湖北省武汉市硚口区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份湖北省武汉市硚口区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
解得．
故选：D．
2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【详解】解：B，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：A．
3. 雪花是一种晶体，结构随温度的变化而变化，又名未央花和六出单个雪花的重量很轻，只有0.00003左右，数据0.00003用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：数据0.00003用科学记数法表示是，
故选：C．
4. 从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m，n的值分别为 ( )
A. 4，3B. 3，3C. 3，4D. 4，4
【答案】C
【解析】
【详解】解：对角线的数量=6﹣3=3条；
分成的三角形的数量为6﹣2=4个．
故选C．
5. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定条件判断即可．
详解】解：由题意可知
中
∴(SSS)
∴
∴就是的平分线
故选：D
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方逐项计算即可．
详解】解：、，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项符合题意；
故选：．
7. 在运用乘法公式计算时，下列变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查乘法公式-平方差公式的结构特征，熟记平方差公式，灵活运用是解决问题的关键．
【详解】解：根据的结构特征，可选择乘法公式-平方差公式，
，
故选：D．
8. 矩形纸片两邻边的长分别为a，b（），连接它的一条对角线，用四张这样的矩形纸片按如图所示的方式拼成正方形，其边长为．图中正方形，正方形和正方形的面积之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理，完全平方公式，
首先根据勾股定理得到，然后利用正方形，正方形和正方形的面积之和为：代入求解即可．
【详解】∵
∴
∴正方形，正方形和正方形的面积之和为：
．
故选：C．
9. 若x为任意实数，则代数式的最小值是（ ）
A. 6B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，依据题意得，，再由对于任意实数，，从而可得，进而可以判断得解．解题时要熟练掌握并能灵活运用完全平方公式进行变形是关键．
【详解】解：由题意得，．
对于任意实数，，
．
最小值是．
故选：D．
10. 我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（ ）
A. 15B. 10C. 9D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二项式展开式系数．运用“杨辉三角”来确定展开式中各项系数是解题的关键．
根据“杨辉三角”得规律，找到展开式中各项的系数，从而确定项的系数即可．
【详解】解：“杨辉三角”中，对于，其系数是第行的数．
例如系数为第1行的1；
系数为第2行的1、1；
系数为第3行的1、2、1等等．
每一行的数都是由上一行相邻两数相加得到的（两端的数为1）；
根据上述规律的系数为第五行的1、4、6、4、1．那么的系数，第6行是由上一行相邻两数相加得到，即1（由上一行第一个1得到），，，，，，1（由上一行最后一个1得到）；
同理，的系数为第7行，1（由上一行第一个1得到），，，，，，1（由上一行最后一个1得到）．
∴在的展开式中，含项的系数是第6个系数，即6．
故选：D．
二、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若分式的值为0，则x的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件可以求出的值．熟知需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．是解题的关键．
【详解】解：由分式的值为零的条件得且，
由，得，
故答案为：．
12. 已知点与点关于x轴对称，则b的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出的值．掌握其性质是解题的关键．
【详解】解：点与点关于轴对称，
，
故答案为：．
13. 若，，则的值是________，的值是________．
【答案】 ①. 15 ②.
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆运用，幂的乘方的逆用，同底数幂相除的逆运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
将化为，即可求解；将化为，即可求解
【详解】解：，
，
故答案为：15；．
14. 如图，已知的周长是18，和的平分线交于点O，于点D，若，则的面积是________．
【答案】27
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过点O作于点E，过点O作于点F，连接，根据角平分线的性质可得，进一步求的面积即可．
【详解】解：过点O作于点E，过点O作于点F，连接，如图所示：
∵点O为与的平分线的交点，且，
∴，
∵，的周长为18，
∴的面积
，
故答案为：27．
15. 如图，在平面直角坐标系中，已知，点，且，点P在第一象限内，若为等腰直角三角形，则点P的坐标是______．
【答案】或或
【解析】
【分析】此题重点考查坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，由，得，求得，，则，，再分三种情况讨论，一是，，作轴于点，轴于点，可证明，得，，则，所以，求得，则；二是，，作轴于点，可证明，得，，所以，则；三是，，作轴于点，可证明，得，，则，所以，于是得到问题的答案．正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：，
，
，，
，，
，，
，，
如图1，，，
作轴于点，轴于点，则，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
；
如图2，，，
作轴于点，则，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
如图3，，，
作轴于点，则，
，
和中，
，
，
，，
，
，
综上所述，点的坐标为或或，
故答案为：或或．
16. 如图，在等腰中，，，点D，E分别为边上的动点，且，连接，当的值最小时，的大小是_______．
【答案】##132度
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．将拼接到，连接交于点，推出，当点与点重合时，的值最小，据此求解即可．
【详解】解：如图，将拼接到，连接交于点，
则，
，，，
，
当A，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，
，，
，
，，
，
即最小时，的度数为．
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了因式分解，正确掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
18. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）无解
【解析】
【分析】本题考查解分式方程．要注意解分式方程要检验．
（1）方程两边同时乘以，将分式方程化成整式方程求解，再检验即可得解；
（2）方程两边同时乘以，将分式方程化成整式方程求解，再检验即可得解．
【小问1详解】
解：方程两边同时乘以，得，
解得：，
当时，，
所以原分式方程的解为；
【小问2详解】
解：方程两边同时乘以，得，
解得：，
当时，，
所以原分式方程无解．
19. 如图，，两点在上，，，垂足分别为，两点，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，先根据得，再根据，得和均为直角三角形，然后再依据“”判定和全等得，进而根据平行线的判定即可得出结论．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定是解决问题的关键．
【详解】证明：，
，
，
，，
和均为直角三角形，
在和中，
，
，
，
．
20. 化简．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
先计算括号内异分母的分式减法，再将除法化为乘法计算．
【详解】解：原式
．
21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
（1）在图1中，画的中线；
（2）在（1）的基础上，在边上画点E，连接，使；
（3）在图2中，画的高；
（4）在（3）的基础上，在射线上，画点G，连接，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析 （4）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的中线，高，线段的垂直平分线，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
（1）根据三角形的中线的定义画出图形；
（2）作线段的垂直平分线交于点即可；
（3）取格点，连接，线段即为所求；
（3）取格点，，连接交于点，连接即可．
【小问1详解】
解：如图1中，线段即为所求；
【小问2详解】
如图1中，线段即为所求；
【小问3详解】
如图2中，线段即为所求；
【小问4详解】
如图2中，线段即为所求．
22. 某小麦改良品种后平均每公顷增加产量a吨，原来总产量m吨小麦的一块土地，现在小麦的总产量增加了20吨．
（1）当，时，原来和现在小麦的平均每公顷产量各是多少？
（2）求原来小麦的平均每公顷产量．（用含a，m的式子表示）
【答案】（1）原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，吨
（2）原来小麦的平均每公顷产量吨
【解析】
【分析】本题考查的知识点主要是根据题意列分式方程并求解，找出题目中的等量关系式是解题的关键．
（1）设原来平均每公顷产量是x吨，则现在平均每公顷产量是吨，根据题意列方程，再求解即可；
（2）设原来小麦平均每公顷产量是y吨，则现在玉米平均每公顷产量是吨，根据题意列方程，再求解即可．
【小问1详解】
解：设原来平均每公顷产量是x吨，则现在平均每公顷产量是吨，
根据题意可得：，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
∴现在平均每公顷产量是吨，
答：原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，吨；
【小问2详解】
解：设原来小麦平均每公顷产量是y吨，则现在玉米平均每公顷产量是吨，
根据题意得：，
解得；，
经检验：是原方程的解，
答：原来小麦的平均每公顷产量吨．
23. 如图1，在等腰中，，D在边上（端点除外），，且，连接，探究与的数量关系．
（1）先将问题特殊化，如图2，当时，直接写出的大小；
（2）再探究一般情形，如图1，求与的数量关系；
（3）将图1特殊化，如图3，当时，连接，M是的中点，N是的中点，判定以D，M，N为顶点的三角形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）
（2）
（3）为等腰直角三角形，见解析
【解析】
【分析】（1 ）在上截取，使，连接，根据角的关系可证，可得，进而可证是等边三角形，即可得解；
（2）在上截取，使，连接，证明，可得，再根据等腰三角形的性质即可得解；
（3）连接，延长交于G，连接，设与交于H，证明，再证明，即可证明为等腰直角三角形，再根据等腰三角形的性质即可得证．
【小问1详解】
解：在上截取，使，连接，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
【小问2详解】
解：在上截取，使，连接，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：为等腰直角三角形，证明如下：
连接，延长交于G，连接，设与交于H，
由（2）得：当时，，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
N是的中点，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
为等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形的综合应用，主要考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是综合运用以上知识，正确作出辅助线．
24. 已知是等边三角形．
（1）如图1，在射线上取一点D，以为边作等边三角形，连接，，交于点F．
①求证：；
②连接，求证：．
（2）如图2，点T在的外部，，连接，，平分交于点M，交于点N．
①求的大小；
②探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①见解析②见解析
（2）①②，见解析
【解析】
【分析】（1）①根据等边三角形的性质可证，即可得出结论；
②过C作于H，作于G，证明，再根据角度关系即可得证；
（2）①设，根据等腰三角形的性质和角度关系即可得解；
②连接，在上取点S，使得，连接，证明，可得，再根据的直角三角形的性质，可得，即可得证．
【小问1详解】
①证明：与为等边三角形，
，，
，
，
，
；
②证明：过C作于H，作于G，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
①解：设，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，，
；
②解：，理由如下：
如图，连接，在上取点S，使得，连接，
平分，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，角平分线的判定，直角三角形的性质，解题的关键是综合运用以上知识，正确作出辅助线．