辽宁省丹东市凤城市2024-2025学年九年级（上）期末数学试卷【含答案】

这是一份辽宁省丹东市凤城市2024-2025学年九年级（上）期末数学试卷【含答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一个几何体如图所示，它从左面看的图形是( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，晚上小明在路灯下沿路从A处径直走到B处，这一过程中他在地上的影子( )
A. 一直都在变短
B. 先变短后变长
C. 一直都在变长
D. 先变长后变短
3.下列命题正确的是( )
A. 顺次连接矩形四边的中点得到菱形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 两边成比例及一角相等的两个三角形相似
D. 若点P是线段AB的黄金分割点，则PA= 5−12AB
4.平地上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是( )
A. B. C. D.
5.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，A、B、C都在格点上，则csB的值为( )
A. 22
B. 12
C. 32
D. 24
6.现有两道数学选择题，他们都是单选题，并且都含有A、B、C、D四个选项，瞎猜这两道题，这两道题恰好全部猜对的概率是( )
A. 14B. 12C. 18D. 116
7.《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是( )
A. (x+2)2+(x−4)2=x2B. (x−2)2+(x−4)2=x2
C. x2+(x−4)2=(x−4)2D. (x−2)2+x2=(x+4)2
8.把矩形ABCD对折，折痕为MN，如果矩形DMNC和矩形ABCD相似，则矩形DMNC和矩形ABCD它们的相似比为( )
A. 22
B. 2
C. 2
D. 12
9.如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为点E、F.若∠ABC=120°，AB=2，则PE−PF的值为( )
A. 32B. 3C. 2D. 52
10.如图，已知E是正方形ABCD中AB边延长线上一点，且AB=BE，连接CE、DE，DE与BC交于点N，F是CE的中点，连接AF交BC于点M，连接BF.有如下结论：
①DN=EN；
②△ABF∽△ECD；
③tan∠CED=13；
④S四边形BEFM=2S△CMF．
其中正确的是( )
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.将方程x2−6x−10=0化成(x−m)2=n(m,n为常数)的形式，则m= ．
12.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为(8,2)、(16,4)，若点A的坐标为(5,6)，则点A′的坐标为______．
13.如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交CB，CD于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠BCD内交于点P，连接CP并延长交AD于点Q，连接BQ.若BQ=7时，则△BQC与△DCQ的周长之差为______．
14.如图，已知△AOB是一块含有30°角的直角三角板(∠OAB=30°)，点A是函数y=6x(x>0)的图象上一点，点B是函数y=kx(x>0)的图象上一点，则k的值为______．
15.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=10，AB=8，将AB沿AE翻折，使点B落在B′处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB′上的点C′处，EF为折痕，连接AC′.若CF=3，则tan∠B′AC′= ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
计算： 2sin45°+tan60°−2cs30°tan30°+(π−3)0．
17.(本小题8分)
为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为A，B，C的3张卡片(如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同)背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱．
(1)七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到C卡片的概率为______；
(2)七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率．
18.(本小题9分)
【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度.已知榕树CD，FG和灯柱AB如图所示，在灯柱AB上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下：
①根据光源确定榕树在地面上的影子；
②测量出相关数据，如高度，影长等；
③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．
根据上述内容，解答下列问题；
(1)已知榕树CD在路灯下的影子为DE，请画出榕树FG在路灯下的影子；
(2)如图，若榕树CD的高度为3.6米，其离路灯的距离BD为6米，两棵榕树的影长DE，GH均为4米，两棵树之间的距离DG为6米，求榕树FG的高度．
19.(本小题9分)
水果批发商进口一种高档水果，售出水果每千克盈利(毛利润)18元，每天可售出1000千克，经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价降低1元，每天多售出100千克．
(1)若以每千克盈利15元的价钱出售，能卖出多少千克？
(2)若以每千克盈利15元的价钱出售，此时能盈利多少元？
(3)若水果店要保证每天销售这种水果的毛利润为18700元，同时又要使顾客觉得价不太贵，则每千克水果应降价多少元？
20.(本小题9分)
九年级某数学兴趣小组研究了函数y=2|x|的图象与性质，其探究过程如下：
(1)绘制函数图象，如图1．
列表：如表是x与y的几组对应值，其中m=______；
描点：根据表中各组对应值(x,y)，在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象.请你把图象补充完整；
(2)通过观察图1，写出该函数的两条性质：
①______；
②______；
(3)观察发现：如图2，若直线y=2(直线y=2是过点(0,2)且平行于x轴的一条直线)交函数y=2|x|的图象于A，B两点，连接OA，OB，则S△OAB=______；
(4)知识迁移：当x>0时，函数y=2|x|的图象与函数y=−x+3的图象交于点C、D，直接写出S△OCD=______．
21.(本小题9分)
我国无人机在全球范围内处于领先地位，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米到达Q点，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果保留根号形式)．
22.(本小题12分)
如图，一次函数y=−x+3的图象与反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限的图象交于A(1,a)和B(2,b)两点，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)根据图象，当−x+30)的图象上一点，
∴ab=6，−mn=k，
∴k=− 3b3× 3a3=−2，
故答案为：−2．
由△AOB是一块含有30°角的直角三角板，可得OAOB= 3，过点A作AC⊥y轴于C，过点B作BD⊥y轴于D，证明△AOC∽△OBD，可得ACOD=OCBD=OABO= 3，设A(a,b)，B(m,−n)，则an=bm= 3，m= 3b3，n= 3a3，根据反比例函数图象上点的坐标特征得ab=6，k=mn，即可求解．
本题是反比例函数综合题，考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义．
15.【答案】14
【解析】解：连接AF，设CE=x，则C′E=CE=x，BE=B′E=10−x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=8，AD=BC=10，∠B=∠C=∠D=90°，
∴AE2=AB2+BE2=82+(10−x)2=164−20x+x2，
EF2=CE2+CF2=x2+32=x2+9，
由折叠知，∠AEB=∠AEB′，∠CEF=∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF=180°，
∴∠AEF=∠AEB′+∠C′EF=90°，
∴AF2=AE2+EF2=164−20x+x2+x2+9=2x2−20x+173，
∵AF2=AD2+DF2=102+(8−3)2=125，
∴2x2−20x+173=125，
解得，x=4或6，
当x=6时，EC=EC′=6，BE=B′E=10−6=4，EC′>B′E，不合题意，应舍去，
∴CE=C′E=4，
∴B′C′=B′E−C′E=(10−4)−4=2，
∵∠B′=∠B=90°，AB′=AB=8，
∴tan∠B′AC′=B′C′AB′=28=14．
故答案为：14．
连接AF，设CE=x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF=90°，由勾股定理通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形的性质，关键是利用勾股定理列出方程．
16.【答案】解：原式= 2× 22+ 3−2× 32× 33+1
=1+ 3−1+1
= 3+1．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
17.【答案】解：(1)七年一班随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为C的概率为13，
故答案为：13；
(2)画树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中两个班级恰好选择一首歌曲的有3种结果，
所以两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率为39=13．
【解析】(1)直接利用概率公式求解即可；
(2)根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】解：(1)如图，线段GH即为所求；
(2)∵CD//PB，
∴△ECD∽△EPB，
∴CDPB=EDEB，即3.6PB=44+6，
解得：PB=9，
∵FG//PB，
∴△HFG∽△HPB，
∴FGPB=HGHB，即FG9=44+6+6，
解得：FG=94，
答：榕树FG的高度为94米；
【解析】(1)根据题意画出图形；
(2)证明△ECD∽△EPB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的相似三角形的判定和性质的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
19.【答案】解：(1)由题意得：1000+(18−15)×100=1300(千克)，
答：以每千克盈利15元的价钱出售，能卖出1300千克；
(2)依题意得：15×1300=19500(元)，
答：若以每千克盈利15元的价钱出售，此时能盈利19500元；
(3)设每千克水果应降价x元，
根据题意得：(18−x)×(1000+100x)=18700，
整理得：x2−8x+7=0，
解得：x1=7，x2=1(不符合题意，舍去)，
答：每千克水果应降价7元．
【解析】(1)根据每千克售价降低1元，每天多售出100千克列出算式，即可求解；
(2)根据总利润=每斤利润×销售数量代入数值计算即可求得利润；
(3)设每千克水果应降价x元，根据水果店要保证每天销售这种水果的毛利润为18700元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20.【答案】1，图见解析；
①函数的图象关于y轴对称；②当x0时，y随x的增大而减小；
2；
32
【解析】(1)把x=2代入y=2|x|得，y=1，
∴m=1，
补全图象如图所示：
故答案为：1；
(2)由图象可知：①函数的图象关于y轴对称；
②当x0时，y随x的增大而减小(答案不唯一)；
故答案为：①函数的图象关于y轴对称；②当x0时，y随x的增大而减小；(答案不唯一)
(3)当y=2时，即2=2|x|，解得x=±1，
故点A、B的坐标分别为(−1,2)、(1,2)，则AB=1−(−1)=2，
则S△OAB=12AB×2=2；
故答案为：1；
(4)当x>0时，联立得2x=−x+3，
整理得x2−3x+2=0，
解得x=1或x=2，
当x=1时，y=2；当x=2时，y=1；
如图，设直线y=−x+3与x交于点E，
则C(1,2)、D(2,1)，E(3,0)，
∴S△OCD=S△OCE−S△ODE=12×3×2−12×1×3=32，
故答案为：32．
(1)把x=2代入y=2|x|得，y=1，即可得到m的值，根据表格中的数据补全函数图象即可；
(2)根据函数图象，从对称性、增减性等方面写出该函数的两条性质；
(3)当y=2时，即2=2|x|，解得x=±1，得到点A、B的坐标分别为(−1,2)、(1,2)，则AB=2，即可得到答案；
(4)联立求得点C、D的坐标，求得直线y=−x+3与x交于点E的坐标，根据S△OCD=S△OCE−S△ODE求解即可．
本题考查反比例的图象和性质，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】(7+4 3)米．
【解析】解：如图，延长PQ，BA，相交于点E，
由题意可得：AB⊥PQ，则∠E=90°，
∴∠QBE=90°−∠BQE=90°−45°=45°，
∴∠BQE=∠QBE，
∴BE=QE，
设BE=QE=x，
∵PQ=5，AB=3，
∴PE=QE+PQ=x+5，AE=BE−AB=x−3，
∴tan∠APE=AEPE，
∵∠APE=30°，
∴tan30°=x−3x+5= 33，
解得：x=7+4 3，
经检验，x=7+4 3是原分式方程的解，
∴无人机飞行的高度为(7+4 3)米．
延长PQ，BA，相交于点E，由题意可得AB⊥PQ，则∠E=90°，由直角三角形的两个锐角互余可得∠QBE=90°−∠BQE=45°，进而可得∠BQE=∠QBE，由等角对等边可得BE=QE，设BE=QE=x，则PE=QE+PQ=x+5，AE=BE−AB=x−3，由tan∠APE=AEPE可得tan30°=x−3x+5= 33，解方程即可求出x的值，进而求得无人机飞行的高度．
本题考查了解直角三角形的应用(仰角俯角问题)，熟练掌握俯角的定义和锐角三角函数的定义，并正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22.【答案】y=2x；
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