2025_2026学年安徽省安庆市潜山市潜山市八校联考九年级上册开学数学试题

这是一份2025_2026学年安徽省安庆市潜山市潜山市八校联考九年级上册开学数学试题，共33页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
九年级数学（沪科版）
（试题卷）
注意事项：
1 ．你拿到的试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟．
2 ．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题 卷”上答题是无效的．
3 ．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）每小题都给出 A， B ，C ，D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1 ．下列各组数中，是“勾股数”的一组是( )
A ．4 ，5 ，6 B ．1.5 ，2 ，2.5 C ．6 ，8 ，10 D ．1 ， ，2
2 ．若、与最简二次根式 能合并，则m 的值为( )
A ．0 B ．1 C ．2 D ．17
3 ．某校调查了 200 名学生的每日运动时间，绘制频数分布直方图时，若某一组的频数为
40，则该组的频率为( )
A ．0.2 B ．0.4 C ．0.5 D ．0.6
4 ．下列各式中，正确的是( )
A ． B ．
C ． D ．
5 ．如图，在。ABCD 中，AC 与BD 交于点 O，已知 AC + BD = 14 ，CD = 5 ，则 △AOB 的周 长为( )
A ．11 B ．12 C ．13 D ．15
6 ．淇淇用图 1 的六个全等 △ABC 纸片拼接出图2，图 2 的外轮廓是正六边形．如果用若干 个 △ABC 纸片按照图 3 所示的方法拼接，外轮廓是正 n 边形图案，那么 n 的值为( )
A ．7 B ．8 C ．9 D ．10
7 ．关于 x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0 （a ≠ 0 ）满足 a - b + c =0 ，且有两个相等的实数 根，则下列结论不一定正确的是( )
A ．a - c = 0 B ．2a - b = 0 C ．b - 2c = 0 D ．a + b + c = 0
8 ．电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着 火、爆炸， 将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区 为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙 （可利用墙长为 45m ），其他的边用总长 70m 的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m 长 的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为384m2 ，则电动 车车棚的长（BC ）为( )
A ．48m B ．24m C ．20m D ．16m
9 ．如图，在。ABCD 中，AC，BD 相交于点 过点 A 作AE 丄 BC 的垂 线交BC 于点 E，记 BE 长为 x ，BC 长为y ．当 x，y 的值发生变化时，下列代数式的值不变 的是( )
A ．x + y B ．x - y C ．xy D ．x2 + y2
10 ．如图，正方形ABCD 的边长为 3，点 E，F，G 分别在边AB ，BC ，CD 上，且 AF 丄 EG ．当CF = 2BF 时，EF + AG 的最小值为( )
A ．2 B ．3 C ．2 D ．3
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
、-2x -1
11 ．若代数式 1 有意义，则实数x 的取值范围是 ．
12 ．若一元二次方程 ax2=b（ab>0）的两个根分别是 m+1 与 2m－4，则= .
13．如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为 1.“马”从图中的位置出发，不走重复路
线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 .
14．如图，在矩形ABCD 中，AB = ，BC = 4 ，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将△AEF 沿EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处．
（1）CG 的长为 ；
（2）折痕 EF 的长为 ．
三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
\ 7 2 6
15 ．计算： × - ÷ .
16 ．解方程：(3x -1)(x +1) = 1 ．
四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
17 ．如图是6× 6 的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图，并保留作图痕迹．
(1)在图 1 中，找一点 P，使得以 A ，C，B ，P 为顶点的四边形为平行四边形；
(2)在图 2 中，作出 Ð ABC 的平分线．
18 ．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O, AB = 2 , BD = 8, OE 丄 CD 于点E ， 点M、N 分别为OC 、OD 的中点，连接ME 、NE ．
(1)求证：AC = OB ；
(2)求ME + NE 的值．
五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）
19．某校为了解老师“在学校批改作业”这一项工作的时间简称“作业时间”情况，在本校随机 调查了 40 名老师每天批改作业的时间，并进行统计，绘制了如下统计表：
根据上述信息，解答下列问题：
(1) m = __________；
(2)这 40 名老师的“作业时间”的中位数落在__________组；
(3)求这 40 名老师的平均“作业时间”．
组别
“作业时间”t /分钟
频数
组内老师的平均“作业时间”/分钟
A
t < 60
8
50
B
60 ≤ t < 90
14
75
C
90 ≤ t < 120
m
100
D
t ≥ 120
8
135
20 ．已知实数k ，m ，n (m ≠ n) ，且满足 m2 - 2m = 3k +1 ，n2 - 2n = 3k +1．
(1)求证：m + n 的值为定值；
(2)若m ，n 同号，求k 的取值范围．
六、（本题满分 12 分）
21．著名的赵爽弦图（如图①, 其中四个直角三角形较大的直角边长都为 a，较小的直角边 长都为 b，斜边长都为 c），大正方形的面积可以表示为c2 ，也可以表示为 ， 由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2 + b2 = c2 ．
(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
(2)如图③,在一条东西走向河流的一侧有一村庄 C，河边原有两个取水点 A 、B，
AB = AC ，由于某种原因，由 C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边 新建一个取水点H（A、H、B 在同一条直线上），并新修一条路CH ，且CH 丄 AB ．测得CH = 0.8 千米，HB = 0.6 千米，求新路CH 比原路CA 少多少千米？
(3)小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的， 在第（2）问中若 AB ≠ AC 时，CH 丄 AB ，AC = 10 ，BC = 17 ，AB = 21 ，设 AH = x ，可 以求CH 的值，请帮小明写出求CH 的过程．
七、（本题满分 12 分）
22 ．近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业．某主播带货图书《苏东坡传》， 他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为 10 元， 规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的 3 倍，通过前几天的销售发现，该书每天的 销售量y（本）与销售单价 x（元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如下表：
(1)根据表格提供的数据，求y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围．
(2)若销售该书每天的利润为 6000 元，求该书的销售单价．
x（元/本）
…
15
25
…
y（本）
…
700
500
…
(3)销售该书每天的利润能否达到9000 元？请说明理由．
八、（本题满分 14 分）
23 ．如图 1，已知正方形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点，且BE = AB ，M、N 分别为AE 、 BC 的中点，连接DE 交AB 于 O ，MN 交ED 于 H 点．
(1)求证：AO = BO ；
(2)求证：上HEB = 上HNB ；
(3)过 A 作AP 丄 ED 于 P 点，连接BP ，则 的值．
1 ．C
【分析】本题主要考查了勾股数的定义．勾股数必须满足都是正整数，同时还需满足两较小 的数的平方和等于最大数的平方，据此注意判断即可．
【详解】解：A 、∵ 42 + 52 ≠ 62 ，
:4 ，5 ，6，不是勾股数，不符合题意；
B 、1.5 ，2.5 这两个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； C 、∵ 62 + 82 = 102 ，
:6 ，8 ，10 是勾股数，符合题意；
D 、 3 不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； 故选：C．
2 ．B
【分析】本题考查同类二次根式及最简二次根式的定义， 根据题意，判断3与最简二次根 式 是同类二次根式，列等式求解即可得到答案，熟记同类二次根式及最简二次根式的 定义是解决问题的关键．
解 且与最简二次根式、能合并，
: 3与最简二次根式Jm +1 是同类二次根式，
:m +1 = 2 ，解得 m = 1， 故选：B．
3 ．A
【分析】本题考查了频率的定义，频率等于频数除以数据总数．题目中频数为 40，总数据 为 200，代入计算即可．
【详解】∵频率 = 频数 ÷ 总数．
:频率= 40 ÷ 200 = 0.2 ． 因此，该组的频率为 0.2 故选 A．
4 ．C
【分析】本题考查二次根式的运算， 掌握算理是解决问题的关键．根据二次根式运算法则逐 项判断即可．
【详解】解：A 、 ， 3 不是同类二次根式，无法合并，故本选项不符合题意；
故本选项不符合题意；
C 、 计算正确，故本选项符合题意；
D 、 ÷ = ，故本选项不符合题意． 故选：C．
5 ．B
【分析】此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边相等和对角线互相平分即可得 到答案.
解：在YABCD 中
即 △AOB 的周长为12 ， 故选：B
6 ．C
【分析】本题考查全等三角形的性质，正多边形，解决本题的关键是掌握正多边形内角和与 外角和公式．先根据正六边形计算一个内角为 120 度，可知 ΔABC 各角的度数，从而得出图 3 中正多边形的内角的度数，可得结论．
【详解】解：Q 正六边形每一个内角为120° ,
:上ACB = 120° - 80° = 40° ,
:上CAB = 180° -120° = 60° ,
: 图 3 中正多边形的每一个内角为60° + 80° = 140° ,
故选 C
7 ．D
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解．熟练掌握 x1 、x2
是ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的两根，则 是解题的关键．
先根据题意得到一元二次方程的解为x = -1 ，再根据根与系数关系得到 从而
可对各选项进行判断即可．
【详解】解：∵一元二次方程ax2 + bx + c = 0 （a ≠ 0 ）满足 a - b + c =0 ，且有两个相等的实 数根，
:一元二次方程的解为x = -1 ，
:b = 2a, c = a ， : b = 2a = 2c ，
: 2a - b = 0 ，a - c = 0 ，b - 2c = 0 ，故 A 、B 、C 正确，不符合题意；
∵ a + b + c =4a ≠ 0 ，故 D 错误，符合题意；
故选：D．
8 ．B
【分析】本题考查一元二次方程的应用，设电动车车棚的宽AB 为xm ，则车棚的长
BC = (72 - 3x)m ，根据车棚占地面积为 384m2 ，列出一元二次方程，解方程取符合题意的 值即可．
【详解】解： 设电动车车棚的宽AB 为x m ，则车棚的长BC = 70 - 2 (x -1) - x =(72 - 3x)m ， 由题意得：x (72 - 3x) = 384 ，
整理得：x2 - 24x +128 = 0 ，
解得：x1 = 16 ，x2 = 8 ，
当x2 = 8 时，72 - 3x = 72 - 3 × 8 = 48 > 45 ，不符合题意，舍去
: 72 - 3x = 72 - 3 × 16 = 24m ， 故选：B．
9 ．C
【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识， 过点 D 作DF 丄 BC 交BC 的延长线于点 F，证明 △ABE≌△DCF (AAS)，得到
AE = DF, BE = CF = x ，由勾股定理可得，AE2 = 4 - (y - x )2 ，DF2 = 12 - (y + x )2 ，则 4 - (y - x )2 = 12 - (y + x )2 ，整理后即可得到答案．
【详解】解：过点 D 作DF 丄 BC 交BC 的延长线于点 F，
∵ AE 丄 BC 的垂线交BC 于点 E， : 上AEB = 上DFC = 90° ,
∵四边形ABCD 是平行四边形， : AB = DC, AB∥CD ，
: 上ABE = 上DCF ，
: △ABE≌△DCF (AAS) : AE = DF, BE = CF = x ，
由勾股定理可得，AE2 = AC2 - CE2 = AC2 - (BC - BE )2 = 4 - (y - x )2 ， DF2 = BD2 - BF2 = BD2 - (BC + CF )2 = BD2 - (BC + BE )2 = 12 - (y + x )2 ，
: 4 - (y - x )2 = 12 - (y + x )2 ， : (y + x )2 - (y - x )2 = 8
: x2 + 2xy + y2 - y2 + 2xy - x2 = 8 即4xy = 8 ，解得xy = 2 ，
:当 x，y 的值发生变化时，代数式的值不变的是xy ， 故选：C
10 ．C
【分析】过点 G 作GM 丄 AB ，过点 F 作FH∥EG ，过点 G 作GH P EF ，设AF 与GE 交于 点 N，首先求出 然后证明出 △ABF≌△GME (ASA )，得到
,证明出四边形 EFHG 是平行四边形，得到EF + AG = GH + AG ≥ AH ，当 点 A ，G ，H 三点共线时，EF + AG 取值最小值，即AH 的长度，然后利用勾股定理求解即 可．
【详解】如图所示， 过点 G 作GM 丄 AB ，过点 F 作FH∥EG ，过点 G 作GH P EF ，设AF 与GE 交于点 N
:正方形ABCD 的边长为 3， : AB = BC = 3
: CF = 2BF : BF = 1
:四边形ABCD 是正方形
: AB = AD ，上MAD = 上D = 上ABF = 90° :四边形AMGD 是矩形
: AD = MG : AB = MG ， : AF 丄 EG
: 上AMG = 上ANG = 90° : 上BAF = 上MGE
又: 上ABF = 上GME = 90° : △ABF≌△GME (ASA )
: AF = GE = ·
: FH ∥ EG ，GH P EF
:四边形EFHG 是平行四边形 : EG = FH = AF = 、
: EF + AG = GH + AG ≥ AH
:当点A ，G ，H 三点共线时，EF + AG 取值最小值，即AH 的长度 : AF 丄 EG
: AF 丄 EH
.
故选：C．
【点睛】此题考查了正方形的性质， 勾股定理，矩形和平行四边形的性质和判定，全等三角 形的性质和判定，解题的关键是作出辅助线构造平行四边形．
11 ．
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件， 分式有意义的条件，根据二次根式的二次根式 有意义的条件，分式有意义的条件即可求出x 的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意 义的条件和分式有意义的条件．
【详解】解：∵代数式有意义，
: í ,
ì-2x -1≥ 0
l-2x -1 ≠ 0
故答案为： ．
12 ．4
【分析】利用直接开平方法得到 ，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m-4=0， 解得 m=1，则方程的两个根分别是 2 与-2，则有 然后两边平方得到 ．
【详解】由 ax2 = b(ab >0) 得 解得 ，可知两根互为相反数.
∵一元二次方程 ax2=b（ab>0）的两个根分别是 m+1 与 2m－4， :m+1+2m－4=0，解得 m=1，
:一元二次方程 ax2=b（ab>0）的两个根分别是 2 和-2，
13 ． ·、
【分析】根据第一步马往外跳，第二步马再往回跳但路线不与第一步的路线重合，这样走两 步后的落点与出发点距离最短．
【详解】解：如下图所示：
马第一步往外跳，可能的落点为 A 、B 、C、D 、E、F 点，
第二步往回跳，但路线不与第一步的路线重合，这样走两步后的落点与出发点距离最短，
比如，第一步马跳到 A 点位置，第二步在从 A 点跳到 G 点位置，此时落点与出发点的距离 最短为 · ,
故答案为： ．
【点睛】本题借助象棋中的“马走日”的规则考察了两点之间的距离公式，解题的关键是读懂 题意．
14 ． ·、i6
【分析】本题考查矩形与折叠， 全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的化简，解 题的关键是掌握以上知识点．
（1）连接CE ，根据矩形的性质，折叠的性质，推出Rt△CDE≌Rt△CGE (HL)，进而得到 CG = CD = AB = ；
设AF = x ，则 在Rt△BCF 中，利用勾股定理求
出x 的值，再在Rt△AEF 中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图，连接CE ，
:E 为AD 中点，
: AE = DE = 2 ，
由折叠可得AE = GE ，上EGF = 上A = 90°
:DE = GE ，
又Q 上D = 90°
:上EGC = 上D = 90° ,
又Q CE = CE ，
: Rt △ CDE≥Rt △ CGE(HL)
: CD = CG = /6 ；
（2）设 AF = x ，则 GF = x ，BF = - x ，CF = + x
Q 上B = 90°
:在Rt△BCF 中， BF2 + BC2 = CF2 ，即 ( - x)2 + 42 = (x + )2 ， 解得
Q 上A = 90°
:在Rt△AEF 中 ．
15 ．-1
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关 键．根据二次根式的运算法则进行计算即可．
解：原式
= 2 - 3
= -1 ．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配 方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
先把方程化为一般式，然后利用公式法解方程． 【详解】解：(3x -1)(x +1) = 1
3x2 + 2x - 2 = 0 ，
Qa = 3, b = 2, c = -2,
:b2 - 4ac = 22 - 4× 3 × (-2) = 28 > 0
17 ．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查仅用无刻度的直尺作图问题， 等腰三角形的三线合一，平行四边形的判定 等知识，根据图中的信息求BC 的长作于之平行且相等的线段和求AB 的长构造等腰三角形 是解题的关键．
（1）由图可知 BC = 4 ，过 A 点找到AP = 4 ，且 BC∥ AP ，即可求得结果；
（2）有图可知 AB = 5 ，构造等腰三角形，根据三线合一可得Ð ABC 的平分线． 【详解】（1）解：如图所示：四边形 APBC 即为所求的平行四边形．
理由：由图可知BC = 4 ，过 A 点找到AP = 4 ，且 BC∥ AP ， Q BC Ⅱ AP ，BC = AP ，
: 四边形APBC 是平行四边形．
（2）解：如图所示，BE 即为所求的角平分线．
理由：如图，根据勾股定理可得：AB = 5 ， 延长BC 到D ，使得 BD = 5 ，连接 AD ，
由图可得：E 是AD 中点，
在等腰三角形ABD 中，由三线合一可得： BE 平分 Ð ABC ，
即BE 为Ð ABC 的平分线．
18 ．(1)见解析 (2) 3
【分析】本题主要考查了菱形的性质， 直角三角形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解 题的关键．
（1）根据菱形的性质得到 AC = 2OA，AC⊥BD，OB = BD = 4 ，再利用勾股定理求出 OA 的长，进而求出AC 的长，据此可证明结论；
（2）根据菱形的对角线互相平分可得OC，OD 的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半即可得到ME 、NE 的长，据此可得答案．
【详解】（1）证明：∵菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点 O，
: AC = 2OA，AC⊥BD，OB = BD = 4 ，
: AC = 2OA = 4 ， : AC = OB ；
（2）解：∵菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，
∵ OE 丄 CD ，
: 上OEC = 上OED = 90° ,
∵点M、N 分别为OC 、OD 的中点，
: ME + NE = 1+ 2 = 3 ．
19 ．(1)10 (2)B
(3)这 40 名老师的平均“作业时间”为 88.25 分钟
【分析】本题考查了中位数， 平均数，频数分布表．从频数分布表中得到必要的信息是解决 问题的关键．
（1）用调查的总人数减去其他组的人数即可求出 m 的值；
（2）利用中位数的定义解答即可；
（3）根据平均数的定义解答即可．
【详解】（1）m = 40 - 8 -14 - 8 = 10 ， 故答案为：10；
（2）把 40 名老师的“作业时间”从小到大排列，排在中间的两个数均在 B 组，
:这 40 名老师的“作业时间”的中位数落在 B 组， 故答案为：B；
（3）平均“作业时间” = × (50 × 8 + 75 × 14 + 100 × 10 + 135 × 8) = 88.25（分钟）， 答：这 40 名老师的平均“作业时间”为 88.25 分钟．
20 ．(1)详见解析
【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握一元二次方程的解，根的判别式，根与系 数的关系是解题的关键．
（1）根据题意可得，m ，n 为关于x 的方程x2 - 2x - (3k +1) = 0 的两个不相等的实数根，由 根与系数的关系即可求解；
（2）由（1）的一元二次方程根与系数的关系得mn = - (3k +1)，由 m ，n 同号，解得：
, 再根据方程有两个不相等的实数根得到(-2)2 + 4(3k +1) > 0 ，解得 由此即 可求解．
【详解】（1）证明：Qm2 - 2m = 3k +1 ，n2 - 2n = 3k +1(m ≠ n) ，
:m ，n 为关于x 的方程x2 - 2x - (3k +1) = 0 的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得，m + n = 2 ，
:m + n 的值为定值．
（2）解：由（1）得 mn = - (3k +1)， Qm ，n 同号，
:mn = - (3k +1) > 0 ， 解得：k < - ，
又Q (-2)2 + 4(3k +1) > 0 ，
:k > - ，
21 ．(1)见解析，
(3)8 ，过程见解析．
【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用， 一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答 此题的关键．
（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求 出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）设 CA= x ，则 AH = x - 0.6 ，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果；
（3）在Rt△ACH 和Rt△BCH 中，由勾股定理得求出CH2 = CA2 - AH2 = CB2 - BH2 ，列出方程 求解即可得到结果．
【详解】（1）解：梯形 ABCD 的面积为 也可以表示为 ，
即a2 + b2 = c2 ；
（2）解：设 CA = x ， : AH = x - 0.6 ，
在Rt△ACH 中，CA2 = CH2 + AH2 ， 即x2 = 0.82 + (x - 0.6)2 ，
解得 ， 即
答：新路CH 比原路CA 少千米；
（3）设 AH = x ，则 BH = 21- x ， 在Rt△ACH 中，CH2 = CA2 - AH2 ，
在Rt△BCH 中，CH2 = CB2 - BH2 ，
: CA2 - AH2 = CB2 - BH2 ， 即102 - x2 = 172 - (21- x )2 ， 解得：x = 6 ．
: CH = ·、 = 8 ．
22 ．(1) y = -20x + 1000(10 ≤ x ≤ 30)
(2)销售单价为 20 元/本
(3)销售该书每天的利润不能达到 9000 元，理由见解析
【分析】（1）设 y 关于 x 的函数关系式为y = kx + b(k ≠0) ．将表中两个点代入求解即可；
（2）根据题意及（1）中结论，列出方程求解即可；
（3）与（2）类似，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设 y 关于 x 的函数关系式为y = kx + b(k ≠0) ．
ì 15k+b=700
l25k+b=500
由题意得 í ,
解得 í
ì k=-20
.
lb=1000
:y 关于 x 的函数关系式为y = -20x + 1000(10 ≤ x ≤ 30) ；
（2）依题意得(x -10)(-20x +1000) = 6000 ， 整理得 x2 - 60x + 800 = 0 ，
解得x1 = 20 ，x2 = 40 ．
:10 ≤ x ≤ 30 ， : x=20 ．
:若销售该书每天的利润为 6000 元，则该书的销售单价为 20 元/本；
（3）不能．
理由如下：依题意得(x -10)(-20x +1000) = 9000 ， 整理得x2 - 60x + 950 = 0 ．
: Δ = 602 - 4× 1 × 950 = -200 < 0 ， :该方程没有实数根，
:销售该书每天的利润不能达到9000 元．
【点睛】题目主要考查一次函数的应用及一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题关 键．
23 ．(1)见解析
(2)见解析 (3) ·
【分析】（1）利用 ASA 证明△ ADO ≌△ BEO 即可；
（2）延长 BC 至 F，且使 CF = BE ，连接 AF 、DF ，利用SAS 证明△ABF ≌△DCE ，得出
上DEC = 上AFB ，由 MN 为△AEF 的中位线得MN Ⅱ AF ，利用平行线的性质即可证明
上HNB = 上AFB = 上HEB ；
（3）过点B 作BQ 丄 BP 交DE 于Q，利用ASA 证明△ BEQ ≌△BAP ，推出PA = QE ，QB = PB ， 即可证明 △PBQ 是等腰直角三角形，则
【详解】（1）证明：:四边形ABCD 是正方形， : ADⅡBC ，AB = AD ，
: 上DAB = 上ABE ，上ADO = 上BEO ， : AB = BE ，
: AD = BE ，
: △ADO≌△BEO (ASA ) ， : AO = BO ；
（2）证明：延长 BC 至 F，且使 CF = BE ，连接 AF 、DF ，如图 1 所示：
则BF = CE ，
:四边形ABCD 是正方形，
: AB = DC ，ADⅡBC ，上BAD = 上ABC = 上DCB = 90° , 在△ABF 和 △DCE 中，
ï
ì AB = DC
í上ABC = 上DCB ， ïl BF = CE
: △ABF≌△DCE (SAS) ， : 上DEC = 上AFB ，
: EB = CF ，BN = CN ， :N 为EF 的中点，
: MN 为△AEF 的中位线，
: MN Ⅱ AF ，
: 上HNB = 上AFB ， : 上DEC = 上HNB ， 即上HEB = 上HNB ；
（3）解：过点 B 作BQ 丄 BP 交DE 于 Q，如图 2 所示：
则上PBQ = 90° ,
: 上ABE = 180° - 上ABC = 90° ,
: 上EBQ = 上ABP ， : ADⅡBC ，
: 上ADP = 上BEQ ，
: AP 丄 DE ，上BAD = 90° ,
由角的互余关系得：上BAP = 上ADP ， : 上BEQ = 上BAP ，
在 △BEQ 和△BAP 中，
ï
í BE = BA ， ïl上BEQ = 上BAP
ì上EBQ = 上ABP
: △BEQ≌△BAP (ASA )，
: PA = QE ，QB = PB ，
: △PBQ 是等腰直角三角形，
【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、三角中位线的性质、等腰三角形的判定与 性质、全等三角形的判定与性质等， 第 3 问有一定难度，正确作辅助线，证明 △PBQ 是等腰 直角三角形是解题的关键．