河北省邯郸市三龙育华中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（实验班）（含解析）

这是一份河北省邯郸市三龙育华中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（实验班）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知函数在处可导，且则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的定义计算可得.
【详解】因为函数在处可导，且，
所以.
故选：A
2. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数的定义求给定点处的切线斜率，进而确定倾斜角大小.
【详解】因为，
所以，又切线的倾斜角的范围为，求倾斜角为.
故选：C
3. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据基本初等函数求导法则以及复合函数求导法则计算即可.
【详解】因为，，，.
故选：C.
4. 若函数在处取得极大值10，则的值为
A. B. C. 或D. 不存在
【答案】A
【解析】
【分析】
由在处取得极大值10，得，然后列出关于的方程组，解方程组求出的值.
【详解】解：由，得，
因为在处取得极大值10，
所以，
所以，解得 或
（1）当时，，
令，得或，
当时，，当时，，
故为函数的极小值点，不合题意，
（2）当时，，
令，得或，同（1）可得为函数的极大值点，
所以，
故选：A
【点睛】此题考查利用导数求函数的极值，属于基础题.
5. 函数（ ）
A. 有最值，但无极值
B. 有最值，也有极值
C. 既无最值，也无极值
D. 无最值，但有极值
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数研究在上的单调性，即可判断各项是否符合.
【详解】，则，，
所以在上单调递减，无最大值和最小值，也无极值．
故选：C
6. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题设知恒成立，构造并利用导数研究单调性确定最大值，即可求的范围.
详解】由题设知：恒成立，令且，则，
∴当时，，单调递增；当时，，单调递减；
∴，故.
故选：A
7. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据在上单调递增求出的取值范围，结合充分条件、必要条件的概念可得答案.
【详解】由题意得，，
∵在上单调递增，∴恒成立，
∴，解得，
∴“”是“在上单调递增”的既不充分也不必要条件．
故选：D.
8. 已知函数与的定义域均为，且与均为奇函数，，则下列结论错误的是（ ）
A. B. 的图象关于直线对称
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意有，即得，令得，即可求解，对求导有即可判断B，由为偶函数，即可得的周期为2即可判断CD.
【详解】因为与均为奇函数，所以，
，即，
令有：，
由，
所以
，故A正确；
对求导有，
即的图象关于直线对称，故B正确；
由，
对求导有，即为偶函数，
即得，
所以的周期为2，所以，故C正确；
因为的周期为2，所以，
所以，故D错误.
故选：D.
二、多选题（每题6分，共18分）
9. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ）

A. 在上单调递减B. 有极小值
C. 有3个极值点D. 在处取得最大值
【答案】ABC
【解析】
【分析】首先分析给定图像，由的图象可知时，，则单调递减，进一步分析其他选项，由的图象可知当时，有极值，所以有3个极值点，再找出最大值和极小值即可.
【详解】由的图象可知时，，
则单调递减，故A正确；又时，，则单调递增，
所以当时，有极小值，故B正确；
由的图象可知时，有极值，所以有3个极值点，故C正确；
当时，，则单调递增，所以，
则在处不能取得最大值，故D错误．
故选：ABC．
10. 若函数在上有两个不同的零点，则实数m的取值可能是（ ）
A. 1B. eC. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】采用分离参数的方法，同时构造函数，利用导数求得其单调性和值域，数形结合即可容易求得结果.
【详解】由，得，
令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，
要使得有两个零点，只需与在区间上有两个交点.
数形结合可知m的取值范围为.
则选项中满足题意的取值是：以及
故选：CD.
11. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 若存在极值点，则
B. 若，则有且只有一个极值点
C. 若有两个极值点，则
D. 若1是的极大值点，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出导函数，由题意可得有两个不相等正根或一正一负根，可判断A；由，判断两根的情况，可判断B；由有两个极值点，可得有两个不相等的正根，得到，可判断C；由1是的极大值点，判断为较小的正根，即可判断D.
【详解】因为，所以，
若存在极值点，
则方程有2个不相等实数根，且至少有一个根为正数，
则或，故A错误；
若，则，
则方程有2个不相等的实数根，且，
故方程恰有1个正根，即有且只有一个极值点，故B正确；
若有两个极值点，则方程有2个不相等的正根，
则，从而，故正确；
若1是的极大值点，
则易知方程有2个不相等的正根，且，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题（每空5分，共15分）
12. 函数的极值是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数判断单调性，即可求出极值点，进而求出函数的极值.
【详解】由的定义域为，，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
故在取得极小值为，无极大值；
故答案为：.
13. 已知可导函数，定义域均为，对任意满足，且，求__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用函数值的定义及函数的求导法则，结合导数值的定义即可求解.
【详解】由题意可知，令，则，解得，
由，得，即，
令，得，即，
解得.
故答案为：.
14. 已知定义在上的可导函数的导函数为，对任意实数均有成立，且是奇函数，则不等式的解集是_________．
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为解不等式，令，根据函数单调性以及奇偶性求出的范围即可.
【详解】由可得，
令，则，故在上单调递增，
又是奇函数，故，，
故，解得：，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数的奇偶性，属于中档题.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求f(x)的解析式；
（2）求f(x)在处的切线方程．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)对函数求导，利用给定条件列式计算即可得解.
(2)利用(1)的结论求出切点坐标、切线斜率，再由直线的点斜式方程即可求出切线方程..
【小问1详解】
由求导得：，
又，则，解得，
所以的解析式为.
【小问2详解】
由(1)得，，则，
在处的切线方程为，即，
所以f(x)在处的切线方程是：.
16. 已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若对任意的都有成立，求c的取值范围.
【答案】（1）极大值，极小值；（2）.
【解析】
【分析】（1）首先求出函数的导函数，令，再利用导数与函数单调性的关系即可求解；
（2）根据（1）中的单调性求出即可得结果.
【详解】（1）因为，所以，.
令，解得或，
当，即或；当，即，.
故的单调递增区间为和，单调递减区间为，.
所以，时，有极大值，.
当时，有极小值.
（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，.
又，，
所以时，，.
因为对任意的都有成立，所以.
17. 设函数，其中是自然对数的底数，.
（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，整理得，又，故只需，
分离参数，即可求解.
(2)先讨论，不为根，再讨论，令，分离参数得，
题意转化为和的图像有两个交点，即可求解.
【小问1详解】
解：因为在上恒成立，即，又，故，所以只需恒成立，故只需，
令，，当时，，当时，，所以，故，即.
【小问2详解】
当时, ，
当时，，
当时，令，分离参数得，
由（1）得，在和单调递减，在单调递增，可得图像为：
所以，即,即.
18. 设函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，讨论的范围确定导数正负可得出单调性；
（2）由已知得恒成立，令，利用导数求得的最小值即可.
【小问1详解】
由，则
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，令，解得，
时，，则在上单调递增；
时，，则在上单调递减．
【小问2详解】
由题意恒成立，
因为，即得恒成立，即，，
记则，
令，得，令，得，即在上单调递减，
令可得，即在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围为．
19. 已知函数，，．
（1）讨论的单调性；
（2）若当时，与的单调性相同，求实数的取值范围；
（3）若当时，有最小值，证明：．
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）对函数求导即可判断的单调性；
（2）由（1）可知将单调性相同转化为在时恒成立，求出，可得实数的取值范围；
（3）对求导后构造函数再求导，利用零点存在性定理可判段导函数的符号，求出其单调性可得最小值的表达式，再构造函数求出其值域即可.
【小问1详解】
由题可知的定义域，，
令，可得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
【小问2详解】
由（I）可知在上单调递增，
即在时恒成立，
即在时恒成立．
令，，则，
可得当时，，当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，
又时，，所以，
所以，
即实数的取值范围是．
【小问3详解】
由题可知，，
令，，则，
因为，，所以，
所以在上单调递增．
又，，
所以存在唯一的，使得，即，即．
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以．
令，则在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以，即，即，
所以．