正后的，，
又修正后的回归方程的纵截距为，
设修正后的回归方程为，
可得，
所以修正后回归方程为，
当时，，
所以数据的残差为.
故选：C
8. 设函数，，若存在，使得，则最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由，可得，所以，又由，所以在上单调递增，
因为，所以，所以，
令，则，
令，则，可得，
所以在上单调递减，且，
当时，，，则在上单调递增；
当时，，，则在上单调递减，
所以当时，有极大值，即最大值，所以.
故选：A．
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【详解】选项A：因为，所以，故A正确.
选项B： 因为，所以，，则，所以，故B错误.
选项C：因为，所以，，
所以，又，所以，故C正确.
选项D： ，
当等号成立，但是，故等号不成立，故D正确.
故选：ACD
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 若，且，则有最大值64
B. 当时，函数的最小值为5
C. 若正数x，y满足，则的最小值是5
D. 设x、y为实数，若，则最大值为
【答案】BCD
【详解】对于A，，由题意得，，，当且仅当时成立，故时，等号成立， 此时，，故A错误；
对于B，，，当且仅当时成立，故时，等号成立，的最小值为5，故B正确；
对于C，正数x，y满足，则有，则，当且仅当时成立，
故时，等号成立，的最小值是5，故C正确；
对于D，x、y为实数，若，则，解得，化简得，，当且仅当，且时成立，此时，时，等号成立，则的最大值为，故D正确；
故选：BCD
11. “石头，剪刀，布”游戏起源于中国汉朝，称为“手势令”．游戏规则为：（1）参加游戏的人随机出一种手势，且石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；（2）两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时，都出相同的手势或三种手势都出现为平局．现有个人共举行了局游戏，且各局游戏互不影响，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，，则只有一人获胜的概率为
B. 若，，则平局的概率为
C. 若，且规定其中一人连续两局获胜，比赛结束，则恰经过5局比赛结束的概率为
D. 若，且规定每局比赛输者淘汰，则恰经过5局比赛决出最终胜利者的概率为
【答案】ABD
【详解】对于A，若，，则每个人出的手势都有种可能，
所以个人出手势的总情况数为种，只有一人获胜的情况有种情况，
因为三个人都有可能获胜，所以只有一人获胜的概率为，故A正确；
对于B，若，，个人出手势的总情况数为种，
计算平局的情况：
所有人出相同手势的情况有种（都出石头、都出剪刀、都出布）.
三种手势都出现的情况：用间接法，先计算不满足三种手势都出现的情况，
即只有一种手势的3种情况和只有两种手势的情况.
计算只有两种手势的情况：从3种手势中选2种，有种选法，
设选的两种手势为A和B，把5个人分配到这两种手势中，
排除5个人都出A和5个人都出B的情况，
有种情况，所以只有两种手势的情况有种.
那么三种手势都出现的情况有种.
综上平局的情况共有种，所以平局的概率，故选项B正确；
对于C，当时，两人每次出手势都有3种情况，所以每局的情况数为种，
恰经过5局比赛结束，说明前3局没有一人连续两局获胜，第4局和第5局是同一人获胜，
设两人为甲和乙，若恰经过5局比赛甲获胜，则第一三局甲输，第二四五局甲胜，
其概率为；
若恰经过5局比赛乙获胜，则第一三局乙输，第二四五局乙胜，
其概率为；
所以恰经过5局比赛结束的概率，故选项C错误；
对于D，若，每局比赛打平，则3个人出的手势一样，有3种情况，或者各不相同，
有种情况，所以三人打平的概率为；
若3人中两个人出的手势一样，与另外一个不一样，则一次淘汰两人的概率为，
不妨设三人分别为甲、乙、丙，最后经过5局比赛甲获胜，
有以下几种情况，
①， 前4局，三人都是平局，第5局甲胜乙丙，其概率为
，
②，前3局，三人都是平局，第4局甲丙胜乙输，第5局甲胜丙，其概率为
，
③，前3局，三人都是平局，第4局甲乙胜丙输，第5局甲胜乙，其概率为
，
④，第一二局三人打平，第三局甲乙胜丙输，第四局甲乙打平，第五局甲胜乙，
其概率为，
⑤，第一二局三人打平，第三局甲丙胜乙输，第四局甲丙打平，第五局甲胜丙，
其概率为，
⑥，第一局三人打平，第二局甲丙胜乙输，第四五局甲丙打平，第五局甲胜丙，
其概率为，
⑦，第一局三人打平，第二局甲乙胜丙输，第四五局甲乙打平，第五局甲胜乙，
其概率为，
⑧，第一局甲乙胜丙输，第二三四局甲乙都是平局，第5局甲胜乙，其概率为
，
⑨，第一局甲丙胜乙输，第二三四局甲丙都是平局，第5局甲胜丙，其概率为
，
综上，甲获胜的概率为，
所以恰经过5局比赛决出最终胜利者的概率，故选项D正确.
故选：ABD.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分).
12. 设集合，集合，若，则实数_____.
【答案】-3
【详解】因为集合， ，A={0,3}，故m= -3.
13. 已知满足：①；②，均有；若，其中，，，，且集合有7个真子集，则满足条件的的个数为__________.
【答案】6
【详解】，由条件①②知，中元素各不相等且，
所以有以下种情况：
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，,
因为集合有7个真子集，所以集合有三个元素，
即有三种情况.
又，则满足题意的集合有：
，，，，，，共种情况.
故答案为：.
14. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.
【答案】
【详解】由得，，
故曲线在处的切线方程为；
由得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，则切点，
切线方程为，
根据两切线重合,所以，解得.
故答案为：
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).
15. 设关于x的二次函数．
（1）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.
（2）解不等式；
【答案】（1）
（2）答案见解析
【小问1详解】
不等式，
当时，，当且仅当时取等号，
当时，，因此，
依题意，在上恒成立，而，则，
所以实数m的取值范围是.
【小问2详解】
不等式，
当时，恒成立，则；
当时，，解得；
当时，若，则，，
若，则，且，
若，则，或，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或.
16. 命题甲：集合，且，命题乙：集合，且，
（1）若命题甲是真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题乙是真命题，求实数的取值范围；
（3）若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【小问1详解】
因为，又，
所以，解得，
所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为.
【小问2详解】
因为，且，则或集合中元素是非正数，
又，所以中元素是方程的解，
当时，，解得，
当集合中元素是非正数时，设是方程根，
因为，则且，解得，
所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为.
【小问3详解】
当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到，
当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或，得到，
所以命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或.
17. 为考察某种药物预防和治疗流感的效果，某药物研究所用100只小白鼠进行了分组试验，该分组试验分两个阶段：第一阶段为5天的观察预防期，第二阶段为10天的观察治疗期.第一阶段结束时，统计数据如下：患病小白鼠的比例为，未服药小白鼠的比例为，未服药且未患病的小白鼠有20只.
（1）完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，推断该药物对预防流感是否有效.
（2）第一阶段结束时，若在患病的小白鼠中随机抽取2只，用表示服药的只数，求的分布列和数学期望.
（3）第二阶段结束时，针对第一阶段结束时的服药且患病的小白鼠中有16%被治愈，未服药患病的小白鼠中有5%自愈，服药未患病的小白鼠中有20%患病，未服药未患病的小白鼠中有15%患病.用频率估计概率，试验结束后，从这100只小白鼠中任选1只，检测是否患病后放回，若该操作进行5次，求选出的5只小白鼠中至少有2只患病的概率.
附：，其中.
【答案】（1）列联表见解析，没有充分证据表明该药物对预防流感有效
（2）分布列见解析，数学期望为
（3）
【小问1详解】
因为患病小白鼠的比例为，所以患病小白鼠有只，
则不患病的小白鼠有只，又未服药小白鼠的比例为，
所以未服药小白鼠有，从而完善列联表，如下表：
零假设为：该药物对预防流感无关联.
因为，显然，
根据小概率值的独立性检验，推断成立，
没有充分证据表明该药物对预防流感有效.
【小问2详解】
由题意X的所有可能取值为，
则，，
，
所以的分布列为：
所以的数学期望为.
【小问3详解】
第二阶段结束后，服药且患病的小白鼠中有16%被治愈，
那么服药且患病后仍患病的小白鼠的数量为，
未服药患病的小白鼠中有5%自愈，
那么未服药患病后仍患病的小白鼠的数量为，
服药未患病的小白鼠中有20%患病，那么服药未患病后患病的小白鼠的数量为，
未服药未患病的小白鼠中有15%患病，那么未服药未患病后患病的小白鼠的数量为，
所以第二阶段结束后患病的小白鼠的总数量为，
所以从这100只小白鼠中任选1只，患病的概率为，
设表示选出的5只小白鼠中患病的只数，则，
“至少有2只患病”的对立事件为“0只患病”或“1只患病”，
所以.
18. 甲、乙两位选手进行乒乓球擂台赛，比赛规则如下：①擂台赛开始时，擂主由抽签决定，甲和乙成为初始擂主的概率均为0.5；②每局比赛无平局，擂主守擂成功的概率是0.6，若守擂失败，则挑战者成为新任擂主；③当某位选手连续两次担任擂主〈不包含初始擂主）时，比赛立即结束，该选手获得胜利．
（1）若甲是初始擂主，求比赛在前三局内结束的概率；
（2）已知甲是初始擂主，求比赛在第四局结束的条件下甲最终获胜的概率；
（3）求甲成为最终获胜者的概率．
【答案】（1）;
（2）;
（3）.
【小问1详解】
甲是初始擂主时，比赛在前三局内结束包含以下情况：甲连胜两局，概率为，
乙连胜两局，概率为；
甲胜第一局乙连胜后两局，概率为；
乙胜第一局甲连胜后两局，概率为；
设事件A为比赛在前三局内结束，则；
答：比赛在前三局内结束的概率为.
【小问2详解】
设事件为比赛在第四局结束，设事件为甲最终获胜，设事件为乙最终获胜．
则比赛在第四结局结束且甲最终获胜，只可能是甲胜第一局，乙胜第二局，甲连胜后两局，
故
比赛在第四结局结束且乙最终获胜，只可能是乙胜第一局，甲胜第二局，乙连胜后两局，则其概率为，
故；
故比赛在第四局结束条件下甲最终获胜的概率；
答：比赛在第四局结束的条件下甲最终获胜的概率为.
【小问3详解】
定义：状态：当前擂主为甲，且未连胜．设此状态下甲最终获胜的概率为；
状态：当前播主为甲，且连胜一次．设此状态下甲最终获胜的概率为；
状态：当前播主为乙，且未连胜．设此状态下甲最终获胜的概率为；
状态：当前擂主为乙，且连胜一次．设此状态下甲最终获胜的概率为．
当状态为时，甲守播成功（概率为0.6），进入状态；甲失败（概率为0.4），进入状态，
可得，，
当状态为时，甲守擂成功（概率为0.6），比赛结束；甲失败（概率为0.4），进入状态，
可得，；
当状态为时，乙守擂成功（概率为0.6），进入状态；乙失败（概率为0.4），进入状态，
可得，；
当状态为时，乙守擂成功（概率为0.6），比赛结束；乙失败（概率为0.4），进入状态，
可得，；
综合以上四个方程，可解得，．
又擂台赛开始时，擂主由抽签决定，甲和乙成为初始擂主的概率均为0.5，故甲成为最终获胜者的概率.
19. 已知函数，
（1）当时，求的极值；
（2）若在区间上存在零点
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）证明：当时，.
【答案】（1）极小值，无极大值
（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【小问1详解】
当时，，，，
当时，，当时，
在上递减，在上递增，有极小值，无极大值；
【小问2详解】
（ⅰ），
当时，由于恒成立，所以在上单调递增，
又，在上无零点；
当时，由于，故，
所以在上单调递减，又，
在上无零点；
当时，，有，故在上单调递减，
，有，故在上单调递增，
所以有，
又因为当时，，
；
综上；
（ⅱ）由（ⅰ）可知，当时，，
，且，
要证，只要证，
即证，
只需证，
令，
在上单调递增.
又，
即，
由上式不等式成立可知原不等式恒成立.药物
流感
合计
未患病
患病
未服用
服用
合计
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
药物
流感
合计
未患病
患病
未服用
20
20
40
服用
35
25
60
合计
55
45
100
0
1
2