2025-2026学年广西南宁三十三中高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年广西南宁三十三中高二（上）开学数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|−1≤x≤3}，B={x|x≤0,x∈Z}，则A∩B=( )
A. [−1,0]B. {0,1,2,3}C. [0,3]D. {−1,0}
2.已知复数z满足z=3−i1−i，则复数z的虚部为( )
A. 2iB. iC. 2D. 1
3.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b⋅csC=2a+c，若b=3，则△ABC的外接圆面积为( )
A. π48B. π12C. 12πD. 3π
4.已知a=(1, 3)，|b|=2，若a⊥(a−2b)，则a，b的夹角为( )
A. π6B. π4C. π3D. 2π3
5.已知函数f(x)=lg2x+a,x>04x−2−1,x≤0.，若f(a)=3，则f(a−2)=( )
A. −1516B. 3C. −6364或3D. −1516或3
6.如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB=mAM，AC=nAN，则m+n的值为( )
A. 1
B. 2
C. −2
D. 94
7.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为线段AD1上一动点，求|MB|+|MD|的最小值( )
A. 2 1+ 3B. 2 2+ 2C. 2 3−1D. 2 2− 2
8.已知正三棱锥A−BCD的底面△BCD的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为 33，则正三棱锥A−BCD外接球的体积为( )
A. 81 6πB. 27 6πC. 18 6πD. 9 6π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设正实数a，b满足a+b=2，则下列说法正确的是( )
A. ba+2b的最小值为3B. ab的最大值为1
C. a+ b的最小值为2D. a2+b2的最小值为2
10.射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为12，23.记事件A为“两人都击中”，事件B为“至少1人击中”，事件C为“无人击中”，事件D为“至多1人击中”则下列说法正确的是( )
A. 事件A与C是互斥事件B. 事件B与D是对立事件
C. 事件C与D相互独立D. P(A∪B)=56
11.如图，已知在直三棱柱ABC−A1B1C1中，F为A1C1的中点，E为棱BB1上的动点，AA1=2，AB=2，BC=3 2，AC=4，则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥A1−AEF的体积为定值
B. 该直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积为146π7
C. 当三棱锥A1−AEF的外接球的半径最小时，直线EF与AA1所成角的余弦值为 24
D. 若E是棱BB1的中点，过A，E，F三点的平面作该直三棱柱ABC−A1B1C1的截面，则所得截面的面积为 15
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一组数据x1，x2，⋯，xn的平均数是2，方差为6，则数据x1−1，x2−1，⋯，xn−1的平均数是______，方差是______．
13.在三棱柱ABC−A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是______．
14.甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中10环，9环，8环的概率分别是13,13,13，乙命中10环，9环，8环的概率分别是18,14,58，任意两次射击相互独立.现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击一次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，则恰好进行3轮射击后，比赛结束的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(cs2x,2csx)，b=(2 3,sinx)，函数f(x)=a⋅b．
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，再向右平移π12个单位得到g(x)的图象，求g(x)在[−π12,π6]上的值域．
16.(本小题15分)
这么近，那么美，周末到河北.“五一”小长假过后，为更好地提升旅游品质，邯郸东太行旅游度假区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分(满分100分)，将评分绘制成频率分布直方图，请根据下面尚未完成的频率分布直方图解决下列问题．
(1)根据频率分布直方图，求x的值；
(2)估计这100名游客对景区满意度评分的中位数；
(3)若工作人员从这100名游客中随机抽取了5名，其中评分在[50,60)内的有2人，评分在[70,80)内的有3人.现从这5人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分均在[70,80)内的概率．
17.(本小题15分)
在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AD⊥AB，AD=2BC，E为PD的中点，如图所示．
(1)证明：CE//平面PAB；
(2)若△PAB为等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，AB=AD=2，求二面角P−AC−E的余弦值．
18.(本小题17分)
已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 3acsC= 3b−csinA．
(1)求角A；
(2)已知直线AM为∠BAC的平分线，且与BC交于点M，若a=4，AM=2 23，求△ABC的周长．
19.(本小题17分)
已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcsx称向量OM=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量，同时称函数f(x)为向量OM的相伴函数．
(1)设函数g(x)=sin(x+5π6)−sin(3π2−x)，试求g(x)的相伴特征向量OM；
(2)已知OT=(− 3,1)为ℎ(x)=msin(x−π6)的相伴特征向量，φ(x)=ℎ(x2−π3)，求函数y=φ(x)的对称轴．
(3)记向量ON=(1, 3)的相伴函数为f(x)，求当f(x)=85且x∈(−π3,π6)，sinx的值．
参考答案
1.D
2.D
3.D
4.C
5.A
6.B
7.B
8.B
9.ABD
10.AD
11.ACD
12.1 6
13.60°
14.427
15.(1)因为向量a=(cs2x,2csx)，b=(2 3,sinx)，
函数f(x)=a⋅b=2 3cs2x+2sinxcsx= 3cs2x+sin2x+ 3
=2sin(2x+π3)+ 3，
令π2+2kπ⩽2x+π3⩽3π2+2kπ,(k∈Z)，解得π12+kπ⩽x⩽7π12+kπ,(k∈Z)，
即f(x)的单调递减区间为[π12+kπ,7π12+kπ]，k∈Z；
(2)由题可知g(x)=2sin4x+ 3，
因为x∈[−π12,π6]，所以4x∈[−π3,2π3]，
则g(x)=2sin4x+ 3∈[0,2+ 3]，
即g(x)=2sin4x+ 3在[−π12,π6]上的值域为[0,2+ 3]．
16.(1)根据题意可知，0.02+10x+0.18+0.25+0.4=1，可得x=0.015，
(2)由0.02+0.15+0.18=0.350.5，
所以中位数在[80,90)之间，设中位数为a，那么(a−80)×0.025=0.5−0.35，
解得a=86，所以中位数为86；
(3)设在[50,60)中抽取的2人分别为a，b；在[70,80)中抽取的3人分别为C，D，E；
从这5人中随机抽取2人，则样本空间为：
{(a,b)，(a,C)，(a,D)，(a,E)，(b,C)，(b,D)，(b,E)，(C,D)，(C,E)，(D,E)}，共有10个基本事件，
设选取的2人评分均在[70,80)内为事件A，
则A中包含(C,D)，(C,E)，(D,E)3个基本事件，所以P(A)=310．
17.(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF，
因为E是PD的中点，所以EF//AD，AD=2EF，
又AD//BC，AD=2BC，
所以EF//BC，EF=BC，
所以四边形BCEF是平行四边形，所以BF//CE，
又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，
所以CE//平面PAB．
(2)解：取AB的中点O，连接OP，
因为△PAB为等边三角形，所以OP⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，OP⊂平面PAB，
所以OP⊥平面ABCD，
以A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，作Az//OP，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，C(2,1,0)，D(0,2,0)，P(1,0, 3)，E(12,1, 32)，
所以AP=(1,0, 3)，AC=(2,1,0)，AE=(12,1, 32)，
设平面PAC的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AP=x+ 3z=0n⋅AC=2x+y=0，
取z=1，则x=− 3，y=2 3，所以n=(− 3,2 3,1)，
设平面ACE的法向量为m=(a,b,c)，则m⋅AC=2a+b=0m⋅AE=12a+b+ 32c=0，
取a=1，则b=−2，c= 3，所以m=(1,−2, 3)，
所以cs=m⋅n|m|⋅|n|=− 3−4 3+ 32 2×4=− 64，
由图知，二面角P−AC−E为锐角，
故二面角P−AC−E的余弦值为 64．
18.解：(1)由 3acsC= 3b−csinA及正弦定理，
可得 3sinAcsC= 3sinB−sinCsinA，
即 3sinAcsC= 3sin(A+C)−sinCsinA，
即 3csAsinC=sinCsinA，又因为sinC≠0，
所以sinA= 3csA，即tanA= 3，
又因为A∈(0,π)，则A=π3；
(2)在△ABC中，由S△ABC=S△ABM+S△ACM，
可得12bcsin∠BAC=12AM⋅c⋅sin∠BAM+12AM⋅b⋅sin∠CAM，
又因为直线AM为∠BAC的平分线，则∠BAM=∠CAM=12∠BAC=π6，
所以12bc× 32=12×2 23c×12+12×2 23b×12，
整理得3bc=2 63(b+c)，
又由余弦定理，可得cs∠BAC=b2+c2−a22bc，
即b2+c2−bc=16，
则有16=(b+c)2−3bc=(b+c)2−2 63(b+c)，
解得b+c=2 6或b+c=−4 63(舍)，
所以△ABC的周长为2 6+4．
19.(1)由题意得g(x)=− 32sinx+12csx+csx=− 32sinx+32csx，
所以g(x)的相伴特征向量OM=(− 32,32)；
(2)ℎ(x)=msin(x−π6)= 32msinx−12mcsx，
由OT=(− 3,1)为ℎ(x)=msin(x−π6)的相伴特征向量，可知 32m=− 3且−12m=1，解得m=−2，
所以φ(x)=ℎ(x2−π3)=−2sin[(x2−π3)−π6]=2csx2，
令x2=kπ,k∈Z⇒x=2kπ,k∈Z，可得y=φ(x)图象的对称轴为x=2kπ，k∈Z；
(3)因为向量ON=(1, 3)的相伴函数为f(x)，
所以f(x)=sinx+ 3csx=2sin(x+π3)，
若f(x)=85，则2sin(x+π3)=85，即sin(x+π3)=45，
根据x∈(−π3,π6)，可得x+π3∈(0,π2)，所以cs(x+π3)= 1−sin2(x+π3)=35，
可得sinx=sin[(x+π3)−π3]=12sin(x+π3)− 32cs(x+π3)=4−3 310．