内蒙古部分学校2024_2025学年高二数学下学期7月期末联考试题含解析

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2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为集合表示奇数组成的集合，
又，所以.
故选：B
2. 双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为双曲线，所以，
所以离心率为．
故选：B
3. 下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】D
【详解】对于A，与的解析式不同，不是同一函数；
对于B，的定义域为，
的定义域为或，二者定义域不相同，不是同一函数；
对于C，的定义域为，而的定义域为，不是同一函数；
对于D，，二者定义域均为，解析式也相同，是同一函数．
故选：D
4. 若复数是方程的根，其中，则的值为（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】D
【详解】将代入方程，得，得，
所以，即，则．
故选：D
5. 圆上的点到直线的距离的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】圆的圆心坐标为，半径为．
设圆心到直线的距离为，则，
所以圆上的点到直线的距离的最小值是．
故选：A
6. 如图，这是一个正方体的平面展开图，将其还原成正方体后，下列直线中与直线平行的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【详解】将正方体平面展开图还原成正方体，如图：
直线与直线平行，直线与直线都成异面直线.
故选：A
7. 在菱形中，设向量，则向量（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】设，则．
在菱形中，，则，
所以，所以，所以．
故选：A
8. 方程的正整数解共有（ ）
A. 组B. 组C. 组D. 组
【答案】C
【详解】原题等价于下面这个问题：
将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，有多少种不同的分法?
由隔板法可得，方程的正整数解共有组．
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（ ）
A. B. 各项系数之和为
C. 第3项的二项式系数最大D. 常数项为
【答案】ABD
【详解】根据各项的二项式系数之和为64，可得，解得，A正确．
令，则各项系数之和为，B正确．
因为，所以第4项的二项式系数最大，C错误．
的展开式的通式为，
令得，故所求的常数项为，D正确．
故选：ABD
10. 已知函数，则（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 在上单调递增
C. 在上的值域为
D. 将函数图象上所有点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标不变，可以得到的图象
【答案】ABD
【详解】
，
对于A，，所以图象关于直线对称，故A正确；
对于B，当时，，由在上单调递增，
所以在上单调递增，故B正确；
对于C，当时，，所以，
所以，所以在上的值域为，故C错误；
对于D，将函数图象上所有点的纵坐标扩大到原来的4倍可得函数
的图象，即的图象，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点在上，，且为上一个动点，则（ ）
A.
B. 的长轴长为4
C. 的最小值为
D. 的最大值是
【答案】ABD
【详解】设，因为，所以，
因为，所以，解得，A正确．
因为点在上，所以解得则长轴长为，B正确．
的最小值为，C错误．
因为，
当且仅当共线时等号成立，所以最大值为，D正确．
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 样本数据8，6，2，7，8，9，10的极差为______．
【答案】8
【详解】样本数据8，6，2，7，8，9，10的最大值与最小值分别为10，2，则所求极差为．
故答案为：8
13. 在锐角中，角的对边分别是．若，则__________．
【答案】8
【详解】因为为锐角三角形，，所以，
所以由余弦定理得，
化简整理得解得或（舍去）．
故答案为：8
14. 已知一个圆锥的母线长为6，则当该圆锥的体积取最大值时，该圆锥的侧面积为______．
【答案】
【详解】设该圆锥的底面半径为，高为，则，则，
所以该圆锥的体积，则，
当时，，当时，，所以，
此时，该圆锥的侧面积为．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在数列中，，且．
（1）求的通项公式；
（2）求的最小值；
（3）求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
因为，
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，
所以，得．
【小问2详解】
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
【小问3详解】
因为，
所以．
16. 小张从一个口袋内取小球，每次取一个小球，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，已知每次取到红球还是白球相互独立，他连续取球次，直至取到3个红球则停止取球，设停止取球时已取球的次数的概率为．
（1）求；
（2）求；
（3）若小张在取球5次之内（含5次）可以停止取球，设他停止取球时已取球的次数为，求的分布列与期望．
【答案】（1）
（2）
（3）分布列见解析，
【小问1详解】
表示连续取球3次且3次都取到红球的概率，
根据独立事件乘法概率公式得．
【小问2详解】
表示连续取球4次，且前3次中有2次取到红球，第4次取到红球的概率，
根据独立事件乘法概率公式得．
【小问3详解】
表示连续取球5次，且前4次中有2次取到红球，第5次取到红球的概率，
根据独立事件乘法概率公式得．
由题意随机变量可取，
根据条件概率可得，
，
则的分布列为
所以．
17. 如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点．

（1）证明：四点共面．
（2）证明：平面．
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）．
【小问1详解】
连接．因为分别为的中点，
所以易得，
所以，所以四点共面．
【小问2详解】
因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，平面，
则，又因为，平面，
所以平面．因为平面，所以．
连接，因为分别为的中点，所以，
因为，所以易得四边形为正方形，则，所以，
因为，平面，所以平面．
【小问3详解】
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，．
由（2）易得为平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
18. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程．
（2）证明：在上存在极小值．
（3）判断在上是否存在零点，并说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）在上无零点，理由见解析
【小问1详解】
因为，所以．
又因为，所以所求切线方程为，即．
【小问2详解】
，
因为的图象是一条连续不断的曲线，
所以在上必存在一个异号零点，
即存在正数，使得，且当时，，
当时，，
所以在处取得极小值，即在上存在极小值．
【小问3详解】
在上无零点．
理由如下：
当时，，可得．
令函数，则，
当时，单调递增．
又，所以，
从而，所以在上无零点．
19. 已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动．
（1）求C的方程．
（2）若直线AB的方程为，求内切圆的半径r．
（3）设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）是，
【小问1详解】
因为抛物线C：经过点，所以，
解得或，
又C的焦点F在x轴的正半轴上，所以，则，则C的方程为．
【小问2详解】
设，．
由得，，则
，
．
因为点到直线AB的距离，
所以的面积，
所以．
【小问3详解】
是，定点坐标为，
因为EF平分，所以，
设，，
则，
因为，，所以，
整理得，
则，
即．①
将代入，得，
则
代入①可得，
因为，所以，即，
所以直线方程为，
所以直线AB过定点．
3
4
5