2025-2026学年河北省承德市双滦实验中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年河北省承德市双滦实验中学高二（上）开学数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知平面向量a=(1,2)，b=(m,−1).若(a−b)⊥(a+b)，则m=( )
A. 1B. −2C. 2D. ±2
2.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，CC1=3，则四棱锥D1−ABCD的体积为( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 10
3.记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB=sinA(sinC+csC)，且a= 6,c=3，则C=( )
A. π12B. π6C. π4D. π3
4.将函数f(x)=csx−sinx的图象向左平移φ(0CD
10.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB/​/CD，AB=5，AD=3，CD=1，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则( )
A. 该几何体为圆台B. 该几何体的母线长为5
C. 该几何体的体积为93πD. 该几何体的表面积为56π
11.已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，则( )
A. ω=2B. f(x+π12)=csωx
C. f(x)在[0,π3]上单调递减D. f(x)的图象关于直线x=7π12对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(−1,0)，向量b=(1,2)，则b在a上的投影向量是______(注：本题答案用坐标表示)．
13.已知α,β∈(π2,π)，sinα= 1313，cs(α+β)=5 1326，则β= ______．
14.如图，圆锥PO的底面半径为3，高为3 3，过PO靠近P的三等分点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的序号有______．
①圆锥母线与底面所成的角为π3
②圆锥PO的侧面积为27π
③挖去圆柱的体积为2 3π
④剩下几何体的表面积为(27+4 3)π
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=2 2，PB=2 3，且PB⊥底面ABCD，E，M，N分别为棱PB，AB，BC的中点．
(Ⅰ)求证：平面MNE⊥平面PBD；
(Ⅱ)求二面角E−MN−B的大小．
16.(本小题15分)
已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足bsinB−asinA=c(sinC+sinA)，E是AC的中点，AB=1，BC=2．
(1)求B；
(2)求△ABC的面积；
(3)求线段BE的长度．
17.(本小题15分)
已知向量a=(−3,1)，b=(1,−2)，m=a+kb，其中k∈R．
(Ⅰ)求a·b及向量a，b夹角的余弦值；
(Ⅱ)若向量m与向量2a−b垂直，求实数k的值；
(Ⅲ)若向量c=(1,−1)，且向量m与向量kb+c平行，求实数k的值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)．
(1)若f(x)的最小正周期为π2．
(i)求f(x)的单调递增区间和f(x)图象的对称中心；
(ii)若α∈(π3,5π6)，且f(α4)=7 25，求csα的值；
(2)若f(x)在区间[0,π2]上的值域为[1,2]，求ω的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA=AD=2.四边形ABCD满足BC//AD，AB⊥AD，AB=BC=1.F为侧棱PC上的任意一点，且平面ADF与侧棱PB交于点E．
(1)求证：平面EFP⊥平面PAB；
(2)设直线AF与平面PAB所成的角为α，求sinα的最大值；
(3)是否存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D
2.B
3.D
4.C
5.B
6.A
7.C
8.C
9.BC
10.ABD
11.ABD
12.(1,0)
13.5π6
14.①③④
15.解：(Ⅰ)证明：∵PB⊥底面ABCD，MN⊂平面ABCD，
∴PB⊥MN，
如图，连接AC，

∵底面ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
∵M，N分别为棱AB，BC的中点，
∴MN//AC，∴BD⊥MN，
又PB∩BD=B，PB，BD⊂平面PBD，
∴MN⊥平面PBD，
∵MNC平面MNE，
∴平面MNE⊥平面PBD．
(Ⅱ)如图，设MN∩BD=F，AC∩BD=O，连接FE，则F为线段OB的中点，
易知平面EMN∩平面BMN=MN，
由(Ⅰ)知BD⊥MN，MN⊥平面PBD，EF⊂平面PBD，
∴MN⊥FE，
∴∠EFB为二面角E−MN−B的平面角，
又PB⊥底面ABCD，BE=12PB= 3，
FB=14BD=14× (2 2)2+(2 2)2=1，
∴tan∠EFB=BEFB= 3，
∴∠EFB=π3．
16.(1)∵bsinB−asinA=c(sinC+sinA)
∴根据正弦定理得，b2−a2=c(c+a)
又∵a=2，c=1，∴b= 7，
根据余弦定理得，csB=a2+c2−b22ac=4+1−72×2×1=−12
又∵B∈(0,π)，∴B=2π3；
(2)S△ABC=12acsinB=12×2×1× 32= 32；
(3)∵E是AC中点，
∴BE=12(BA+BC)，
∴|BE|2=14(BA+BC)2
=14(BA2+BC2+2|BA||BC|csB)
=14(12+22−2×2×1×12)=34
∴BE= 32．
17.解：(Ⅰ)由已知可得，a⋅b=−3−2=−5，
又|a|= 10，|b|= 5，
所以cs⟨a,b⟩=a⋅b|a||b|=−5 10× 5=− 22；
(Ⅱ)由已知可得，2a−b=2(−3,1)−(1,−2)=(−7,4)，m=a+kb=(−3,1)+(k,−2k)=(k−3,−2k+1)，
又向量m与2a−b垂直，
所以m⋅(2a−b)=0，
即−7(k−3)+4(−2k+1)=−15k+25=0，
解得k=53；
(Ⅲ)由已知可得，kb+c=k(1,−2)+(1,−1)=(k+1,−2k−1)，
又m与向量kb+c平行，m=(k−3,−2k+1)，
所以(k−3)(−2k−1)−(−2k+1)(k+1)=0，
解得k=−13．
18.(1)若f(x)的最小正周期T=2πω=π2，则ω=4，可得f(x)=2sin(4x+π6)，
(i)令−π2+2kπ≤4x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得f(x)的单调递增区间为[−π6+kπ2,π12+kπ2](k∈Z)；
令4x+π6=kπ，k∈Z，解得x=−π24+kπ4，k∈Z，
所以f(x)图象的对称中心为(−π24+kπ4,0)(k∈Z)．
(ii)根据f(α4)=2sin(α+π6)=7 25，可得sin(α+π6)=7 210，
因为α+π6∈(π2,π)，所以cs(α+π6)=− 1−sin2(α+π6)=− 210，
可得csα=cs[(α+π6)−π6]=cs(α+π6)csπ6+sin(α+π6)sinπ6
=− 210× 32+7 210×12=7 2− 620；
(2)当x∈[0,π2]时，ωx+π6∈[π6,π2ω+π6]，
因为f(x)在区间x∈[0,π2]上的值域为[1,2]，
所以π2≤π2ω+π6≤5π6，解得23≤ω≤43，可得实数ω的取值范围是[23,43]．
19.(1)证明：因为BC//AD，BC⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，
所以BC//平面ADE，
又因为BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ADE=EF，所以EF//BC．
因为BC//AD，所以EF/​/AD．
因为平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，平面PAC∩平面ABCD=AC，PA⊂平面PAC，
所以PA⊥平面ABCD，又因为AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，
又因为AB⊥AD，PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，
所以AD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB，
因为EF⊂平面EFP，
所以平面EFP⊥平面PAB；
(2)由(1)知EF⊥平面PAB，
所以∠EAF即直线AF与平面PAB所成的角为α，
且sinα=EFAF，设EF=x，则AF= 6x2−8x+4，
则sinα=x 6x2−8x+4=1 4(1x)2−81x+6，
则当x=1时，sinα取到最大值 22．
(3)存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直．
在平面PCA中，过点A作AF⊥PC，垂足为F，
因为由已知AB⊥AD，BC//AD，AB=BC=1，AD=2．
所以AB2+BC2=AC2=2，AC=CD= 2，AC2+CD2=AD2，得CD⊥AC，
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，且PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，
所以CD⊥平面PAC，又AF⊂平面PAC，所以CD⊥AF．
又因为CD∩PC=C，CD，PC⊂平面PCD，
所以AF⊥平面PCD．
在△PAC中，PA=2,AC= 2,∠PAC=90°，
所以PC= PA2+AC2= 6,AF=PA⋅ACPC=2 3,PF= PA2−AF2=2 63．
所以PC上存在点B使得直线AF与平面PCD垂直，此时线段PF的长为2 63．