湖北省楚天教科研协作体2024-2025学年高二下学期2月收心考试数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省楚天教科研协作体2024-2025学年高二下学期2月收心考试数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 的倾斜角为
A. B. C. D.
2.设等比数列 的前 n 项和为 ，若 ，且 ， ， 成等差数列，则
A. 7 B. 15 C. 31 D. 63
3.双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为
A. B. C. D.
4.“ ”是“直线 与直线 平行”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.小明同学有 6 把钥匙，其中 2 把能打开门.如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，第
二次才能打开门的概率为 如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率为 ，则 ， 的值分
别为
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.已知点 ，过点 引直线 l 与曲线 相交于 A，B 两点，当 的面
积取得最大值时，直线 l 的斜率等于
A. B. C. D.
7.在三棱锥 中，PA，PB，PC 两两垂直，且 若 M 为该三棱锥外接球上的一动
点，则 的最小值为
A. B. C. D.
8.设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，O 是坐标原点.过 作 C 的一条
渐近线的垂线，垂足为 若 ，则 C 的离心率为
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A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，
部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9.已知等差数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则下列结论正确的是
A. B. 当 取得最大值时，
C. 数列 是递减数列 D.
10.下列命题正确的是( )
A. 若三个事件 A，B，C 两两相互独立，则
B. 设 A，B 是两个随机事件，且 ， ，若 ，则 A，B 是相互独立事件
C. 若 ， ，则事件 A，B 相互独立与 A，B 互斥有可能同时成立
D. 若事件 A，B 相互独立， ， ，则
11.如图，在棱长为 2 的正方体 中，点 O 为 BD 的中点，且点 P 满足
，则下列说法正确的是
A. 若 ，则
B. 若 ， ，则点 P 的轨迹长度为
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ，直线 OP 与平面 所成的角为 ，则
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.双曲线 的两个焦点分别是 和 ，焦距为 8，M 是双曲线上的一点，且 ，
则 的周长为 .
13.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为
，乙每轮猜对的概率为 在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.则“星队”在
两轮活动中猜对 3 个成语的概率为 .
14.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3 再加上 若是偶数，就将该数除以 反复进行上述两种运算，
经过有限次步骤后，必进入循环圈 这就是数学史上著名的“冰雹猜想” 又称“角谷猜想”
等 如取正整数 ，根据上述运算法则得出 ，共需经过 8 个步
骤变成 简称为 8 步“雹程” 现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列 满足： 为正整数 ，
当 时，试确定使得 至少需要 步雹程;若 ，则 m
所有可能的取值集合 M 为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 13 分
已知点 ， ，动点 M 满足 ，记动点 M 的轨迹为曲线
求曲线 C 的方程;
过点 的直线 l 与曲线 C 交于 P，Q 两点，若 ，求直线 l 的方程.
16. 本小题 15 分
已知抛物线 的焦点为 F，过 F 作倾斜角为 的动直线 l 交 E 于 A，B 两点.当 时，
求抛物线 E 的方程;
证明：无论 如何变化， 是定值 为坐标原点 ，并求出该定值.
17. 本小题 15 分
如图甲，在平面五边形 ABCDE 中， ， ， ，
，G 为 BC 的中点，以 AD 为折痕将图甲中的 折起，使点 E 到达如图乙中的点 S 的位置，且
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证明：平面 平面
求平面 SAD 与平面 SBC 的夹角的余弦值.
18. 本小题 17 分
设等比数列 的前 n 项和为 ，已知
求数列 的通项公式;
在 与 之间插入 n 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列.
①设 ，求
②在数列 中是否存在三项 、 、 其中 m、k、p 成等差数列 成等比数列，若存在，求出这样的三
项;若不存在，说明理由.
19. 本小题 17 分
如图，已知圆 ，点 是圆 A 内一个定点，点 P 是圆 A 上任意一点，线段 BP
的垂直平分线 l 和半径 AP 相交于点 Q，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹为曲线
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求曲线 C 的方程;
一组平行直线的斜率为 ，当它们与曲线 C 有两个公共点时，证明这些直线被曲线 C 截得的线段的中点
在同一条直线上;
设曲线 C 与 y 轴正半轴的交点为 M，与 y 轴负半轴的交点为 N，过点 的直线 TM、TN 分别
与曲线 C 交于 E、F 两点.若 的面积是 的面积的 倍，求 的最大值.
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了直线的点斜式、斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
求倾斜角的值 范围 的步骤
求出斜率 的值 范围 若斜率不存在，则倾斜角为
利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆确定倾斜角的值 范围
【解答】
解：由直线的方程得直线的斜率 ，设直线的倾斜角为 ，则 ，又 所
以 故选
2.【答案】C
【解析】解：设公比为 q，
因为 ， ， 成等差数列，
所以 ，则 ，解得
因为 ，
所以 ，
所以
3.【答案】B
【解析】解：由题意可得： ，
解得： ，
双曲线的渐近线方程为
故选
4.【答案】C
【解析】解： 当 时，直线 ： 与直线 ： ，
两条直线的斜率都是 ，截距不相等，得到两条直线平行，满足充分性；
当两条直线平行时，得到 ，
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解得 ，或 不合题意舍去 ，故 满足必要性；
所以“ ”是“直线 与直线 平行”的充分必要条件.
5.【答案】A
【解析】解：将 6 把钥匙分别标号为 1，2，3，4，5，6，其中标号，5，6 的钥匙是能打开门的，标号为 1，
2，3，4 的钥匙是不能打开门的，
如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，即为不放回地抽取，则尝试开门两次，如果随
机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，即为不放回地抽取，则尝试开门两次，尝试开门两次
的样本点有 个，
其中第二次才能打开门的样本点有 ， ， ， ， ， ， ， ，共有 8 个，
所以 ；
如果试过的钥匙又混进去，即为有放回地抽取，则尝试开门两次的样本空间为
，共有 36 个样本点，
其中第二次才能打开门的样本点有 ， ， ， ， ， ， ， 共有 8 个，
所以
6.【答案】D
【解析】解：曲线 ，得 ，则 ，
所以曲线 表示圆心为 ，半径为 的半圆 轴及以上部分 ，
由于 ，
故当 时 的面积取得最大值，此时圆心到直线 l： 的距离为 ，
即 ，注意到 ，得
7.【答案】B
【解析】解：如图，将三棱锥放置在正方体中，
三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体对角线的交点，
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以 P 为原点，PA、PB、PC 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
所以 ， ， ，
， ， ，
设三棱锥外接球的半径为 R，
，则 ，
，
，
， ，
， ，
，
，
所以
，
当 时，
取得最小值
故选
8.【答案】D
【解析】解：在 中， ， ， ，
记 ，则 ，
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在 中， ，
由余弦定理， ，
结合 解得
9.【答案】AC
【解析】解：设 的公差为 d， ，故 ，故 A 正确；
，故 ， 所以 ，且
，故 D 错误；
又因为 是等差数列，故数列 是递减数列，故 C 正确；
因为 ， ，故当 取得最大值时， ，故 B 错误．
10.【答案】BD
【解析】解：对于 A 选项，设样本空间 ，每个样本点的概率为 ，定义 ，
；
， ；
， ，
， ，
， ；
， ，
所以 A、B、C 两两相互独立，而 ， ， ，此时
，A 选项错误；
对于 B 选项，已知 ， ， ，即 ，所以 A、B 是相互独立
事件，B 选项正确;
对于 C 选项，若 A、B 互斥，则 ， 若 A、B 相互独立，则 因为
， ，所以事件 A，B 相互独立与 A，B 互斥不可能同时成立，C 选项错误;
对于 D 选项，因为 A、B 相互独立，则 ，所以
，D 选项正确.
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11.【答案】ACD
【解析】解：连接 ， ，DP，BP， ，以 D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
， ， ， ， ， ， ， ，
则 ，
故 ，
对于 A， ， ，若 ，则
，所以 ，故 A 正确;
对于 B，若 ， ，则 ，因为 ，所以 ，所以点 P 的轨迹长度
为 1，故 B 错误；
对于 C，若 ， ，则 ， ， ， ，设平面 的
法向量为 ，则 ，故可设 ，
所以点 P 到平面 的距离 ，
在 中， ，则 ，所以
，故 C 正确;
对于 D，若 ， 时， ， ，则
，设
， ，
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则 ， ， ，则
，
由于函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ， ，所以 ，
所以 ， ， ，
， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，故 D 正确.
12.【答案】解：由题意 ， ，易得 M 在左支上，
利用双曲线的定义知 ，
故 ，又焦距为 8，故三角形 的周长为 ，
故答案为
【解析】答案详解和解析过程见【答案】
13.【答案】
【解析】解：设 ， 分别表示甲两轮猜对 1 个、2 个成语的事件， ， 分别表示乙两轮猜对 1 个、2
个成语的事件．
根据独立事件的性质，可得 ， ，
， ，
设 “两轮活动‘星队ˈ猜对 3 个成语”，则 ，且 与 互斥， 与 ， 与
分别相互独立，所以
，
因此，“星队”在两轮活动中猜对 3 个成语的概率是
14.【答案】 ；
【解析】解：当 时，则按运算法则得到：
，
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即使得 需要 10 步“雹程”，
若 ，则 或 1 ，
当 时，则 或 5 ，
若 ，则 或 21 ；
若 ，则 ，若 ，则 ；
当 时， 或 3 ，
若 时，则 ，若 时，则 ；
当 时，则 或 1 ，
若 ，则 或 5 ；
若 ，则 ，
故 m 所有可能的取值集合 M 为 ，
故答案为：10；
15.【答案】解： 设 ，由 得 ，
两边平方化简得： ，故曲线 C 的方程为： ；
当直线 l 斜率不存在时，此时直线与圆相交于 P，Q 两点，
令 ，则 ， ，不符合题意，舍；
当直线 l 斜率存在时，设 ，圆心 到直线 l 的距离为
弦长 ，故 ， ，
又 ，平方，得 ，故 或 ，
所以直线 l 的方程为 或 ，即 或
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解： 抛物线 的焦点 ，依题意，直线 l 的斜率不为 0，
设直线 ， ， ，由 ，消去 x 得： ，
显然 ， ， ，
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，
当 时， ，于是 ，解得 ，
所以抛物线 E 的方程为
由 可知， ，则 ，
因此对任意的实数 t， 为定值，
所以无论 如何变化， 是定值
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】 证明：在平面五边形 ABCDE 中， ， ，
所以四边形 ABCDE 是直角梯形，且 ，
在直角 中， ，且 ，
则 ，可得 ，
从而 是等边三角形，AC 平分
因为 G 为 BC 的中点，所以 ，所以 ，
又因为 ， 且 SA， 平面 SAC，
所以 平面
又因为 平面 ABCD，所以平面 平面
取 AD 的中点 F，连接 SF，过点 S 作 SO 垂直 AC 于点 O，连接 OF，如图，
因为平面 平面 ABCD，平面 平面 ，
所以 平面 ABCD，又 平面 ABCD，则
因为 ，F 是 AD 的中点，所以 ，
又 且 SO， 平面 SOF，所以 平面 SOF，
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由 平面 SOF，则 ；
又因为 ，所以 ，则点 O 是 AC 的中点，
又 ，所以 ，可得
以 D 为原点，以 DA，DC 所在的直线分别为 x，y 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，
设平面 SAD 的一个法向量为 ，
，
则 ，
令 ，则
设平面 SBC 的一个法向量为 ，
，
则 ，
令 ，则
设平面 SAD 与平面 SBC 的夹角为 ，
则 ，
所以平面 SAD 与平面 SBC 的夹角的余弦值为
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解： 因为 ，
所以当 时， ，
两式相减得 ，
又因为数列 是等比数列，所以 ，
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而 ，
因此 ，解得 ，
因此数列 是以 3 为首项，公比为 4 的等比数列，
所以
由 知 ， ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
则 ，
所以
，
所以
假设在数列 中存在 ， ， 其中 成等差数列 成等比数列，
则 ，即 ，
因为 m，k，p 成等差数列，
所以 ，不妨设 ，
整理可得： ，即 ，即 ，
即 ，即 ，
因为 ，则 ，故假设不成立，
所以在数列 中不存在三项 ， ， 其中 m，k，p 成等差数列 成等比数列．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解： 依题意可知 ，
所以 Q 点的轨迹是椭圆，设其方程为 ，其中 ， ， ，
所以曲线 C 的方程为
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设这组平行直线的方程为 ，
联立 得 ，由 得
设两交点分别为 ， ，PQ 的中点为
则 ， ，
消 m 得 即这些直线被曲线 C 截得的线段的中点在同一条直线 上.
因为 ，
直线 TM 的方程为 ，直线 TN 的方程为 ，联立 ，得 ，
所以点
所以点 E 到直线 TN 的距离为
联立 ，得 ，所以
所以 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最大值为
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
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