黑龙江省哈尔滨市2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试卷（解析版）

这是一份黑龙江省哈尔滨市2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列实数中，是无理数的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A．是有理数，不符合题意；
B．是有理数，不符合题意；
C．是无理数，符合题意；
D．是有理数，不符合题意．
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、，故计算错误，不符合题意；
B、，故计算正确，符合题意；
C、，故计算错误，不符合题意；
D、，故计算错误，不符合题意．
故选：B．
3. 抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】抛物线的顶点坐标是，
故选：D．
4. 若两个相似多边形的面积之比为 ，则这两个多边形的周长之比为 ( )
A. B. 16:81C. 4:9D. 2:3
【答案】D
【解析】两个相似多边形的面积之比为 ，
两个相似多边形的对应边之比为，
两个多边形的周长之比为，
故选D．
5. 如图所示，铁道口的栏杆短臂长，长臂长，当短臂的端点下降m时，长臂端点应升高（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，
将题中条件转化到上图中，，
即，求的长度，
，（对顶角），
，
，即，解得，
∴长臂端点升高，
故选：B．
6. 如图，平行四边形中，对角线、交于点，点为的中点，且，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形为平行四边形，
，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
，
∵，
∴，
故选：C．
7. 如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（ ）

A. 2B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】∵将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形，
∴，与互相平分，
∴四边形是菱形，
∵，，
∴菱形的面积为．
故选：B
8. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故选：A．
9. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由作图可知，为的角平分，
∴，故A正确；
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，故D错误；
∵，
∴，故C正确，故选：D．
10. 如图，中，∠B＝90°，AB＝BC＝4cm，点D为AB中点，点E和点F同时分别从点D和点C出发，沿AB、CB边向点B运动，点E和点F的速度分别为1cm/s和2cm/s，则的面积ycm2与点F运动时间x/s之间的函数关系的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意得：设CF＝2x，DE＝x，
则BF＝BC﹣FC＝4﹣2x，AE＝AD+DE＝2+x，
则y＝AE×BF＝×（2+x）（4﹣2x）＝﹣x2+4（0≤x≤2），
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11. 伴随“互联网+”时代的来临，预计到2025年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到450000000人，将数据450000000科学记数法表示为_____________．
【答案】
【解析】450000000用科学记数法表示为4.5×108，
故答案为：4.5×108．
12. 在函数中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≠-3
【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须x+3≠0，
∴x≠-3．
故答案为：x≠-3．
13. 计算：______．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
14. 不等式组的解集是______．
【答案】
【解析】，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为：；
故答案为：．
15. 如图，在中，直线垂直平分分别交、于点D，E，点F为直线上任意一点，，，则周长的最小值是______．
【答案】7
【解析】如图，连接，
直线垂直平分的边，
，
，
，当点F与点D重合时等号成立，
，
周长的最小值是7．
故答案为：7．
16. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2021年至2023年我国快递业务收入由5000亿元增加到7200亿元．则我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为______．
【答案】
【解析】设我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：，
解得：，（舍去），
∴我国2021年至2023年快递业务收入的年平均增长率为，
故答案为：．
17. 抛物线的最大值为______．
【答案】
【解析】由抛物线可知，
∴当时，有最大值，
故答案为：．
18. 观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第6个图形共有______个★．
【答案】19
【解析】根据图形可得：
第1个图形有个★，
第2个图形有个★，
第3个图形有个★，
第4个图形有个★，
……
第个图形有个★，
第6个图形中有个★，
故答案为：19．
19. 在矩形中，点P为对角线BD垂直平分线上一点，且则AP的长是______．
【答案】3或．
【解析】连接矩形对角线BD，做出BD的垂直平分线MN，交AD、BC分别于M，N点，连接BM，DN，AN，
中，设
根据勾股定理得：
解得：
当P与M重合时，此时
连接AN，当P与N重合时，由对称性得到
在中，
根据勾股定理得： 此时．
故答案为：3或．
20. 如图，在菱形中，，点E，F分别是边上任意点（不与端点重合），且，连接与相交于点G，连接与相交于点H，下列结论：①；②的大小为定值；③与一定不垂直；④若，则，其中正确的结论有______．
【答案】①②
【解析】①∵四边形是菱形．
∴，
又，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴①符合题意；
②由①得，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴的大小为定值，
∴②符合题意；
③当点E，F分别是中点时，
由①知，为等边三角形，
∵点E，F分别是中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴③不符合题意；
④过点F作交于P点，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，故本选项不符合题意：
∴正确的结论是①②．
故答案为：①②．
三、解答题（共60分，其中21、22题各7分，23、24题各8分，25—27题各10分）
21. 先化简，再求值：，其中．
解：原式====，
当时，原式=．
22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空：
（1）平移线段，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段，并写出点D的坐标为______；
（2）在y轴上找出点F，使最小，并直接写出点F的坐标为______．
（1）解：如图线段即为所求；
根据平移可知：点的坐标是．
故答案为：；
（2）解：作点A关于轴的对称点，连接交轴于点，
此时最小，
由图知点的坐标为．
故答案为：．
23. 为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩为：A（优秀）、B（优良）、C（合格）、D（不合格）四个等级．小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制成了如下统计图．
（1）直接写出本次抽样调查的样本容量，补全条形统计图；
（2）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数．
（1）解：本次抽样调查的样本容量为；
∴竞赛成绩B（优良）的学生人数为，
竞赛成绩D（不合格）的学生人数为100-35-35-25=5，
补全条形统计图，如下图：
（2）解：该校竞赛成绩“优秀”的学生人数为人.
24. 如图，在中，，点D为边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连接．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求点C到的距离．
（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵，，
∴
设点C到的距离为h，
∵
∴
∴
答：点C到的距离为．
25. 春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元．
（1）求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元；
（2）春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个A型放大镜？
解：（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，可得：
，
解得：，
答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为20元，12元；
（2）设购买A型放大镜m个，根据题意可得：20m+12×（75-m）≤1180，
解得：m≤35，
答：最多可以购买35个A型放大镜．
点睛：本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，列出方程组和不等式解答．
26. 如图，在正方形中，E，F分别是边，上的一点，，连接，．
（1）求证：；
（2）如图，连接交于点G，连接，若，，求的长；
（3）如图，过点F作于点M，若，，求出的长．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，即点F为中点，
如图所示，取中点H，连接交于P，
∴，
同理可证，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
取中点Q，连接，则是的中位线，
∴，
∴由平行线的唯一性可知点Q与点P重合，
∴，
∴垂直平分，
∴，
又∵
∴；

（3）解：连接，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
在中，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴．

27. 在平面直角坐标系中，已知，B为x轴负半轴上一点，把线段绕点A顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，连接，求的面积；
（2）如图2，过点C作y轴的平行线交于点D，若，求直线的解析式；
（3）如图3，在（2）的条件下，E为延长线上一点，若，求点E的坐标．
（1）解：过点C作轴于点D，则，
∴，
由旋转可得，，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，
由（1）同理可得，
∴，
∵轴，轴，∴，
∵轴，
∴四边形是矩形，∴．
连接，
∵，
∴在中，，
∵，∴，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
∴．
设过点，的直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
（3）解：∵由旋转有，，
∴是等腰直角三角形，∴，
设，∴，
过点E作，交x轴于点M，作轴于点N，
∵，
∴，
∵轴，
∴轴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，∴，
∵，
∴，∴，．
∵点E在直线上，
∴设点E的坐标为，
∴，，，
∴
∵，∴，
，
∵在中，，
∴，
解得，（不合题意，舍去），∴．