辽宁省西丰县第二高级中学2024_2025学年高二上学期期中考试数学试卷[含解析]

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1．在平面直角坐标系中，直线：的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知两条直线和互相平行，则等于
A．﹣1B．2C．1D．0
3．圆心为且过原点的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知圆：与圆：，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交B．内切C．外切D．相离
5．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1B．2C．4D．8
二、多选题
8．（多选）已知圆，直线.则以下几个命题正确的有（ ）
A．直线恒过定点B．圆被轴截得的弦长为
C．直线与圆恒相交D．直线被圆截得最长弦长时，直线的方程为
9．（多选题）若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若1＜t＜5，则C为椭圆
B．若t＜1．则C为双曲线
C．若C为双曲线，则焦距为4
D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5
10．已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于且交于点，若，则（ ）
A．为等边三角形B．
C．D．
三、
11．椭圆中，点为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为（ ）
A．B．C．D．
四、填空题
12．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为 .
13．直线与圆相交于A、B两点，则 .
14．设，分别是椭圆的左，右焦点，点P在椭圆C上，若线段的中点在y轴上，，则椭圆的离心率为 .
五、解答题
15．根据下列条件，求圆的标准方程：
(1)过点和点，半径为．
(2)经过两点，圆心在直线上．
16．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，经过点，焦点在轴上；
(2)过点和．
17．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为；
(2)过点；
(3)焦点在直线上．
18．如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，四边形为平行四边形，，.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
19．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点．
(1)若，求的面积；
(2)求的最大值．
1．A
把直线方程化成斜截式方程，求出斜率，再根据直线斜率与直线倾斜角之间的关系，结合特殊角的正切值，求出直线的倾斜角.
【详解】由化简得：，
所以直线的斜率为，为倾斜角，
所以直线的倾斜角为.
故选：A.
2．C
利用斜率相等，纵截距不等可求的值.
【详解】两条直线和互相平行，
可知： ，解得．
故选：C．
3．A
利用圆的定义计算即可.
【详解】由题意可知原点到圆心的距离即该圆的半径，
由两点距离公式可知，
故该圆的标准方程为：.
故选：A
4．C
先求出两个圆的圆心和半径，再根据它们的圆心距等于半径之和，可得两圆相外切．
【详解】圆的圆心为，半径等于1，圆的圆心为，半径等于4，
它们的圆心距等于，等于半径之和，
故两个圆相外切.
故选：C．
5．C
根据焦点在y轴上的椭圆上的方程特征得到不等式，求出答案.
【详解】由题意得，解得.
故选：C
6．C
根据余弦定理即可求解.
【详解】由题意可知，，
在中，由余弦定理得，化简得，
则，所以，
故选：C.
7．A
根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A.
8．ABC
【详解】直线方程整理得，由，解得，∴直线过定点，A正确；
在圆方程中令，得，，∴轴上的弦长为，B正确；
，∴在圆内，直线与圆一定相交，C正确；
直线被圆截得弦最长时，直线过圆心，则，，直线方程为，即．D错．
故选：ABC．
9．BD
根据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质，逐项判定，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，若方程表示椭圆，则满足，解得或，
对于A中，当时，此时方程表示圆，所以不正确；
当方程表示焦点在轴上椭圆，则满足，解得，
所以D项正确；
对于B中，当时， ，此时表示焦点在轴上的双曲线，所以是正确的；
对于C中，当时，方程，此时双曲线的焦距为，所以不正确.
故选BD.
若方程表示椭圆，则满足，解得或，
10．ABC
【详解】如图，因为即轴，所以，
由抛物线定义知，所以为等边三角形，故正确；
因为，过作，垂足为，所以，则，所以，故B正确；
在等边三角形中，，则，故C正确；
因为，所以所以可得，故D错误，
故选：ABC
11．B
求出的坐标，由可得间的关系，结合及离心率公式即可求解.
【详解】设为椭圆的半焦距，由题意可得，
由对称性可设,
则,
因为，所以,
所以,即,解得或（舍）.
故选:B.
12．(－9,6)或(－9，－6)
利用抛物线的定义结合条件列方程求p，再求点M的坐标.
【详解】由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝，
设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，
即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.
由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，
故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)，
故答案为：(－9,6)或(－9，－6)
13．
【详解】试题分析：圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离为
所以弦长
考点：直线与圆相交的相关问题
14．
根据线段的中点在y轴上，易得轴，轴，然后根据，由求解.
【详解】如图所示：
因为线段的中点在y轴上，
所以轴，则轴，
所以，
因为，
所以，
即，
所以，
解得：.
故答案为：
15．(1)或
(2)
（1）利用待定系数法设圆的标准方程，结合已知条件即可；
（2）方法1：利用待定系数法设圆的标准方程，结合已知条件求解即可；
方法2：利用图形结合平面向量，建立方程结合已知条件求出圆心和半径即可.
【详解】（1）设圆心坐标为，则圆的方程为．
因为是圆上的点，
所以解得或，
因此所求圆的方程为或．
（2）（方法一）设圆心为，半径为，
则圆的标准方程为．
由题意可得方程组．
解此方程组，得，
故所求圆的方程为．
（方法二）如图，由于圆心到点的距离相等（都等于半径），
因此圆心在的垂直平分线上，
并且处于直线与直线的交点处．
因为，所以是的法向量，
故可设直线的方程为．①
又直线过的中点，而的坐标为，
即，将其代入①式，解得．
所以直线的方程为，即．
圆心的坐标是方程组的解，
解此方程组，得．
所以圆心的坐标为．
圆的半径．
故所求圆的方程为．
16．(1)
(2)
（1）依题意设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入求出，即可得解；
（2）设双曲线方程为，代入点的坐标得到方程组，解得、即可.
【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，
所以可设双曲线的标准方程为，
由，经过点，
可得，解得，
故双曲线的标准方程为；
（2）依题意设双曲线方程为，
则，解得，所以双曲线方程为；
17．(1)；
(2)或；
(3)或.
（1）求出抛物线的焦点坐标，直接写出方程即得.
（2）设出抛物线的标准方程，利用待定系数法求解即得.
（3）求出直线与坐标轴的交点，再写出抛物线的标准方程即得.
【详解】（1）准线方程为，即，则抛物线的焦点坐标为，
所以所求抛物线的标准方程为.
（2）设所求抛物线的标准方程为或，
于是，解得，或，解得，
所以所求抛物线的标准方程为或.
（3）直线交y轴于点，则以为焦点的抛物线标准方程为；
直线交x轴于点，则以为焦点的抛物线标准方程为，
所以所求抛物线的标准方程为或.
18．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：在平行四边形中，令，则
，
在中，，所以.
又平面平面，且平面平面，
所以平面.
又因为平面，
所以平面平面；
（2）由（1）得，以为空间直角原点，
建立空间直角坐标系，如图所示，
令，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，则
得
令，得，，
所以平面的法向量为；
设平面的法向量为，
即
令，得，
所以平面的法向量为.
所以，由图可知二面角为钝角，
所以所求二面角的余弦值为.
19．(1)
(2)100
【详解】（1），焦点坐标,
，
，
代入得，
所以；
（2），当,即在上时取等号，
所以.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
C
C
C
A
ABC
BD
ABC