河北省邯郸市三龙育华中学2026届高三上学期开学首测数学试卷[含解析]

这是一份河北省邯郸市三龙育华中学2026届高三上学期开学首测数学试卷[含解析]，共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用交集的性质，逐一将中元素代入集合中验证即可.
【详解】因为且，所以,，
当时，代入集合可得到：，即；
当时，代入集合可得到：，即；
当时，代入集合可得到：，即；
当时，代入集合可得到：，即.
因为，所以.
故选：B.
2. 若则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的乘法及除法计算求解.
【详解】因为
所以，即得，
所以.
故选：C.
3. 已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据偶函数的性质，结合条件求，再代入求值.
【详解】由偶函数的性质可知，，得，
即时，，.
故选：C
4. 已知，若．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系以及二倍角的余弦公式可得出关于的等式，结合可得出的值.
【详解】由，得，
因为，所以，，
所以，，解得．
故选：A．
5. 已知函数且的图象过定点，函数且也经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数运算性质求得点，代入指数函数解析式即可求解参数a.
【详解】，当，即，所以，
由的图象经过，所以，因为，得.
故选：C
6. 已知在区间上单调递减，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复合函数单调性及真数大于0列式求解即可.
【详解】在 上单调递减，∴函数在上单调递增且恒大于零，，解得 ，∴实数的取值范围是 ．
故选C.
【点睛】本题主要考查了对数型复合函数的单调性，解题的关键是利用“同增异减”及真数大于0，属于基础题.
7. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数性质化简，构造函数，根据单调性比较大小.
【详解】，，对于幂函数，
因为指数，故在上单调递增，又，所以．
故选：C.
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，若，，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，可得，由双曲线定义得到，结合勾股定理可求出，在中，可得，即可求出离心率.
【详解】如图，，，
所以，
由双曲线的定义知，
又，则中，，
在中，，
即，可得
故选：A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 在同一坐标系下，下列选项中的两个函数的图象与其对应的解析式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用反函数性质判断A，利用函数的单调性求解参数范围发现矛盾判断B，结合代入法判断对称性求解C，D即可.
【详解】对于A，由反函数性质得指数函数与对数函数互为反函数，
则其图象关于直线对称，故A正确；
对于B，对于，由对数函数性质得，
对于，当时，函数变为，当时，函数变为，
由图象可得在上单调递增，在上单调递减，
得到，解得，产生矛盾，故B错误，
对于C，令，，
由换底公式得，
设点在上，则在上，
可得与关于轴对称，故C正确，
对于D，如图，作出的图象，

由反函数性质得函数与函数的图象关于直线对称，
而，设点在上，则在上，
得到函数与函数的图象关于轴对称，故D正确．
故选：ACD
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的定义域为B. 在定义域内单调递减
C. 的最大值为D. 的图象关于直线对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据对数函数的定义域、单调性、最值、对称性定知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由解得，所以的定义域是，所以A选项正确.
，
函数在上单调递增，
函数的开口向下，对称轴为，
所以关于直线对称，D选项正确.
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，B选项错误.
当时，取得最大值为，所以C选项正确.
故选：ACD
11. 已知，若，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为1
C. 的最小值为8D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】AD选项，由基本不等式求出最值；B选项，化为，求出最小值；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】对于，由，即，
当且仅当，且，即时，取等号，所以A正确；
对于，因，
当且仅当时，取到最小值，所以B错误；
对于C，因为，所以，
当且仅当，且，即，时，取等号，所以C正确；
对于，当且仅当，且，
即时，取等号，所以正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. 已知，，则x＋2y的值为____________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据指对运算化简，再根据对数运算法则计算的值.
【详解】，
.
故答案为：3
【点睛】本题考查指对数运算，重点考查计算能力，属于基础题型.
13. 若向量，，且，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量垂直数量积为，求出，再利用向量夹角坐标公式求出余弦值即可.
【详解】因为，所以，则，
，
所以
14. 已知函数的定义域是，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意解决一元二次不等式恒成立问题，根据对数函数和二次函数的性质求得结果即可．
【详解】由题意可得在上恒成立，
时，不等式为，恒成立；
时，应满足
解得，
综上知，的取值范围是．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知幂函数为奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求a的取值范围.
【答案】（1）.
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函数，确定结论；
（2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解.
【小问1详解】
由题意，幂函数，
可得，
即，解得或，
当时，函数为奇函数，
当时，为非奇非偶函数，
因为为奇函数，所以.
【小问2详解】
由（1）知，可得在上为增函数，
因为，所以，
解得，
所以a的取值范围为.
16. 已知等差数列的前项和满足.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依次得，，即可求解；
（2）由等差数列求和公式、裂项相消法即可求解.
【小问1详解】
由可得，
由可得，，公差，
故.
【小问2详解】
由（1）得，
故
则.
17. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求csA+csB+csC的取值范围．
【答案】（I）；（II）
【解析】
【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；
（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.
【详解】（I）
[方法一]：余弦定理
由，得，即.
结合余弦定，
∴，
即，
即，
即，
即，
∵为锐角三角形，∴，
∴，
所以，
又B为的一个内角，故.
[方法二]【最优解】：正弦定理边化角
由，结合正弦定理可得：
为锐角三角形，故.
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因为，并利用余弦定理整理得，
即.
结合，得.
由临界状态（不妨取）可知.
而为锐角三角形，所以.
由余弦定理得，
，代入化简得
故的取值范围是.
[方法二]最优解】：恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有：
.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.
18. 如图，在四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，底面为直角梯形，，，，，为的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成的锐角二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）由勾股定理证明，再由得出平面，进而证明；
（2）以点为坐标原点，建立坐标系，利用向量法得出平面与平面所成的锐角二面角的余弦值．
【小问1详解】
连接，由，中点，得，
又∵四边形为直角梯形，，，
所以，则四边形是平行四边形，
∴，
在中，，，，
则，则，
又平面，平面，，
∴平面，
又平面，∴．
【小问2详解】
由（1）可得，，两两垂直，以点为坐标原点，分别以，，
方向为轴正方向，建立如图空间直角坐标系．
，，，，，
易知平面的法向量为，
设平面的法向量为，，，
则，即，取，，
∴，
故平面与平面所成的锐角二面角的余弦值为．
19. 随着郑钦文获得2024年巴黎奥运会网球女单冠军，中国各地再度掀起网球热．某小区举行“贺岁杯”网球锦标赛，甲、乙、丙、丁四位网球爱好者顺利挺进四强，四强对阵形势为：甲对丙，乙对丁，胜者进决赛，决赛胜者获冠军．已知甲胜乙、丙的概率均为，乙胜丁的概率为，甲胜丁的概率为，且各场比赛的结果相互独立．
（1）求甲获得冠军的概率；
（2）如果甲、乙顺利挺进决赛，并且决赛采用五盘三胜制（即先赢三盘者获胜，并结束比赛），甲每盘获胜的概率为．求在决赛中甲获胜的条件下，比赛进行五盘的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式列式计算.
（2）利用独立重复试验的概率及互斥事件的概率求出条件概率.
【小问1详解】
设“甲胜丙”；“乙胜丁”；“甲胜乙”；“甲胜丁”；“甲获得冠军”，
则，
，
所以甲获得冠军的概率是.
【小问2详解】
记“决赛中甲获胜”，“比赛打满5盘”，
甲胜包括甲“连赢三盘”、“前三盘两胜一负第四盘胜”、“前四盘两胜两负，第五盘胜”三种情况，
因此，，
因此，所以在决赛中甲获胜的条件下，比赛进行五盘的概率为．