河南省开封市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

这是一份河南省开封市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 4 页 ,满分 150 分 ,考试时间 120 分钟。答题前 ,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上 ,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
回答选择题时 ,选出每小题答案后 ,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动 ,用橡皮擦干净后 ,再选涂其他答案标号。回答非选择题时 ,将答案写在答题卡上对应的答题区域内 ,写在本试卷上无效。
考试结束后 ,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题 ,每小题 5 分 ,共 40 分。在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的。
已知等比数列 12 ,6 ,3 ,… ,则该等比数列的第 6 项是
3131
B.C.D.
8161632
若随机变 量 X 服从正态分布 N (μ ,σ2 ),则 P( X 3)D. P( -1b>0 的左 右焦点 点A 在C 上 AF2 垂直
于x 轴 ,且|AF |=5 ,|AF |=3.
1222
求 C 的方程;
若 B 为椭圆 C 的右顶点 ,过( 2 ,1 ) 的直线与椭圆交于不同的两点 M (x1 ,y1 ),
N(x2 ,y2 ),且 x1 >x2 .
求证:直线 BM 与直线BN 的斜率之和为定值;
过 M 与x 轴垂直的直线交直线BN 于点H ,求 MH 中点的轨迹方程.
2024--2025 学年第二学期期末调研试卷高二数学参考答案
注意事项：答案仅供参考，其他合理答案也可酌情给分。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
A
C
D
B
D
题号
9
10
11
答案
ACD
AB
BD
12． 
2
1
13．
2
14． 64
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13 分）
记等差数列an 的公差为d ，则a2 =a1+d =6 ， a6 =a1+5d =2 ，………2 分
解之得a1 =7 ， d = 1 ，所以a8 =a1 +7d =06 分
a =a +n 11=8  n ， S =na + n n 1 d =  1 n2 + 15 n ，9 分
n1n1
222
所以 1 n2 + 15 n=8  n ，即 n2 17n+16=0 ，解之得n=1或n=1613 分
22
16.（15 分）
（1） f (x)  1  1 = x 1 ，曲线 y  f  x 在点 x ，f  x  处切线的斜率为 f (x )  x0 1 ，………3 分
x
xx2x2
0002
0
由已知得 x0 1=0 ，所以 x0 =16 分
x
0,1
1
1, +
f (x)

0
+
f  x
单调递减
0
单调递增
（2） f  x 的定义域为0, + ，当 x 变化时， f (x)，f  x 的变化情况如表所示：7 分
………13 分
所以，当 x=1时， f  x 取得最小值，最小值为 f 1  015 分 17.（15 分）
设 A= “摸出的球颜色不同”，红球个数为a+1，白球个数为a ，则n  2a 1，1 分
C1 C13
C
2
所以 P( A)  a a1 = ，即
2a15
2a a+1
2a 2a+1
= 3 ，解之得a=2 ，………5 分
5
所以红球有 3 个，白球有 2 个，一共有 5 个球， n=56 分
1
随机摸出每个球的概率都为 5 ，依题意， X 的可能取值为 1,2,3，………8 分
P( X  1)  1 1 31 ， P( X  2)  2C2  2 1 2  1 = 12 ， P( X  3) 3 1 3 12 ，
C5 (5) = 25
X 的分布列如表所示：
5 C3 (5)

525
A5 (5) = 25
X
1
2
3
P
1
12
12
25
25
25
………13 分
所以 X 的均值为： E( X )  1 1 +2 12 +3 12 = 6115 分
25252525
18.（17 分）
因为平面ABCD  平面ABEF ，所以平面ABCD与平面ABEF 所成的二面角为90∘ ，………1 分又 BC  AB，BE  AB ，依据二面角的平面角的定义CBE=90∘ ，所以 BC  BE4 分
如图，分别以 BA, BE, BC为x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Bxyz ，5 分
则A1,0,0，B 0,0,0，C 0,0,1，F 1,1,0 ,
AC  1,0,1，BF  1,1,0，BA= 1,0,0 ,6 分

= 1，
①若 AC=BF
，则=0， 无解，

0=1
所以直线 AC 与直线 BF 不平行；………7 分
②若直线 AC 与直线 BF 相交，记它们所确定的平面为，因为 A ，B ，所以 AB ，
1 +2 =1，
设 BA=AC+ BF ，即=0，无解，所以直线 AC 与直线 BF 不相交；………8 分
12 2
=0
 1
由于空间两条直线仅有三种位置关系：平行，相交，异面，所以 AC 与 BF 是异面直线9 分
记 M，N 分别为异面直线 AC ， BF 上任意一点，设 AM =x AC ， BN =yBF ， x，y  R ，
由 AM =x AC 可得 M x+1,0, x ，由 BN =yBF 可得 N  y, y, 0 ，则 MN = y+x 1, y, x ，11 分
由 MN  BF 可得 y+x 1+y=0 ，即 x=1 2y ，12 分
6 y  3   3
1 2
1

––––→
6 y2  4 y+1
所以 MN =
 y+x 12 +y2 +x2 =

，………15 分
所以当 x=y= 1
3
––––→
3
时， MN 取最小值为
3
，所以异面直线 AC 与 BF 之间的距离为
3
.………17 分
3
19.（17 分）
由题意得AF1F2 为直角三角形，
所以 F F 2  AF 2  AF 2  25  9  4 , F F  2 , c  11 分
1 212441 2
由于 2a  AF  AF  5  3  4 ，所以 a  22 分
1222
3
又 a2  b2  c2 ，所以b 3 分
x2y2
故椭圆C 的方程为:
 14 分
43
（2）(i) M (x1, y1)， N (x2, y2 ) ,设 MN 所在直线l 的斜率为 k ，
l ： y 1  k(x  2)，即 y  kx  2k 1.把 y  kx  2k 1代入椭圆C 得：………5 分
(3  4k 2 )x2  8k (1 2k )x 16k 2 16k  8  0 ，由  0 ,可得 k   1 ，………6 分
2
x1  x2 
16k 2  8k
3  4k 2
， x1x2 
16k 2 16k  8
3  4k 2
，………7 分
所以k ky1y2 kx1  2k 1 kx2  2k 1  2k  11
BMBN
x  2
x  2
x  2
x  2
x  2
x  2
121212
 2k 
x1  x2  4 (x1  2)(x2  2)
 2k 
x1  x2  4
x1x2  2(x1  x2 )  4

16k 2  8k
4
3  4k 2
2k  16k 2 16k  816k 2  8k 3.
3  4k 2 2 3  4k 2  4
综上： kBM  kBN 为定值-310 分
(ii)因为点 H 在直线 BN 上，所以 kBH  kBN ,由于 kBM  kBN  3 ，所以 kBM  kBH  311 分
y  y
y1  yH
设点 H 的纵坐标为 yH ,则 MH 的中点为 E (x1 , 1H ) ,因为 k 2 ，………12 分
2BEx  2
1
k ky1yH y1  yH , k k 2k，所以 k  3 ，………14 分
BMBH
x  2
x  2
x  2
BMBHBE
BE2
111
所以点 E 在直线 y   3 x  3 上，………15 分
2
又因为过(2,1) 的直线与椭圆C 的切点分别为 A(1, 3) ， B(2, 0)，
2
所以点 E 的轨迹为除去 A，B 两端点的线段16 分
综上： MH 中点的轨迹方程为 y   3 x  3, (x (1, 2))17 分
2