2025-2026学年河北省承德市双滦实验中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年河北省承德市双滦实验中学高二（上）开学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知平面向量a=(1,2)，b=(m,−1).若(a−b)⊥(a+b)，则m=( )
A. 1B. −2C. 2D. ±2
2.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，CC1=3，则四棱锥D1−ABCD的体积为( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 10
3.记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB=sinA(sinC+csC)，且a= 6,c=3，则C=( )
A. π12B. π6C. π4D. π3
4.将函数f(x)=csx−sinx的图象向左平移φ(0CD
10.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB/​/CD，AB=5，AD=3，CD=1，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则( )
A. 该几何体为圆台B. 该几何体的母线长为5
C. 该几何体的体积为93πD. 该几何体的表面积为56π
11.已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，则( )
A. ω=2B. f(x+π12)=csωx
C. f(x)在[0,π3]上单调递减D. f(x)的图象关于直线x=7π12对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(−1,0)，向量b=(1,2)，则b在a上的投影向量是______(注：本题答案用坐标表示)．
13.已知α,β∈(π2,π)，sinα= 1313，cs(α+β)=5 1326，则β= ______．
14.如图，圆锥PO的底面半径为3，高为3 3，过PO靠近P的三等分点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的序号有______．
①圆锥母线与底面所成的角为π3
②圆锥PO的侧面积为27π
③挖去圆柱的体积为2 3π
④剩下几何体的表面积为(27+4 3)π
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=2 2，PB=2 3，且PB⊥底面ABCD，E，M，N分别为棱PB，AB，BC的中点．
(Ⅰ)求证：平面MNE⊥平面PBD；
(Ⅱ)求二面角E−MN−B的大小．
16.(本小题15分)
已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足bsinB−asinA=c(sinC+sinA)，E是AC的中点，AB=1，BC=2．
(1)求B；
(2)求△ABC的面积；
(3)求线段BE的长度．
17.(本小题15分)
已知向量a=(−3,1)，b=(1,−2)，m=a+kb，其中k∈R．
(Ⅰ)求a·b及向量a，b夹角的余弦值；
(Ⅱ)若向量m与向量2a−b垂直，求实数k的值；
(Ⅲ)若向量c=(1,−1)，且向量m与向量kb+c平行，求实数k的值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)．
(1)若f(x)的最小正周期为π2．
(i)求f(x)的单调递增区间和f(x)图象的对称中心；
(ii)若α∈(π3,5π6)，且f(α4)=7 25，求csα的值；
(2)若f(x)在区间[0,π2]上的值域为[1,2]，求ω的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA=AD=2.四边形ABCD满足BC//AD，AB⊥AD，AB=BC=1.F为侧棱PC上的任意一点，且平面ADF与侧棱PB交于点E．
(1)求证：平面EFP⊥平面PAB；
(2)设直线AF与平面PAB所成的角为α，求sinα的最大值；
(3)是否存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF的长；若不存在，请说明理由．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：因为a=(1,2)，b=(m,−1)，所以a−b=(1−m,3),a+b=(m+1,1)，
又因为(a−b)⊥(a+b)，
所以(a−b)⋅(a+b)=(1−m)(m+1)+3=0，所以1−m2+3=0，
解得m=±2．
故选：D．
利用向量线性运算的坐标表示与向量数量积的坐标表示计算即可．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：长方体ABCD−A1B1C1D1中，DD1⊥底面ABCD，AB=BC=2，CC1=3，
∴四棱锥D1−ABCD的体积为V=13S矩形ABCD⋅CC1=13×2×2×3=4．
故选：B．
利用棱锥的体积公式求解即可．
本题考查了长方体的结构特征与应用问题，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由于sinB=sinA(sinC+csC)，B=π−(A+C)，
可得sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC=sinAsinC+sinAcsC，
所以csAsinC=sinAsinC，
由于△ABC是锐角三角形，C∈(0,π2)，可得sinC≠0，
所以csA=sinA，可得tanA=1，
又由于A∈(0,π2)，可得A=π4，
因为a= 6,c=3,A=π4，
可得 6sinπ4=3sinC，
可得 6 22=3sinC，可得sinC=3× 22 6=3 22 6=3 22 2× 3= 32，
由于a