广东省江门市鹤山市纪元中学2026届高三上学期8月月考数学试卷[含解析]

这是一份广东省江门市鹤山市纪元中学2026届高三上学期8月月考数学试卷[含解析]，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解方程得或，
所以集合，集合，
因此.
故选：C.
2. 下列函数中是奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】对A，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故A不符合题意；
对B，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故B不符合题意；
对C，函数定义域为，关于原点对称，，满足，故C符合题意；
对D，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故D不符合题意.
故选：C.
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由题可得：.因在上单调递增，
则.
所以函数的定义域为．
故选：B．
4. 已知α为锐角，若，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【详解】已知知α为锐角，则，
则.
故选：C.
5. 若直线：与圆：相切，则（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】A
【详解】圆：的圆心，半径，
由直线：与圆相切，得，所以.
故选：A
6. 在等差数列中，，则（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【详解】由题可得，
所以，
故选：C.
7. 儿童牙齿是否健康与早晚是否都刷牙有关.据调查，某幼儿园大约有的学生牙齿健康，大约有的学生早晚都刷牙，且其中早晚都刷牙的学生中约有的学生牙齿健康.现从不是早晚都刷牙的学生中任意调查一名学生，则他的牙齿健康的概率约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】不是早晚都刷牙且牙齿健康的学生占.
记“该学生不是早晚都刷牙”为事件A，“该学生牙齿健康”为事件B，
则，所以.
故选；A.
8. 江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（ ）
参考数据：若，则，，
A. 若出门，则开私家车不会迟到
B. 若出门，则乘坐地铁上班不迟到可能性更大
C. 若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
D. 若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到
【答案】D
【详解】对于A，当满足时，
江先生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故A错误；
对于，若出门，
①江先生开私家车，
当满足时，
此时江先生开私家车不会迟到；
②江先生乘坐地铁，
当满足时，
此时江先生乘坐地铁不会迟到；
此时两种上班方式，江先生不迟到的概率相当，故B错误；
对于C，若出门，
①江先生开私家车，
当满足时，
此时江先生开私家车不会迟到；
②江先生乘坐地铁，
当满足时，此时江先生乘坐地铁不会迟到；
此时两种上班方式，显然江先生开私家车不迟到的可能性更大，故C错误；
对于D，若出门，
江先生乘坐地铁上班，
当满足时，江先生乘坐地铁不会迟到，
此时不迟到的可能性极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，故D正确.
故选：D.
二、多选题
9. 已知向量，若，则的值可能为（ ）
A. 2B. －2C. 3D. －3
【答案】AD
【详解】因为，所以，解得或2．
故选：AD
10. 高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A. 所有可能的方法有种
B. 如果社区A必须有同学选择，则不同安排方法有61种
C. 如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
D. 如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
【答案】BC
【详解】对于选项A，安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，
每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，
故有种选择方案，错误；
对于选项B，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），正确；
对于选项C：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种），正确；
对于选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，
再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有（种），
错误.
故选：BC
11. 在的展开式中，则（ ）．
A. 各项系数的和是64B. 各二项式系数的和是64
C. 含的项的系数是15D. 第4项是系数最大的项
【答案】BC
【详解】对于A：令有，所以各项系数的和是0，故A错误；
对于B：各二项式系数的和为，故B正确；
对于C：由，令，
所以的项的系数是，故C正确；
对于D：根据通项可知，，要使系数最大，则为偶数，故，，，，故时，系数最大，所以第3项和第5项的系数最大，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
12. 若复数z满足，则______.
【答案】
【详解】由，可得，
所以，.
故答案为：.
13. 已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，则为______.
【答案】
【详解】设等差数列的公差为，则，
又，所以
因为，，成等比数列，
所以，
所以，
解得或（舍去）
所以，
故答案为：.
14. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______.
【答案】
【详解】由可得，∴.
∵.
所以曲线在处的切线方程为，
即.
故答案为：.
四、解答题
15. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【小问1详解】
证明：连接，

因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，
又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，则，
因为在直三棱柱中，，所以四边形为正方形，
所以，
因为，、平面，所以平面，
又平面，则．
【小问2详解】
因直三棱柱中，，
所以，，两两垂直，
所以以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，则，
令可得．
设与平面所成角为，
所以，
即与平面成角的正弦值为，
所以与平面成角的余弦值为．
16. 在等差数列中,,.在等比数列中,,公比.
（1）求数列和的通项公式;
（2）若,求数列的前n项和.
【答案】（1）,（2）
【详解】（1）等差数列中,,
解得:
等比数列中,,公比.
（2）由（1）和
①
可得②
由①②得:
17. 已知函数.
（1）当时，求函数在上的极值；
（2）当时，求函数的单调区间．
【答案】（1）极小值为，无极大值
（2）的单调递增区间为，，单调递减区间为
【小问1详解】
当时，函数，定义域为，则，
令，即，解得，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以在上的极小值小值为，无极大值；
【小问2详解】
当时，函数，定义域为，
则，
令，解得或，
当，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
综上：的单调递增区间为，，单调递减区间为.
18. 为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的成绩统计如下表.
规定60分以下为不及格，60分及以上至70分以下为及格，70分及以上至80分以下为良好，80分及以上为优秀.
（1）从这20名学生中随机抽取2名学生，2名学生的成绩恰好都是优秀的概率是多少？
（2）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2名学生，用X表示这2名学生中成绩为优秀的人数，求X的分布列、期望与方差.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，，
【小问1详解】
记2名学生的成绩恰好都是优秀为事件A，则.
【小问2详解】
抽到1名成绩为优秀的学生的概率为，X的可能取值为0，1，2.
，，
.
X的分布列如下.
所以.
所以，
或.
19. 有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁.高铁可以说是中国的一张行走的名片.截至2020年，中国高铁运营里程已经达到3.9万千米.2013年至2020年中国高铁每年的运营里程统计如下表，它反映了中国高铁的飞速发展.
根据以上数据，回答下面的问题.
（1）甲同学用曲线来拟合，并算出相关系数；乙同学用曲线来拟合，并算出转化为线性回归方程所对应的相关系数.请判断哪一个更适合作为y关于x的回归方程类型，并说明理由.
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程.（系数精确到0.1）
（3）请你利用得到的模型，预测2030年中国高铁的运营里程将达到多少万千米.
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数，公式为；
参考数据：，令，.
【答案】（1）乙同学的更适合作为y关于x的回归方程类型，理由见解析
（2） （3）1725
【小问1详解】
因为，所以乙同学的更适合作为y关于x的回归方程类型.
【小问2详解】
，
由得，即.
则，
，
所以.
【小问3详解】
2030年对应的年份代码，代入（2）中的y关于x的回归方程，
得.故预测2030年中国高铁运营里程将达到17.25万千米.分数段
人数
1
2
2
8
3
3
1
X
0
1
2
P
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
运营里程y/万千米
1.3
1.6
1.9
2.2
2.5
2.9
3.5
3.9