河南省开封市等2地2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

这是一份河南省开封市等2地2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷，共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
2025-2026 暑期开学考联考
高二年级数学试题
考试时间：120 分钟；总分值：150 分
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题共 58 分）一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.）
已知复数 z 在复平面内对应的点是
0,1
1 i 
，则 z（）
1 i
1  i
1  i
1 i
“关于 x，y 的方程： x2  y2  mx  4 y  8  0 表示圆”是“ m  4 ”的（）条件
A. 必要不充分B. 充要C. 充分不必要D. 既不充分也不必要
已知向量 a  2, 2 3 , b  1, 3 ，则b 在a 方向上的投影向量为（）
1 →1
a
4
 a
4
b
b
已知复数 z 满足： z  1，则 z 1 i 的最大值为（）
2
A 2B.1
2
C.1
D. 3
已知事件A 和事件 B 独立，若 P  A  P  B  0.3 ，则 P( A  B)  （）
A. 0.21B. 0.51C. 0.79D. 0.91
已知Rt△OAB 是一平面图形的直观图，斜边OB  2 ，则这个平面图形的面积是（ ）.
2
A2B. 1C.
2
D. 2
2
如图， V ABC 的外接圆圆心为 O， AB  2 ， AC  3 ，则 AO  BC  （）
53
B.
22
C. 3D. 2
体积为
的三棱柱 ABC  A B C ，所有顶点都在球 O 的表面上，侧棱 AA  底面 A B C ，底面
3
4
1 1 111 1 1
△A1B1C1 是正三角形， AB1 与底面 A1B1C1 所成的角是 45°．则球 O 的表面积是（）
7π7π
A.B.
36
14π7π
C.D.
312
二、多选题（每小题 6 分，共 18 分；全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0
分.）
小胡同学参加射击比赛，打了 8 发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（ ）
这组数据的众数为 9B. 这组数据的40% 分位数是 7.5
2
C. 这组数据的极差是 4D. 这组数据的标准差是
有下列说法，其中错误的说法为（）.
λ、μ为实数，若λa  μb ，则a 与b 共线
若 a / /b 、b / /c ，则 a / /c
两个非零向量a 、b ，若| a  b || a  b |，则a 与b 垂直
若2OA  OB  3OC  0 ， SV AOC 、 SV ABC 分别表示△AOC 、V ABC 的面积，则 S△AOC : S△ABC  1: 6
已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1，E 是 DD1 的中点，则下列选项中正确的是（）
AC⊥B1E
B1C∥平面 A1BD
1
三棱锥 C1﹣B1CE 的体积为 3
异面直线 B1C 与 BD 所成的角为 45°
第Ⅱ卷（非选择题共 92 分）三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
已知直线l1 : x +ay +1 = 0, l2 :(a - 1) x +2 y - 2 = 0 ．若l1//l2 ，则实数 a 的值为．
已知某运动员每次投篮命中的概率是 40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 1，2，3，4 表示命中， 0, 5, 6, 7,8, 9 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下 10 组随机数：
204 978 171 935 263 321 947 468 579 682，
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为．
如图，在正方体 ABCD  A1B1C1D1 中， AB  4, E, F 分别是棱CD, A1D1 的中点，则正方体 ABCD  A1B1C1D1 被平面 AEF 所截得的截面周长是.
四、解答题（本题共 5 小题，77 分.解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤.）
→
已知向量 a  1, 2, b  3, k  .
→
若 a ∥ b ，求 b 的值；
→→→
若 a  a  2b ，求实数 k 的值；
若 a 与b 的夹角是钝角，求实数 k 的取值范围.
在V ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c .且满足 a  b cs C 
3 c sin B .
3
（Ⅰ)求角 B ；
（Ⅱ)若V ABC 的面积为
5 3
4
3
， a  c  3
，求边b .
在三棱锥 P  ABC 中，平面 PAC  平面 ABC ， VPAC 是边长为 2 的正三角形， AB  2 ，
BC  2 2 .
证明： AB  PC ；
求二面角 P  BC  A 的余弦值.
江门市某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩．经统计，这批学生的成绩全部介于 50 至 100 之间，将数据按照50, 60 ， 60, 70 ， 70,80 ， 80, 90 ， 90,100 的分组作出频率分布直方图如图所示．
求频率分布直方图中 a 的值，并估计本次竞赛成绩的第 80 百分位数：
若按照分层随机抽样的方法从成绩在60, 70 ， 80, 90 的两组中抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 3 人，求至少有 2 人的成绩在60, 70 内的概率．
如图，设Ox ， Oy 是平面内相交成θ0 θ π 角的两条数轴， → ， → 分别是与 x 轴， y 轴正方向同
e1e2
向的单位向量，则称平面坐标系 xOy 为θ仿射坐标系，若在θ仿射坐标系下OM 
→
ae1 
→
be2 ，则把有序数
对a, b 叫做向量OM 的仿射坐标，记为OM  a, b .在仿射坐标系中，向量的加减法、数乘运算的坐标运算规律和直角坐标系一致.已知在θ仿射坐标系下OP  2,1 ， OQ  1, 2 .
当θ π 时，求sin∠POQ ；
2
当θ π 时，求csOP, OQ ；
3
π
如图，在θ仿射坐标系中， B ， C 分别在
3
x 轴，
–––→–––→
y 轴正半轴上， OB  2 OC
 6 ，
OC  3OD ， E ， F 分别为 BD ， BC 的中点，求OE  OF .
注意事项：
2025-2026 暑期开学考联考
高二年级数学试题
考试时间：120 分钟；总分值：150 分
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题共 58 分）一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.）
【1 题答案】
【答案】B
【2 题答案】
【答案】A
【3 题答案】
【答案】A
【4 题答案】
【答案】B
【5 题答案】
【答案】C
【6 题答案】
【答案】D
【7 题答案】
【答案】A
【8 题答案】
【答案】A
二、多选题（每小题 6 分，共 18 分；全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0
分.）
【9 题答案】
【答案】ACD
【10 题答案】
【答案】AB
【11 题答案】
【答案】AB
第Ⅱ卷（非选择题共 92 分）
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
【12 题答案】
【答案】2
【13 题答案】
3
【答案】
10
##0.3
【14 题答案】
5
17
【答案】5
四、解答题（本题共 5 小题，77 分.解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤.）
【15 题答案】
5
【答案】（1） 3
（2） k  1
4
k  3 且 k  6
2
【16 题答案】
3
【答案】（Ⅰ) B  π；（Ⅱ) b  2
3
【17 题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2） 7
7
【18 题答案】
【答案】（1） a  0.020 ，估计本次竞赛成绩的第 80 百分位数为 85；
7
（2）
10
【19 题答案】
【答案】（1）1（2） 21
14
–––→ –––→51
（3） OE  OF .
4