2025_2026学年河北省石家庄第四十中学九年级上册开学考数学试卷

这是一份2025_2026学年河北省石家庄第四十中学九年级上册开学考数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初三数学练习
一、选择题（每题 4 分，共 48 分）
1 ．下列函数中，是反比例函数的是( )
A ． B ． C ．y = x2 D ．
2 ．已知 则 的值为( )．
2 3 7 2
A ． B ． C ． D ．
5 5 5 3
3 ．一元二次方程x2 - 6x -1 = 0 配方后可变形为( )
A ．(x - 3)2 = 8 B ．(x - 3)2 = 10 C ．(x + 3)2 = 8 D ．(x + 3)2 = 1
4 ．下列命题中，假命题是( )
A ．两组对边平行的四边形是平行四边形 B ．三个角是直角的四边形是矩形
C ．四条边相等的四边形是菱形 D ．有一个角是直角的平行四边形是正方形
5 ．一次二次函数y = kx + b 的图象在直角坐标系中的位置如图所示，这个函数的函数表达式 为( )
A ．y = 2x + 4 B ．y = 2x - 4 C ．y = -2x + 4 D ．y = -2x - 4
6 ．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是 ÐBAD 的角平分线，上BEA = 75° , 则上D = ( )
A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°
7 ．若x =2 是关于x 的一元二次方程3x2 - mx - 2 = 0的一个解．则m 的值是( )
A ．6 B ．5 C ．2 D ．-6
8 ．已知反比例函数 0) 的图象和点A 如图所示，点A 坐标为(-2, -1)，则 k 的值可
能为( )
A ．-3 B ． C ． D ． π
9 ．如图， △ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则tan C 的值为( )
A ． B ． C ． D ．2
10 ．如图，有一块三角形余料 ABC，BC=120mm，高线 AD=90mm，要把它加工成一个矩形 零件，使矩形的一边在 BC 上，点 P、M 分别在 AB，AC 上，若满足PM：PQ=2：1，则 PQ 的长为( )
A ．36mm B ．40mm C ．50mm D ．120mm
11 ．如图，已知点E 在正方形ABCD 的边AB 上，以BE 为边向正方形ABCD 外部作正方形 BEFG ，连接DF ，M 、N 分别是DC 、DF 的中点，连接MN ．若AB = 7 ，BE = 5 ，则MN = ( )
A ． B ．
C ．6 D ．
12 ．在平面直角坐标系中，已知点A(-2,3), B(4,9) ，直线y = kx - k(k ≠0) 与线段AB 有交点， 则 k 的取值范围为( )
A ．-1 ≤ k ≤ 3 B ．-1 ≤ k ≤ 3 且k ≠ 1 C ．k ≤ -1 或k ≥ 3 D ．k ≤ -1
二、填空题（13-16 题每题 4 分，17 题，每空 3 分，共 22 分）
13 ．函数 的自变量x 的取值范围是 ．
14 ．如图，正六边形的两个顶点恰好落在直尺的相对的边上（其中直尺的对边相互平行）， 若上a = 42° ,则Ðβ 等于 ．
15 ．若 α 、β 是方程x2 + 3x - 1 = 0的两个实数根，则a2 + 2a - β = ．
16 ．如图，在Rt△ABC 中， 上C = 90° , 上B = 30° , AC = 、 ，以A 为圆心，适当长为半径 画弧分别交 AB ， AC 于点D ，E ，再分别以D ，E 为圆心，大于 DE 的长为半径画弧， 两弧在 ÐBAC 内部交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点F ，则点F 到AB 的距离为 ．
17．如图所示，在 △AOB 中，上AOB = 90° , OA = 12cm ，AB = 6 cm ，点P 从O 开始沿OA 边向点A 以2cm/s 的速度移动；点Q 从B 开始沿BO 边向点O 以1cm / s 的速度移动，如果
P，Q 同时出发，用x (s )表示时间（ 0 ≤ x ≤ 6 ）．
（1）当 x = s 时， △POQ 的面积是8cm2 ；
（2）当 x = s 时，以P 、O ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似．
三、解答题
18 ．解方程：
(1) x2 - 2x- 8 = 0
(2) 2x2 - 3x +1 = 0
19 ．如图，函数y1 = 2x (x ≥ 0) 与 0) 的图象交于点 A(1，b) ，直线x = 2 与函数y1 ， y2 的图象分别交于B，C 两点．
(1)求a 和b 的值；
(2)求BC 的长度；
(3)根据图象写出y1 > y2 > 0 时，x 的取值范围___________（不需说明理由）．
20 ．【发现】如图 1，在 △ABC 中，D 为BC 上一点，连结AD ，在 AD 上取一点 E，连结 CE ，若 7BAD = 上ACE ，CD = CE ，求证： △ABD∽△CAE ．
【应用】如图 2，在平行四边形 ABCD 中，对角线AC，BD 交于点 O ，E 为OC 上一点，连 结BE ，上CBE = 上DCO ，BE = DO ，若BD = 12, OE = 5，求 AC 的长．
1 ．B
【分析】根据反比例函数 解答即可．
本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 是反比例函数，其余都不是， 故选：B．
2 ．C
【分析】根据比例的性质计算即可； ,
故答案选 C．
【点睛】本题主要考查了比例的性质应用，准确计算是解题的关键．
3 ．B
【分析】先把-1移到方程的右边， 然后方程两边都加 9，再把左边根据完全平方公式写成完 全平方的形式．
【详解】解：x2 - 6x -1 = 0 ，
x2 - 6x = 1，
x2 - 6x + 9 = 1+ 9 ， (x - 3)2 = 10 ，
故选 B．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的 一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为 1 ；④等式两边同时加上 一次项系数一半的平方．
4 ．D
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项判断即可.
【详解】解：A、两组对边平行的四边形是平行四边形，本选项正确；
B、三个角是直角的四边形是矩形，本选项正确；
C、四条边相等的四边形是菱形，本选项正确；
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，本选项为假命题；
故选 D.
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法， 掌握判定定理是解题的 关键.
5 ．C
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式．利用待定系数法即可求解． 【详解】解：由图象可知直线经过 (2, 0) ，(1,2) 两点，
∴根据题意得 ， 解得： ，
则这个函数的表达式是：y = -2x + 4 ，
故选：C．
6 ．B
【分析】由平行四边形的性质可得 AB ⅡCD ，上B = 上D ，由两直线平行同旁内角互补可得
上BAD + 上D = 180° ,进而可得 上BAD = 180° - 上D ，由 AE 是 ÐBAD 的角平分线可得
上上上D ，由三角形的内角和定理可得上BAE + 上B + 上BEA = 180° , 进 而可得 上D + 上D + 75° = 180° , 解方程即可求出 ÐD 的度数．
【详解】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，
: AB ⅡCD ，上B = 上D ，
:上BAD + 上D = 180°
:上BAD = 180° - 上D ，
Q AE 是 ÐBAD 的角平分线，
Q 上BAE + 上B + 上BEA = 180° ,
解得：上D = 30° ,
故选：B ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质， 三角形的内角和定理，两直线平行同旁内角互
补，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握平行四边形的性质及三角形的内角和定理是解 题的关键．
7 ．B
【分析】方程的根即方程的解， 就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就 可以得到关于m 的方程，从而求得m 的值．
【详解】把 x =2 代入方程得：12 - 2m - 2 = 0 ，
解得m = 5 ， 故选：B．
【点睛】本题主要考查了方程的解的定义， 就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即 用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
8 ．D
【分析】本题考查了反比例函数图象，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
过点A 作AB 丄 x 轴，交反比例函数的图象于点B ，得到 k= -2b ，继而得到 k = -2b > 2 ，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点 A 作AB 丄 x 轴，交反比例函数的图象于点B ，
QA(-2, -1)，
: 点B 的横坐标为-2 ，设点 B 的坐标为(-2, b) ， :k = -2b ，
由图可知b < -1，
:k = -2b > 2 ，
: k 的值可能为 π , 故选：D．
9 ．D
【分析】本题考查了求角的正切值，解题关键是掌握正切的定义式． 先找出 Ð C 所在的直角三角形，根据正切的定义式求解．
【详解】解：如图，
故选：D．
10 ．A
【分析】设 AD 与PM 交于点K ，先根据矩形的性质可得PM Ⅱ BC, 上PQN= 上MPQ = 90° , 再根据相似三角形的判定可证 △APM ~△ABC ，然后根据相似三角形的性质即可得．
【详解】解：如图，设 AD 与PM 交于点K ，
Q 四边形PMNQ 是矩形，
:PM Ⅱ BC, 上PQN = 上MPQ = 90° , :△APM ~△ABC ，
又Q AD 丄 BC ，
: AD 丄 PM ，四边形PQDK 是矩形，
: ，DK = PQ ，
设DK = PQ = x ，则 PM = 2x ，AK = AD - DK = 90 - x ，
90 - x 2x
解得x = 36 ，
即PQ = 36mm ， 故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质， 熟练掌握相似三角形的 判定与性质是解题关键．
11 ．B
【分析】连接 CF，则 MN 为△DCF 的中位线，根据勾股定理求出 CF 长，即可求出 MN 的 长．
【详解】解：连接 CF，
∵正方形 ABCD 和正方形 BEFG 中，AB=7 ，BE=5， ∴GF=GB=5 ，BC=7，
∴GC=GB+BC=5+7=12，
∵M，N 分别是 DC，DF 的中点，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质， 三角形的中位线定理、勾股定理等知识点， 构造基本图 形是解题的关键．
12 ．C
【分析】本题考查了一次函数与线段相交求参数问题，理解经过A, B 两点求得的是k 的最值 是解题的关键．
先确定直线y = kx - k(k ≠0) 过定点(1, 0) ，要使直线 y = kx - k(k ≠0) 与线段AB 有交点，分 别将A(-2,3), B(4,9) 代入y = kx - k ，求得 k 的值，即可求解．
【详解】解：∵当x = 1 时，y = 0 ，即直线 y = kx - k(k ≠ 0) 过定点(1, 0) ，
∴当直线y = kx - k(k ≠ 0) 经过点A(-2,3) ，得：3 = -2k - k ， 解得：k = -1 ，
当直线y = kx - k(k ≠ 0) 经过点B(4,9) ，得：9 = 4k - k ， 解得：k = 3 ，
∴当直线y = kx - k(k ≠0) 与线段AB 有交点，
∴ k ≤ -1 或k ≥ 3 ， 故选：C．
13 ．x ≥ 2 且x ≠ 3
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求函数自变量的取值范围． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件作答即可
【详解】由二次根式有意义的条件，分式有意义的条件可知：x - 2 ≥ 0 且x - 3 ≠ 0
即x ≥ 2 且x ≠ 3，
故答案为x ≥ 2 且x ≠ 3
14 ．102° ##102 度
【分析】本题考查了正多边形的内角问题，平行线的性质，三角形内角和．
先求出正六边形每一个内角的度数等于120° ,求出 上3 、上4 的度数，再根据平行线的性质 求出Ðβ 即可．
【详解】解：如图，
∵正六边形每一个内角为(6 - 2)×180° ÷ 6 = 120° , 上1= 上a = 42° , : 上3 = 180° - 上1- 上2 = 180° - 42° -120° = 18° ,
: 上4 = 120° - 上3 = 102° , ∵直尺的两边互相平行，
:Ðβ = 上4 = 102° , 故答案为：102° .
15 ．4
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到a2 + 3a -1 = 0 ，则 a2 = -3a +1，进而得出
a2 + 2a - β= - (a + β)+1 ，然后根据一元二次方程根与系数的关系得a + β = -3 ，再利用整 体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵α 方程x2 + 3x - 1 = 0 的实数根， : a2 + 3a -1 = 0 ，
: a2 = -3a +1 ，
: a2 + 2a - β = -3a +1+ 2a - β = - (a + β)+1 ，
∵α、β 是方程x2 + 3x -1 = 0的两个实数根， : a + β = -3 ，
: a2 + 2a - β = 3 +1 = 4 ．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的定义，得出
a + β = -3 是解题的关键．
16 ．1
【分析】本题考查了角平分线的性质及定义，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知
识．过点F 作FH丄 AB 于点H ，由题意可得 上CAB = 60° ,由作图可知， AF 平分 Ð CAB ， 推出上CAF = 上CAB = 30° ,进而得到 CF = 1，最后根据角平分线的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点 F 作FH丄 AB 于点H ，
Q在Rt△ABC 中，上C = 90° , 上B = 30° , : 上CAB = 90° - 上B = 60° ,
由作图可知，AF 平分 Ð CAB ，
Q AC = /3 ，
Q AF 平分 Ð CAB ，上C = 90° , FH 丄 AB ，
: FH = CF = 1，
即点F 到AB 的距离为1， 故答案为：1．
17 ． 2 或 4 3 或
【分析】（1）根据题意 结合动点 P 的速度为2cm / s ，动点 Q 的 速度为1cm / s ，设运动时间为 xs ，则 BQ = xcm ， OQ = OB - BQ = (6 - x)cm ， OP = 2xcm ，
根据面积公式解答即可．
（2）分 △AOB∽△POQ 和△AOB∽△QOP 两种情况解答．
本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，相似三角形，解题的关键是掌握这些知识点． 【详解】（1）解：根据题意 ，
∵动点 P 的速度为2cm / s ，动点 Q 的速度为1cm / s ，设运动时间为 xs ，
:BQ = xcm ，OQ = OB - BQ = (6 - x)cm ，OP = 2xcm ，
整理，得x2 - 6x + 8=0 ， 解得x = 2 或x = 4 ，
故x = 2s 或4s ,
故答案为：2 或 4．
（2）当 △AOB∽△POQ 时，
解得x = 3 ；
当△AOB∽△QOP 时，
解得
故答案为：3 或 ．
18 ．(1) x1 = -2 ，x2 = 4
x2 = 1
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）根据因式分解法计算即可；
（2）根据因式分解法计算即可． 【详解】（1）x2 - 2x- 8 = 0
(x + 2)(x - 4) = 0 ， 解得x1 = -2 ，x2 = 4
（2）2x2 - 3x +1 = 0 (2x -1)(x -1) = 0 解得
19 ．(1)2；2 (2)3
(3) x > 1
【分析】（1）一次函数y1 = 2x (x ≥ 0) 的图象与 0) 的图象交于点A(1，b)，得
b = 2 ， 解答即可．
（2）根据解析式，确定 B ，C 的坐标，利用纵坐标的绝对值，解答即可．
（3）根据图象，利用数形结合思想解答即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的综合，交点坐标的求解，熟练掌握判定和性质是解题的 关键．
【详解】（1）解：一次函数y1 = 2x (x ≥ 0) 的图象与 0) 的图象交于点A(1，b) ，得 b = 2 ，
解得a = 2, b = 2 ．
（2）解：根据题意，得一次函数的解析式为y1 = 2x (x ≥ 0) ，反比例函数的解析式为 当x = 2 时，得y1 = 4 ，y2 = 1 ，
故B (2,4), C (2,1) ， 故BC = 4 -1 = 3 ．
（3）解：根据题意，得 y1 > y2 > 0 时，x 的取值范围是x > 1 ，
故答案为：x > 1 ．
20 ．[发现]见解析 [应用] 18
【分析】本题考查了等边对等角， 相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．熟练掌握
等边对等角，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质是解题的关键．
[发现]由CD = CE ，可得 上CDE = 上CED ，则 上ADB = 上CEA ，进而可证△ABD∽△CAE ；
[应用]由平行四边形ABCD 中，可得 同理 可证
△CBE∽△DCO ，则 即 ，整理得，CE2 + 5CE - 36 = 0 ，计算求出满 足要求的值，CE = 4 ，然后求 AC 即可．
【详解】[发现]证明：∵ CD = CE ， : 上CDE = 上CED ，
∵ 上CDE + 上ADB = 180° = 上CED + 上CEA ， : 上ADB = 上CEA ，
又∵ Ð BAD = 上ACE ， :△ABD∽△CAE ；
[应用]解：∵平行四边形ABCD 中，
同理[发现] ，上COD = 上BOA = 上BEC ， ∵ 上CBE = 上DCO ，
: △CBE∽△DCO ，
即 ，整理得，CE2 + 5CE - 36 = 0 ， :(CE - 4)(CE + 9) = 0 ，
解得，CE = 4 或CE = -9 （舍去），
: OC = 9 ，AC = 18 ， : AC 的长为18 ．