甘肃省张掖市甘州区2024-2025学年九年级上学期月考（9月份）数学试卷（解析版）

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1. 下列方程中，哪个是一元二次方程？（ ）
A. B.
C. 2D. 3
【答案】C
【解析】A、，是二元二次方程，故不符合题意；
B、，是分式方程，故不符合题意；
C、，是一元二次方程，故符合题意；
D、，是一元一次方程，故不符合题意，
故选：C．
2. 如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）

A. （30﹣2x）（40﹣x）＝600B. （30﹣x）（40﹣x）＝600
C. （30﹣x）（40﹣2x）＝600D. （30﹣2x）（40﹣2x）＝600
【答案】D
【解析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，
宽为（30﹣2x）cm，
根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．
故选：D．
3. 关于二次函数，下列说法中正确的是（ ）
A. 它的开口方向是向上
B. 当时，随的增大而增大
C. 它的顶点坐标是
D. 当时，有最大值是5
【答案】B
【解析】A．由抛物线可看出，故开口向下，故此选项不符合题意；
B．当时，随的增大而增大，故此选项符合题意；
C．它的顶点坐标，故此选项不符合题意；
D．当时有最大值是5，故此选项不符合题意．
故选：B．
4. 若是方程的一个根，则的值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】将代入得，
∴，
故选：D．
5. 股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设这两天此股票股价的平均增长率为
∴，
即，
故选：A．
6. 二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（ ）
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
【答案】A
【解析】根据角抛物线顶点式得到对称轴为直线x=4，利用抛物线对称性得到抛物线在1＜x＜2这段位于x轴的上方，而抛物线在2＜x＜3这段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点（2，0）然后把（2，0）代入y＝a(x－4)2－4(a≠0)可求出a=1.
故选A
7. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（ ）
A. x2﹣3x+1=0B. x2+1=0C. x2﹣2x+1=0D. x2+2x+3=0
【答案】A
【解析】A、a=1，b=﹣3，c=1，
∵△=b2﹣4ac=5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，本选项符合题意；
B、a=1，b=0，c=1，
∵△=b2﹣4ac=﹣4＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意；
C、a=1，b=﹣2，c=1，
∵△=b2﹣4ac=0，
∴方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；
D、a=1，b=2，c=3，
∵△=b2﹣4ac=﹣5＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意．
故选A．
8. 若为关于的一元二次方程的根，则的值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】若为关于的一元二次方程的根，
，则，
，
故选：B．
9. 如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为( )
A. x(x+8)=225B. x(x+16)=225
C. x(x﹣16)=225D. (x+8)(x﹣8)=225
【答案】C
【解析】∵最大数为x，
∴最小数用x表示为：x-16，
∴列方程为：x(x﹣16)=225，
故选：C.
10. 已知二次函数的图象如图，其对称轴为直线，给出下列结果：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
则正确的结论是（ ）
A. （1）（2）（3）（4）B. （2）（4）（5）
C. （2）（3）（4）D. （1）（4）（5）
【答案】D
【解析】（1）如图所示，二次函数与轴有两个交点，所以，则．故（1）正确；
（2）、（3）如图所示，抛物线开口向上，所以，抛物线与轴交点在负半轴上，
．
又，，
，．故（2）、（3）错误；
（4）如图所示，由图象可知当时，，即．
故（4）正确；
（5）由图象可知当时，，即．
故（5）正确．综上所述，正确的结论是（1）（4）（5）．
故选：D．
11. 抛物线与直线围成的正方形有公共点，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】由图可知：，，
再根据抛物线的性质，越大开口越小，
把点代入得，把点代入得，
则的范围介于这两点之间，故．
故答案为：．
12. 一元二次方程的两根为，，则______．
【答案】
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系得，，
所以．
故答案为：．
13. 解下列方程：
（1）；
（2）．
（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∴原方程的解为，；
（2）解：由原方程化为，
∴或，
∴，．
∴原方程的解为，．
14. 求函数的最值．
解：二次函数，
，，，
，该二次函数开口向上，
函数有最小值，最小值为．
15. 如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m长的篱笆围一个矩形场地．
(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？
(2)能否使所围矩形场地的面积为810m2 ，为什么？

解：（1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为米．
依题意，得，即.解此方程，得x1=30，x2=50.
∵墙的长度不超过45m，∴x2=50不合题意，应舍去．
当x=30时，.
答：当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2．
（2）不能．理由如下：
由得．
∵，
∴方程没有实数根．∴不能使所围矩形场地面积为810m2．
16. 已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P、Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
（2）如果P、Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于？
解：（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（0＜x≤3.5），
此时AP＝xcm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，
△PBQ面积为：，得，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝1或x＝4（舍去）；
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；
（2）设经过t秒后，PQ的长度等于，由PQ2＝BP2+BQ2，
即40＝（5﹣t）2+（2t）2，
解得：t＝﹣1（舍去）或3．
则3秒后，PQ的长度为；
17. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）判断的形状，证明你的结论；
（3）点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标．
（1）解：∵点在抛物线上，
，
∴，
抛物线的解析式为，
顶点的坐标为；
（2）解：是直角三角形，证明如下：
在中，当时，，
，
∴；
在中，当时，，
解得，，
∴，
，，
∵，，，
，是直角三角形；
（3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接，则，
由轴对称的性质可得，
∴的周长，
∵点C和点D都是定点，
∴的长为定值，
∴当有最小值时，的周长有最小值，
∵两点之间线段最短，
∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，解得，
∴．
18. 一个口袋中装有4个白球，2个红球，6个黄球，摇匀后随机从中摸出一个球是红球的概率是_______．
【答案】
【解析】随机从中摸出一个球是红球的概率是，
故答案为：．
19. 如下图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第5个矩形的面积为_______．
【答案】
【解析】如图，标记各点，并连接对角线交于点，则四边形是矩形，
对角线、互相平分，即对角线、的交点为，
是的中点，
同理可得，分别为的中点，
又分别为的中点，
分别为的中位线，
、、、，
矩形的面积为，
即第二个矩形的面积第一个矩形的面积的，
同理可得，第三个矩形的面积第二个矩形的面积的第一个矩形的面积的，
……
观察发现，第个矩形的面积第一个矩形的面积的，
第一个矩形的面积为1，
第5个矩形的面积为，
故答案为： ．
20. 先化简，再求值：，其中，．
解：
，
当，时，原式．
21. 已知a、b、c为实数，且，求方程ax2+bx+c=0的根．
解：∵，，，且
∴，，
∴，，
∴a=1，b=－1，c=－3
故方程为
∵
∴
即，
22. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个实数根，满足，求m的值．
（1）证明：∵在方程中，
，∴该方程有两个不相等实数根．
（2）解：∵该方程的两个实数根分别为，，
∴①，②．
∵③，∴联立①③，解得，．
∴，解得．
23. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，．求证：．

解：在正方形中，，，
∵，
∴，
∴．
24. 如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门．设米时，鸡舍面积为S平方米．
（1）若，求S关于x的函数表达式及x的取值范围．
（2）在（1）的条件下，当为多少时，鸡舍的面积为90平方米？
（1）解：设米，则米，
则，
，，
，
即S关于x的函数表达式为；
（2）解：由（1）可知，，
则，
解得：，（舍），
即当为米时，鸡舍的面积为90平方米．
25. 年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为，，，，滨河体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是（滑板）的概率是______．
（2）体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（滑板）和（运动攀岩）的概率．
（1）解：恰好抽到是（滑板）的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下，
共有种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是（滑板）和（运动攀岩）的结果有种，
∴抽到的两张卡片恰好是（滑板）和（运动攀岩）的概率为．
26. 张掖市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
解：设该品牌头盔每个售价应定为元，则销量为件，
由题意得：，
整理得：，解得：，，
尽可能让顾客得到实惠，，
答：该品牌头盔每个售价应定为元．
27. 分别是三角形的边的中点，是所在平面上的动点，连接，点分别是的中点，顺次连接点
（1）如图，当点在内部时，求证：四边形是平行四边形；
（2）若四边形是菱形，则与应满足怎样的关系？若四边形是矩形，则与应满足怎样的关系？(直接写出答案，不需要说明理由)
（1）证明：分别是的中点.
分别是的中点
四边形是平行四边形.
（2）解：若四边形是菱形，则DG=GF，
由(1)中位线可知GF平行且等于BC，DG平行且等于AO
∴
若四边形是矩形，则DG⊥GF，
∵DG∥AO，GF∥BC
∴