湖北省楚天协作体2024-2025学年高二下学期2月收心考试数学试题（Word版附解析）

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命题学校：应城一中 命题教师：方胜乐 祁建红 刘丹 审题学校：应城一中
考试时间：2025 年 2 月 10 日下午 15:00-17:00 试卷满分：150 分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域上的答案均无效．
3．非选择题的作答，用黑色签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域上的答案均无效．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 直线 倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2. 设等比数列 的前 n 项和为 ，若 ，且 ， ， 成等差数列，则 （ ）
A. 7 B. 15 C. 31 D. 63
3. 双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. “ ”是“直线 ： 与直线 ： 平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 小明同学有 6 把钥匙，其中 2 把能打开门．如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，
第二次才能打开门的概率为 ；如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率为 ，则 ， 的值
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分别为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
6. 已知点 ，过点 引直线 l 与曲线 相交于 A，B 两点，当 的面积
取得最大值时，直线 l 的斜率等于（ ）
A. B. C. D.
7. 在三棱锥 中， 两两垂直，且 ．若 M 为该三棱锥外接球上的一
动点，则 的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
8. 设 ， 分别是双曲线 C： 的左、右焦点，O 是坐标原点．过 作 C 的一条
渐近线的垂线，垂足为 P．若 ，则 C 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知等差数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 当 取得最大值时，
C. 数列 是递减数列 D.
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 若三个事件 、 、 两两相互独立，则
B. 设 、 是两个随机事件，且 ， ，若 ，则 、 是相互独立事件
C. 若 ， ，则事件 、 相互独立与 、 互斥有可能同时成立
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D 若事件 、 相互独立， ， ，则
11. 如图，在棱长为 2 正方体 中，点 O 为 BD 的中点，且点 P 满足
，则下列说法正确的是（ ）
A 若 ，则
B. 若 ， ，则点 P 的轨迹长度为
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ，直线 OP 与平面 所成的角为 ，则
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 双曲线 的两个焦点分别是 和 ，焦距为 8，M 是双曲线上的一点，且 ，
则 的周长为______．
13. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为
，乙每轮猜对的概率为 ．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”
在两轮活动中猜对 3 个成语的概率为______．
14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3 再加上 1；若是偶数，就将该数除以 2．反复进行上述两种
运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷
猜想”等）．如取正整数 ，根据上述运算法则得出 6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过 8 个步
骤变成 1（简称为 8 步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列 满足： （m 为正
整数）， 当 时，试确定使得 至少需要______步雹程；若
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，则 m 所有可能的取值集合 M 为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知点 ， ，动点 满足 ，记动点 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）过点 的直线 与曲线 交于 两点，若 ，求直线 的方程．
16. 已知抛物线 E： 的焦点为 F，过 F 作倾斜角为 的动直线 l 交 E 于 A，B 两点．当
时， ．
（1）求抛物线 E 的方程；
（2）证明：无论 如何变化， 是定值（O 为坐标原点），并求出该定值．
17. 如图甲，在平面五边形 ABCDE 中， ， ， ，
，G 为 BC 的中点，以 AD 为折痕将图甲中的 折起，使点 E 到达如图乙中的点 S 的位置，
且 ．
（1）证明：平面 平面 ABCD；
（2）求平面 SAD 与平面 SBC 的夹角的余弦值．
18. 设等比数列 的前 n 项和为 ，已知 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）在 与 之间插入 n 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列．
①设 ，求 ；
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②在数列 中是否存在三项 、 、 （其中 m、k、p 成等差数列）成等比数列，若存在，求出这
样的三项；若不存在，说明理由．
19. 如图，已知圆 A： ，点 是圆 A 内一个定点，点 P 是圆 A 上任意一点，线
段 BP 垂直平分线 l 和半径 AP 相交于点 Q，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹为曲线 C．
（1）求曲线 C 的方程；
（2）一组平行直线的斜率为 ，当它们与曲线 C 有两个公共点时，证明这些直线被曲线 C 截得的线段的
中点在同一条直线上；
（3）设曲线 C 与 y 轴正半轴的交点为 M，与 y 轴负半轴的交点为 N，过点 的直线 TM、TN
分别与曲线 C 交于 E、F 两点．若 的面积是 的面积的 倍，求 的最大值．
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