2025_2026学年天津市第二十一中学度九年级上册数学开学考

这是一份2025_2026学年天津市第二十一中学度九年级上册数学开学考，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级数学 45 分钟9 月开学练习
一、选择题
1 ．一元二次方程x2 + 2x - 3 = 0 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A ．1 ，2 ，3 B ．0 ，2 ，-3 C ．0 ，-2 ，-3 D ．1 ，2 ，-3
2 ．将一元二次方程x (x + 4) = 5x - 3 化为一般形式，正确的是( )
A ．x2 - x + 3 = 0 B ．x2 + 4x - 3 = 0
C ．x2 + x - 3 = 0 D ．x2 - 4x + 3 = 0
3 ．关于 x 的一元二次方程(a - 2)x2 + x + a2 - 4 = 0 的一个根是 0，则 a 的值是( )
A ．0 B ．2 C ．-2 D ．2 或-2
4 ．下列方程是一元二次方程的是( )
A ．4x -y + 9 = 0 B ．b - 7 = 0
C ．3x2 - y + 8 = 0 D ．4y2 - 3y +1 = 0
5 ．已知 a 是方程 x² - 2x -1 = 0 的解，则代数式2a2 - 4a + 2022的值为( )
A ．2023 B ．2024 C ．2025 D ．2026
6 ．若x =0 是关于x 的方程(k -1)x2 + 3x + k2 -1 = 0 （k 为系数）的根，则k 的值为( )
A ． k = 1 B ． k = -1 C ．k ≠ 1 D ． k = ±1
7 ．若 a,b,c 满足 则关于 x 的方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的解是( )
A ．1 ，0 B ．-1 ，0 C ．1 ，-1 D ．无实数根
8 ．某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81 米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库 总面积为440 平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行 于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB= x 米，则可列方程( )
A ．x (81- 4x) = 440 B ．x (78 - 2x) = 440
C ．x (84 - 2x) = 440 D ．x (84 - 4x) = 440
9 ．若x1, x2 是方程x2 - 6x - 7 = 0 的两个根，则( )
A ．x1 + x2 = 6 B ．x1 + x2 = -6 C ．x1 ·x2 = D ．x1 ·x2 = 7
10 ．下列一元二次方程无实数根的是( )
A ．x2 + x - 2 = 0 B ．x2 - 2x = 0
C ．x2 + x + 5 = 0 D ．x2 - 2x +1 = 0
11 ．已知x1, x2 是一元二次方程x2 + 3x + 1 = 0 的两根，且x1 + x2 + x1x2 的值是( )
A ．4 B ．-2 C ．2 D ．1
12 ．关于 x 的一元二次方程x2 + 4x - m = 0 有两个实数根，则实数 m 的取值范围为( )
A ．m < 4 B ．m > -4 C ．m ≤ 4 D ．m ≥ -4
13 ．若关于 x 的一元二次方程x2 - 8x + m = 0两根为x1、x2 ，且x1 = 3x2 ，则 m 的值为( )
A ．4 B ．8 C ．12 D ．16
14 ．一元二次方程(x +1)(x -1) = 2x + 3 的根的情况是( )
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．只有一个实数根 D ．没有实数根
15 ．已知 x1 ，x2 是关于 x 的方程 x2+bx﹣3=0 的两根，且满足 x1+x2﹣3x1x2=5，那么 b 的值 为( )
A ．4 B ．﹣4 C ．3 D ．﹣3
16 ．若关于 x 的一元二次方程kx2 - 2x -1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ( )
A ．k > -1 且k ≠ 0 B ．k ≥ -1 且k ≠ 0 C ．k >1 D ．k < 1 且k ≠ 0
17 ．已知 2 是关于 x 的方程 x2-2mx+3m=0 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三 角形 ABC 的两条边长，则三角形 ABC 的周长为( )
A ．10 B ．14 C ．10 或 14 D ．8 或 10
18 ．关于 x 的一元二次方程x2 + mx - 8 = 0 的根的情况是( )
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．只有一个实数根 D ．没有实数根
19 ．已知关于x 的方程kx2 + (1- k)x -1 = 0 ，下列说法正确的是( )
A ．当k = 0 时，方程无解
B ．当k = 1 时，方程有一个实数解
C ．当k= -1 时，方程有两个相等的实数解
D ．当k ≠ 0 时，方程总有两个不相等的实数解
20 ．若(x2 + y2 - 5)2 = 64 ，则 x2 + y2 等于( )
A ．13 B ．13 或-3 C ．-3 D ．以上都不对
21．若一元二次方程 x2＋bx＋4 ＝0 的两个实数根中较小的一个根是 m（m≠0），则 b＋ 、 =( )
A ．m B ． -m C ．2m D ． -2m
22 ．若方程 x2-mx+4=0 的等号左边是一个完全平方式，则 m 等于( )
A ．±2 B ．±4 C ．2 D ．4
23 ．定义运算：m☆n = mn2 - mn -1 ．例如: 4☆2 = 4 × 22 - 4× 2 -1 = 7 ．则方程1☆x = 0 的根 的情况为( )
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．无实数根 D ．只有一个实数根
24 ．对于实数p ，q，我们用符号min{p, q}表示p ，q 两数中较小的数，如min{1，2} ，
min {- , - }= - ；若min{(x -1)2 , x2 }= 1，则 x 为( )
A ．0 或 2 B ．1 或 -1 C ．1 或 2 D ． -1 或 2
25 ．若关于x 的方程x2 - 2x + m -1 = 0有两个实根x1，x2 ，则x1x2 (x + x)- 2x12 + 4x1 的最大
值是( )
A ．3 B ．4 C ．4.5 D ．5
二、填空题（请将答案写在每道题后面的横战上）
26 ．方程x2 = 2x 的解是 ．
27 ．一元二次方程 x2 - 9 = 0的解是 ．
28．若关于 x 的 一元二次方程x2 - 3x + a - 2 = 0 有实数根，则a（a 为整数）的最大值为 ．
29 ．一元二次方程x2-x-1＝0 的根是 ．
30 ．已知6a2 －100a＋7 ＝0 以及7b2 －100b＋6 ＝0，且 ab≠1，则 的值为 ．
三、计算题
31 ．用适当的方法解下列方程：
(1)x2-5x-6=0
(2)x2-4x+1=0
32 ．解方程：
(1) 2x2 + 2x = 1；
(2) 2(x - 3)2 = x2 - 9 ．
33 ．解下列方程：
;
(3) 3x2 - 6x -1 = 0 ．
四、解答题
34 ．关于 x 的一元二次方程x2 - (k + 3)x + 2k + 2 = 0 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于 1，求 k 的取值范围．
35．关于x 的一元二次方程x2 + (2k +1)x + k2 +1 = 0 有两个不等实根、x1、x2 ．若方程两实根 x1、x2 满足x1 + x2 = -x1x2 ，求 k 的值．
1 ．D
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题关键在于将方程转化为一元一次方程的一 般形式即可解答. 将方程转化为一元一次方程的一般形式，然后找出方程的二次项系数、一 次项系数及常数项即可.
【详解】解：方程x2 + 2x - 3 = 0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 1 ，2 ，-3 ， 故选 D
2 ．A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，直接去括号进而移项，得出答案． 【详解】解：x (x + 4) = 5x - 3 ，
x2 - x + 3 = 0 ， 故选：A．
3 ．C
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值．根据一 元二次方程的根的定义代入计算即可．
【详解】解：因为一元二次方程(a - 2)x2 + x + a2 - 4 = 0 有一个根是 0， 所以0 + 0 + a2 - 4 = 0 ，a - 2 ≠ 0
解得a = -2 ．
故选：C．
4 ．D
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次为 2 的整式方程叫 做一元二次方程，由此进行逐一判断即可．
【详解】解：A 、4x -y + 9 = 0 含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B 、b - 7 = 0 ，未知数的最高次不是 2，不是一元二次方程，不符合题意； C 、3x2 - y + 8 = 0 含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D 、4y2 - 3y +1 = 0 符合一元二次方程的定义，符合题意；
故选 D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于能够熟知定义．
5 ．B
【分析】本题考查了整式加减的化简求值， 将代数式整体代入求解是解题的关键．由题意得 a² - 2a -1 = 0 ，移项得a²- 2a = 1，将2a2 - 4a + 2022化简为2(a2 - 2a)+ 2022 ，再将a²- 2a = 1 代入计算，即得答案．
【详解】Q a 是方程 x² - 2x -1 = 0 的解，
:a² - 2a -1 = 0 ，
:a² - 2a = 1 ，
:2a2 - 4a + 2022 = 2(a2 - 2a)+ 2022
= 2 × 1+ 2022
= 2024 ．
故选 B．
6 ．D
【分析】把 x ＝0 代入方程，得出关于 k 的一元二次方程，解方程求出 k 即可． 【详解】解：把 x ＝0 代入方程(k -1)x2 + 3x + k2 -1 = 0 中，得k2 -1 = 0 ，
解得 k = ±1， 故选 D．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程及方程解的定义，能使方程成立的未知数的值，就是 方程的解.
7 ．C
【详解】【分析】由方程组得到 a+c=0, 即 a=-c ，b=0，再代入方程可求解. 【详解】因为 a+b+c=0——①；a-b+c=0——@且 a≠0,
联立两式①+@得 a+c=0, 即 a=-c,b=0, 代入 ax²+bx+c=0
得：ax²-a=0
解得 x=1 或 x=-1
故选 C
【点睛】本题考核知识点：一元二次方程.解题关键点：由方程组推出 a,b,c 的特殊关系.
8 ．D
【分析】本题一元二次方程的应用，设AB 为x 米，则平行于墙的一边长为(84 - 4x)米，依
题意即可列出方程，正确用含x 的式子表示出平行于墙的一边长是解题的关键． 【详解】解：设 AB 为x 米，则平行于墙的一边长为(84 - 4x)米，
根据题意得，x (84 - 4x ) = 440 ， 故选：D ．
9 ．A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程x2 - 6x - 7 = 0 中的a = 1, b = -6, c = -7 ， Qx1, x2 是方程x2 - 6x - 7 = 0 的两个根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的 关系是解题关键．
10 ．C
【分析】利用一元二次方程根的判别式判断即可；
【详解】解：A ． Δ = 1+ 8 = 9 > 0 ，方程有两个不等的实数根，不符合题意；
B ． Δ = 4 > 0 ，方程有两个不等的实数根，不符合题意；
C ． Δ = 1- 20 = -19 < 0 ，方程没有实数根，符合题意；
D ． Δ = 4 - 4 = 0 ，方程有两个相等的实数根，不符合题意； 故选： C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：△>0 时方程有 两个不等的实数根；△=0 时方程有两个相等的实数根；△ 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ = 0 时，方程有两 个相等的实数根；当 Δ < 0 时，方程没有实数根．
13 ．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1 + x2 = 8 ，然后即可确定两个根，再由根 与系数的关系求解即可．
【详解】解：:关于 x 的一元二次方程x2 - 8x + m = 0两根为x1、x2 ，
: x1 + x2 = 8 ，
: x1 = 3x2 ，
: x2 = 2, x1 = 6 ，
: m = x1x2 = 12 ， 故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．
14 ．A
【分析】先化成一般式后，在求根的判别式，即可确定根的状况． 【详解】解：原方程可化为：x2 - 2x - 4 = 0 ，
: a = 1 ，b = -2 ，c = -4 ，
: Δ = (-2)2 - 4× 1 × (-4) = 20 > 0 ，
:方程由两个不相等的实数根． 故选 A．
【点睛】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．
15 ．A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和整体代入思想即可得解. 【详解】∵x1 ，x2 是关于 x 的方程 x2+bx -3=0 的两根，
:x1+x2= -b ，x1x2= -3 ， :x1+x2 -3x1x2= -b+9=5， 解得 b=4.
故选 A.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），
韦达定理：若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根 x1 ，x2，那么
16 ．A
【分析】先根据根的判别式求出 k 的取值范围，再根据一元二次方程的定义求出k ≠ 0 ，然 后作答即可．
【详解】∵关于 x 的一元二次方程kx2 - 2x -1 = 0 有两个不相等的实数根， : Δ = (-2)2 - 4k × (-1) > 0
解得k > -1 ，
∵ kx2 - 2x -1 = 0 是一元二次方程， : k ≠ 0 ，
:k 的取值范围是k > -1 且k ≠ 0 ， 故选 A．
【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
17 ．B
【详解】解：∵2 是关于 x 的方程 x2 -2mx+3m=0 的一个根， :22 -4m+3m=0 ，m=4，
:x2 -8x+12=0，
解得 x1=2，x2=6．
①当 6 是腰时，2 是底边，此时周长=6+6+2=14；
②当6 是底边时，2 是腰，2+2＜6，不能构成三角形． 所以它的周长是 14．
故选 B．
18 ．A
【分析】对于 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) ，当 Δ > 0 , 方程有两个不相等的实根，当 Δ = 0 , 方程有 两个相等的实根， Δ < 0 , 方程没有实根，根据原理作答即可．
【详解】解：: x2 + mx - 8 = 0 ，
: Δ = m2 - 4× (-8) = m2 + 32 > 0 ，
所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关 键．
19 ．C
【分析】根据一元二次方程根的判别式 Δ = (1- k)2 - 4 . k . (-1) = (k +1)2 求解即可．
【详解】解：当 k = 0 时，方程为一元一次方程x -1 = 0 有唯一解x = 1 ，． 当k ≠ 0 时，方程为一元二次方程，解的情况由根的判别式确定：
: Δ = (1- k)2 - 4 . k . (-1) = (k +1)2 ，
:当k= -1 时，方程有两个相等的实数解，
当k ≠ 0 且k ≠ -1 时，方程有两个不相等的实数解． 综上所述，说法 C 正确．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判 别式．当 Δ = b2 - 4ac > 0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 Δ = b2 - 4ac = 0时， 一元二次方程有两个相等的实数根；当 Δ = b2 - 4ac < 0时，一元二次方程没有实数根．
20 ．A
【分析】令 m=x2+y2，则原方程可化为（m-5）2=64，利用直接开平方法求出 m 的值，再根
据非负数的性质求解即可．
【详解】解：令 m=x2+y2，则原方程可化为（m-5）2=64， 两边开平方，得 m-5=±8，
所以 m=13 或-3， ∵x2+y2≥0，
:x2+y2=13．
故选：A．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，非负数的性质．难度适中，注意利用非负数的 性质舍去不合题意的答案．
21 ．D
【分析】根据公式法解方程，结合题意得出 求出即可．
【详解】∵ x2 + bx + 4 = 0的两个实数根中较小的一个根是m ，
解得：
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，熟记求根公式是解此题的关键．
22 ．B
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定 m 的值．
【详解】解：∵x2-mx+4=x2-mx+22，
:-mx=±2×x×2， 解得 m=±4．
故选 B.
【点睛】本题考查了完全平方式， 根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟 记完全平方公式对解题非常重要．
23 ．A
【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【详解】解：根据定义得：1☆x = x2 - x -1 = 0,
Qa = 1, b = -1, c = -1,
:Δ = b2 - 4ac = (-1)2 - 4× 1 × (-1) = 5 ＞0,
: 原方程有两个不相等的实数根， 故选A.
【点睛】本题考查了新定义， 考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的 判别式，掌握以上知识是解题的关键．
24 ．D
【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到 x 的值． 【详解】解：当（x-1）2 ≤ x2 时，方程为（x-1）2=1，
开方得：x-1=1 或 x-1=-1，
解得：x=0（不合题意，舍去）或 x=2； 当（x-1）2＞x2 时，方程为 x2=1，
开方得：x=-1 或 x=1（不合题意，舍去）， 综上，x=-1 或 2，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25 ．B
【分析】根据根与系数的关系得出 x1 + x2 = 2 ，x1x2 = m -1，根据方程解的定义得出
x12 - 2x1 + m -1 = 0 ，将 x1 + x2 = 2 ，x1x2 = m -1 ，x12 - 2x1 + m -1 = 0 代入
x1x2 (x + x)- 4x12 + 4x1 整理得出 根据方程有两个
实数根得出m ≤ 2 ，根据 m 的范围求出最大值即可．
【详解】解：∵关于x 的方程x2 - 2x + m -1 = 0有两个实根x1，x2 ， : x1 + x2 = 2 ，x1x2 = m -1 ，x12 - 2x1 + m -1 = 0 ，
即x12 - 2x1 = -m +1，
: x1x2 (x + x )- 4x12 + 4x1
= x1x2 (x1 + x2 )2 - 2x1x2 - 2(x12 - 2x1 )
= (m -1) 22 - 2(m -1) - 2(-m +1)
= -2m2 +10m - 8
∵关于x 的方程x2 - 2x + m -1 = 0有两个实根， : Δ = (-2)2 - 4(m -1) ≥ 0 ，
即m ≤ 2 ，
∵当m ≤ 2 时 的值随 m 的增大而增大，
:当m = 2 时有最大值，且最大值为：-2× (çè 2 - 2 + = 4 ，
即x1x2 (x + x)- 4x12 + 4x1 的最大值为 4，故 B 正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，方程的解，求二次函 数的最值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系和根的判别式．
26 ．x1 = 0 ，x2 = 2
【分析】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法是解题关键．根据因式分解 法解方程即可．
【详解】解：x2 = 2x : x2 - 2x = 0
: x(x - 2) = 0
: x = 0 或 x - 2 = 0
:该方程的解为：x1 = 0 ，x2 = 2 ．
故答案为：x1 = 0 ，x2 = 2 ．
27．x1 ＝3，x2 ＝ -3．
【分析】先移项，在两边开方即可得出答案． 【详解】∵ x2 - 9 = 0
: x2 =9，
:x=±3，
即 x1 ＝3，x2 ＝ -3，
故答案为 x1 ＝3，x2 ＝ -3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键.
28 ．4
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有实数根，则 Δ = b2 - 4ac ≥ 0是解题的关键．由题意知， Δ = (-3)2 - 4(a - 2) ≥ 0 ，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：由题意知， Δ = (-3)2 - 4× 1 × (a - 2) ≥ 0 ，
解得， ，
:整数 a 的最大值为 4， 故答案为：4．
29 ．
【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程． 【详解】x2-x-1＝0 ，
a=1 ，b=－1 ，c=－1，
Δ =（ -1）2-4×（ -1）＝5 > 0 ，
所以 故答案为
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
30 ．
【分析】第 2 个方程两边同除以b2，得到与第一个方程相似的方程，所以 a, 可看成一元二
次方程6x2 -100x + 7 = 0 的两个根，利用根与系数的关系可求得的值．
【详解】解：: 7b2 －100b＋6 ＝0，
: 6a2 －100a＋7 ＝0，
是方程6x2 －100x＋7 ＝0 的两个根，
:由根与系数的关系可知 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，关键是把两个数看成一个一元二次方 程的两个根．
31 ．(1) x1 = 6, x2 = -1
【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得；
（2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再 开方即可得．
【详解】（1）解：x2 -5x -6 ＝0，
（x -6）（x+1）＝0， :x -6 ＝0 或 x+1 ＝0， :x1 ＝6，x2 ＝ -1；
（2）解：x2 -4x+1 ＝0， x2 -4x ＝ -1，
x2 -4x+4 ＝ -1+4，即（x -2）2 ＝3，
:x1 ＝2+ ，x2 ＝2 - ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法： 直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法， 结合方程的特点选择合适、简便的方法是解 题的关键．
(2) x1 = 3 ，x2 = 9
【分析】本题考查利用公式法、因式分解法解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法
是快速解题的关键．
（1）利用公式法求解；
（2）利用因式分解法求解．
【详解】（1）解：2x2 + 2x = 1， 移项，得：2x2 + 2x -1 = 0 ，
“ a = 2 ，b = 2 ，c = -1，
:Δ = b2 - 4ac = 22 - 4× 2 × (-1) = 12 ，
（2）解：2 (x - 3)2 = x2 - 9 ，
变形得：2 (x - 3)2 = (x + 3)(x - 3)，
移项得：2 (x - 3)2 - (x + 3)(x - 3) = 0 ，
因式分解得：(x - 3)(2x - 6 - x - 3) = 0 ，
即(x - 3)(x - 9) = 0 ， : x - 3 = 0 或 x - 9 = 0 ， : x1 = 3 ，x2 = 9 ．
33 ． ，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法是解题的关 键．
（1）用公式法解一元二次方程即可；
（2）用公式法解一元二次方程即可；
（3）用公式法解一元二次方程即可． 解
:Δ = b 2 —4ac = (—1)2 —4 × 1 × — = 4，
（2）解：x2 + 2 = 2 x ，
变为一般形式为：x2 - 2 x + 2 = 0 ，
a = 1 ，b = -2 ，c = 2 ，
:Δ = b 2 —4ac = (—2)2 —4 × 1 × 2 = 4，
: x1 = +1 ，x2 = -1；
（3）解：3x2 - 6x -1 = 0 ，
a = 3 ，b = -6 ，c = -1，
: Δ = b2 - 4ac = (-6)2 - 4× 3 × (-1) = 48 ，
34 ．(1)见解析
(2) k < 0
【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题 的关键是掌握根的判别式；
（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得 Δ = (k -1)2 ≥ 0 ，由此可证出方程总有两个实数 根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1 = 2 、x2 = k +1，根据方程有一根小于 1， 即可得出关于k 的一元一次不等式，即可得出k 的取值范围．
【详解】（1）证明：Q在方程x2 - (k + 3)x + 2k + 2 = 0 中，
Δ = [-(k + 3)]2 - 4× 1 × (2k + 2) = k2 - 2k +1 = (k -1)2 ≥ 0 ，
:方程总有两个实数根．
（2）解：Qx2 - (k + 3)x + 2k + 2 = (x - 2)(x - k -1) = 0 ， :x1 = 2 ，x2 = k +1．
Q 方程有一根小于 1，
:k + 1 < 1 ，解得：k < 0 ， :k 的取值范围为k < 0 ．
35 ．k = 2
【分析】本题主要考查的是一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系的应用， 熟练掌握 其基础知识是解题的关键．
根据根的判别式得出 k 的取值范围，再根据根与系数的关系得出 k 的值． 【详解】解：∵方程x2 + (2k +1)x + k2 +1 = 0 有两个不相等的实数根，
:Δ = (2k + 1)2 - 4(k2 +1) = 4k - 3 > 0 ，
解得： ．
由根与系数的关系，得x1 + x2 = -(2k + 1), x1 . x2 = k2 +1 ．
Qx1 + x2 = -x1 . x2 ，
:-(2k + 1) = - (k2 +1) ， 解得：k = 0 或k = 2 ，
又 ， : k = 2 ．