湖北省武汉市九师联盟2026届高三上学期8月开学考试数学试题 含解析

这是一份湖北省武汉市九师联盟2026届高三上学期8月开学考试数学试题 含解析，共20页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题
区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：高考范围．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次不等式化简集合 A，再由集合的交集运算即可.
【详解】由题意知 ， ，
则 ．
故选：C．
2. 已知复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的除法运算计算可得.
【详解】由 ，得 ．
故选：A．
3. 若椭圆 的焦距为 ，则 C 的离心率为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由焦距得 ，可判断 ，由离心率公式计算可得.
【详解】由 得 ，
又 ，
所以 ， ，得 ，
所以 ．
故选：A．
4. 已知α，β为两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ， ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可.
【详解】若 ， ， ，则 或 m，l 异面，故 A 错误；
若 ， ，则 或 ，故 B 错误；
若 ， ，则 ，故 C 正确；
若 ， ，则 或 ，故 D 错误．
故选：C．
5. 已知 ， ，且 ，则 的最小值是（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
【答案】A
【解析】
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【分析】由题意 ，利用乘“1”法求解基本不等式问题即可.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，所以 ，当且仅当 ，即 ，
时等号成立，
所以 ，即 的最小值是 4．
故选：A．
6. 已知正项等比数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】应用等比数列片段和的性质有 ， ， 成等比数列，列方程求 即可.
【详解】由题意及等比数列前 n 项和的性质，得 ， ， 成等比数列，
则 ，即 ，解得 或 （舍）.
故选：A
7. 已知直线 ，圆 ，则“点 在圆 C 外”是“直线 l 与圆 C 相交”
的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用充要条件的定义，结合点与圆的位置、点到直线的距离公式求解判断.
【详解】由点 在圆 C 外，得 ，则圆心 C 到直线 l 的距离 ，
因此直线 l 与圆 C 相交，即“点 在圆 C 外”是“直线 l 与圆 C 相交” 充分条件；
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由直线 l 与圆 C 相交，得圆心 C 到直线 l 的距离 ，则 ，
因此点 在圆 C 外，即“点 在圆 C 外”是“直线 l 与圆 C 相交”的必要条件，
所以“点 在圆 C 外”是“直线 l 与圆 C 相交”的充要条件.
故选：C
8. 已知函数 是定义在 上的偶函数，且 ， 恒成立，则
（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用已知条件结合赋值法及累加法得出得 ，再应用偶函数性质得出函数
值即可.
【详解】因为 ， 恒成立，
令 ，则 恒成立，即 ，
所以 ，
所以 ， ， ，…，
，
以上各式两边分别相加，得 ，
在 中，令 ，得 ，
因为 为偶函数，所以 ，所以 ，
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所以 ，所以 ，
所以 .
故选:B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 2024 年手机迎来发展新机遇，国内两家传媒公司共同发起了中国手机消费行为调查，下表为根据调查得
到的 2024 年 1000 名中国手机用户购买手机价格频数表，同一组中的数据用该区间的中点值代表，则（
）
价格（千元）
频数 150 600 180 50 20
A. 估计 1000 名用户购买手机价格的众数为 7.5
B. 估计 1000 名用户购买手机价格的平均数为 8.45
C. 估计 1000 名用户购买手机价格的中位数不超过 6
D. 估计 1000 名用户购买手机价格的 分位数不超过 12
【答案】AB
【解析】
【分析】A 选项，先确定众数落在区间 上，中间值为 7.5，A 正确；B 选项，根据平均数的定义进行
计算；C 选项，中位数落在 中，利用中位数的定义计算出答案；D 选项，先得到 分位数落在
中，利用百分位数定义得到答案.
【详解】A 选项，1000 名用户购买手机价格的众数落在区间 上，中间值为 7.5，A 正确；
B 选项，同一组中的数据用该区间的中点值代表，
故平均数为 ，B 正确；
C 选项， ， ，故中位数落在 中，
中位数为 ，C 错误；
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D 选项， ， ，
故 分位数落在 中，
1000 名用户购买手机价格的 分位数为 ，D 错误．
故选：AB
10. 已知△ABC 中，内角 的对边分别为 为 延长线上一点， 的平分线交直线
于 ，若 ，则（ ）
A.
B.
C. 的面积为
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】A 选项由正弦定理计算判断即可；B 选项由余弦定理计算判断即可；C 选项由三角形面积公式计算
判断即可；D 选项利用余弦定理可求得 ，进而可得 ，结合正弦定理求解即可.
【详解】因为 ， ， ，所以由正弦定理，得 ，故
A 正确；
由余弦定理得， ，因为 ，所以 ，故 B 错误；
面积为 ，故 C 正确；
由余弦定理，得 ，因为 ，所以 ，
因为 ， 是 的角平分线，所以 ，
所以 .
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在 中，由正弦定理，得 ·解得 ，故 D 错误.
故选：AC.
11. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 两点，点
满足 ，且直线 与 轴平行，直线 与 轴交于点 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若 ，则直线 的斜率为 或
C. 若 为 的准线上任意一点，则直线 的斜率成等差数列
D. 点 到直线 的距离为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A 选项，联立直线方程和抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算进行求解；B 选项，
由 得 ，结合韦达定理求出 ， ，代入 求出 t 即可求得直线 l 的斜率；C
选项，设 ，分别写出直线 的斜率，代入 并利用韦达定理进行化简
验证其等于零即可判断；D 选项，由 知 ，从而 ，代入 的
表达式化简即可.
【详解】由题意知 ，显然直线 的斜率存在且不为 0，设直线 的方程为 ，
，
由 得 ，所以 ，
则 ，所以 ，故 A 正确；
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因为 ，所以 ，所以 ，又 ，解得 或
，所以 或 ，即直线 的斜率为 或 ，故 B 错误；
设 ，则 ，
所以
，
即 ，则直线 的斜率成等差数列，故 C 正确；
如图所示，过点 作 ，垂足为 ，又 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，故 D 正确.
故选：ACD
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 若函数 在 处有极值，则实数 ________．
【答案】
【解析】
【分析】由 求出 并检验极值的存在.
【详解】因为 ， ， 在 处有极值，
所以 ，所以 ，解得 ．
经检验 时， ，
当 或 时， ；当 时， ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，函数在 处有极大值，满足题
意．
故答案为： .
13. 已知向量 满足 ， ，且 ，则 ________．
【答案】2
【解析】
【分析】由 ，平方后结合 ， 可得 ，解方程即可.
【详解】由 ，得 ，即 ，
整理得 ，解得 ，或 （舍去）．
故答案为：2.
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14. 已知数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，若对任意的 ，等式
恒成立，则 ________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由 化简推得 ，即可判断 为等差数列，继而求出 和 ，代
入 ，根据等式恒成立，对应系数成比例，求得 和 的值即可.
【详解】因为 ，所以当 时，有 ，
两式相减得 ，所以 ，
所以数列 是以 m 为首项，1 为公差的等差数列，
所以 ， ，
则 ，
所以 ，
又因为对任意的 ，等式 恒成立，所以 ，
解得 ， ，所以 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 的最小正周期为 ．
（1）求 的值；
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（2）求 的单调递增区间．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简函数的表达式，利用最小正周期即可求出 的值；
（2）写出 表达式，即可求出 的单调递增区间.
【小问 1 详解】
由题意，
在 中，
，
∵ 的最小正周期为 ，
∴ ，解得 .
【小问 2 详解】
由题意及（1）得，
在 中， ，
∴ ，
当 单调递增时， ， ，
解得 ， ，
∴ 的单调递增区间为 ．
16. 如 图 ， 四 棱 锥 中 ， 平 面 ， 底 面 为 直 角 梯 形 ，
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，点 在棱 上．
（1）若 为 的中点，证明： ；
（2）若两条异面直线 所成角的余弦值为 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明 平面 ，得到 ，结合条件证明 平面
，得证；
（2）以 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，设
，求出 的坐标，利用夹角公式列式求解.
【小问 1 详解】
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， 为 的中点，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
【小问 2 详解】
如图，以 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
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设 ，
则 ．
设异面直线 与 所成角为 ，
则
，
整理得 ，解得 或 （舍去），
所以 ，所以 .
17. 为了解某校学生每天进行体育运动的时间，从中抽取男、女生共 100 人进行问卷调查．将样本中的“男
生”和“女生”按每天体育运动的时间（单位：分钟）各分为 5 组： ， ， ，
， ，经统计得下表：
男生
人数 4 5 27 21 3
女生
人数 3 13 16 6 2
若体育运动的时间不少于一小时，则被认定为“喜欢体育运动”，否则被认定为“不喜欢体育运动”．
（1）根据以上数据完成 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为是否喜欢体育运
动与性别有关联？
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喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计
男
女
合计
（2）从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取 8 人，再从这 8 人中随机抽取 3 人担任
体育运动宣传员，记随机变量 X 为抽取的 3 人中女生的人数，求 X 的分布列和数学期望．
参考公式： ，其中 ．
附：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）表格见解析，认为是否喜欢体育运动与性别有关联
（2）X 的分布列见解析，数学期望为
【解析】
【分析】（1）根据时间分组统计表，完成 列联表，根据参考公式计算 ，对照附表作出相应判断.
（2）根据(1)中的 列联表，求出分层随机抽样抽取的 8 人中的男女人数，并求出随机变量 X 的可能取
值及对应的概率，写出相应分布列，求得数学期望.
【小问 1 详解】
列联表如下：
喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计
男 24 36 60
女 8 32 40
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合计 32 68 100
零假设为 ：是否喜欢体育运动与性别无关联．
根据列联表可得
，
所以，根据小概率值 的独立性检验，可以推断 不成立，即认为是否喜欢体育运动与性别有关联．
【小问 2 详解】
从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取 8 人，
则男生抽取人数为 ，女生抽取人数为 ．
X 的所有可能取值为 0，1，2，其中 ， ，
.
则 X 的分布列为：
X 0 1 2
P
所以 X 的数学期望 ．
18. 已知双曲线 经过点 ，动直线 与 恰有 1 个公共点，且与 的两
条互相垂直的渐近线分别交于点 .
（1）求 的方程；
（2）已知 为坐标原点，求证： 的面积为定值；
（3）过 的右焦点作两条互相垂直的直线 ，且 与 交于 两点， 与 交于 两点，若
的中点为 的中点为 ，求证：直线 与 轴垂直.
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【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由双曲线方程得到渐近线方程，再由渐近线垂直得到 ，然后结合点在双曲线上解方程组
可得；
（2）分当动直线 的斜率不存在和存在时讨论，当存在时，设出直线方程，直曲联立，令判别式为零结合
渐近线方程解出 点坐标，再由点到直线的距离公式表示出 ，然后由三角形的面积公式计算；
（3）当直线 与 的斜率都存在时，设直线 的方程为 ，直曲联立，
表示出韦达定理，由中点坐标公式得到点 坐标，再将 换成 得到点 坐标可得；当直线 的斜率不
存在，直线 的斜率为 0 时与当直线 的斜率为 0，直线 的斜率不存在时由特殊值验证即可.
【小问 1 详解】
双曲线 的渐近线方程为 ，
由两条渐近线垂直可得 ，所以 .
将点 代入 ，得 ，解得 ，
所以 的方程为 .
【小问 2 详解】
证明：当动直线 的斜率不存在时， .
当动直线 的斜率存在时，不妨设直线 ，
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故由 得 ，
从而 ，化简，得 .
又因为双曲线 渐近线方程为 ，
由 得 所以 ，同理可得 ，
所以 ，
又原点 到直线 的距离 ，
所以 ，又 ，所以 .
综上所述， 的面积为定值 1.
【小问 3 详解】
证明：由题意可得，双曲线 的右焦点为 ，
当直线 与 的斜率都存在时，设直线 的方程为 ，
由 得 ，
且 ，
所以 ，
因为点 是 的中点，所以 .
因为 ，所以将 换成 ，得 .
因为点 与点 的纵坐标相同，所以直线 与 轴垂直，
当直线 的斜率不存在，直线 的斜率为 0 时，易得 ；
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当直线 的斜率为 0，直线 的斜率不存在时，易得 .
所以直线 的方程为 ，与 轴垂直.
综上所述，直线 与 轴垂直.
19. 已知函数 .
（1）若 的图象在点 处的切线过原点，求实数 的值；
（2）若 在 上是增函数，求实数 的取值范围；
（3）求证： .
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求出含参的切线方程，再将原点坐标代入求出 值；
（2）利用函数是增函数，导数大于或等于 0，求出 的取值范围；
（3）利用导数求一个函数的最小值等于另一个函数的最大值，且不在同一点取得，从而得证.
【小问 1 详解】
函数 的定义域为 ，导函数
，
，
因为 的图象在点 处的切线过原点，所以 ，所以 .
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【小问 2 详解】
令 ，则 对 成立，
所以 在 上是增函数，所以 时， ，
因为 在 上是增函数，所以 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，所以 ，
即 的取值范围是 .
【小问 3 详解】
证明：要证 ，只要证
.
令 ，
易知 在 上是增函数，且 ，
所以在 上存在一个实数 ，使得 ，且 在 上单调递减，在 上单调递增
.
于是其极小值点 满足 ，
也即 ，①
函数 的极小值，亦为最小值为 .
令 ，则 ，
令 ，因为 在 上是增函数，所以 在 上
是减函数，
，
，
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所以存在唯一一个数 ，使得 ，且当 时， ；
当 时， ，
于是其极大值点 满足 ，即 ，②
函数 的极大值，亦为最大值为
，
结合①②及函数 在 上是增函数且 知， 且
.
即 的最小值与 的最大值相等，所以 ，
所以 成立.
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