2025-2026学年山东省夏津第一中学高二上学期开学考试数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年山东省夏津第一中学高二上学期开学考试数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知α，β为两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是( )
A. 若α//β，m⊂α，l⊂β，则m//lB. 若m⊥β，α⊥β，则m//α
C. 若l⊥α，l⊥β，则α//βD. 若α//β，m//α，则m//β
2.已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=2AB，则异面直线AC与BC1所成角的余弦值为( )
A. 64B. 55C. 104D. 105
3.在直角▵ABC中，斜边AC=3，直角边BC=1.若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.则该几何体的体积为( )
A. 2 2π3B. 4 2π3C. 2 3π3D. 8 3π3
4.在空间直角坐标系Oxyz中，点M(−1,4,2)关于平面xOz对称的点的坐标是( )
A. (1,4,2)B. (1,−4,−2)C. (−1,−4,2)D. (−1,4,−2)
5.下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A. 单位向量都相等
B. 若a→//b→，b→//c→，则a→//c→
C. 若向量AB，CD满足AB>CD，则AB>CD
D. 若a=b，b=c，则a=c
6.在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，已知正方体的棱长为2，PR=13PQ，则点R的坐标为( )
A. 23,2,43B. 13,2,13C. (1,2,1)D. 43,2,43
7.已知空间向量a=(0,2,1)，b=(−1,2,0)，若a−kb⊥a+kb，则k的值为( )
A. 1或−1B. 2或−2C. 1或−2D. 2或−1
8.如图，在空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且|OM|=2|MA|，N为BC的中点，则MN等于( )
A. 12a−23b+12cB. 23a+23b−12c
C. −23a+12b+12cD. 12a+12b−12c
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(多选)若A,B,C,D为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是( )
A. AB+2BC+2CD+DCB. 2AB+2BC+3CD+3DA+AC
C. AB+DA+BDD. AB−CB+CD−AD
10.已知向量a=(4,−2,−4)，b=(6,−3,2)，则下列结论正确的是( )
A. a+b=(10,−5,−2)B. a−b=(2,−1,6)
C. a⋅b=22D. a=6
11.如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱ABC−A1B1C1，AB⊥BC，|BA|=|BC|=BB1=2，F是棱CC1的中点，则( )
A. A(2,0,0)B. C(2,0,0)C. C1(2,0,0)D. F(0,2,1)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.A(0,0,1),B(2,−1,3)在直线l上，则直线l的一个方向向量为 ．
13.如果两个向量a→,b→不共线，那么向量p与向量a→,b→共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y)，使p= ．
14.在圆台O1O2中，圆O2的半径是圆O1半径的2倍，且O2恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a=(2,−2,2),a+b=(6,−3,2)．
(1)求向量b的坐标；
(2)若(ka→+b→)//(a→−2b→)，求k的值．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，E，F分别为AB，PC的中点，求证：直线EF//平面PAD．
17.(本小题15分)
如图，已知正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为1，M和N分别是BB′和CA′的中点．
(1)求CA′⋅AB的值；
(2)求证：MN⊥BB′；
(3)求直线BC′和MN所成角的大小．
18.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=120∘，F为CD的中点，PB=2，以B为坐标原点，BA的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出D，F两点的坐标；
(2)求异面直线PD与BF所成角的余弦值．
19.(本小题17分)
如图，三棱锥P−ABC各棱长均为1，侧棱上的D，E，F满足PD=DA，BEBP=PFPC=λ，线段BC上的点G满足AG//平面DEF，点Q在PC上，AQ//DF．

(1)求证：平面AQG//平面DEF；
(2)求证：QG//EF；
(3)若GC=2BG，求λ的值．
参考答案
1.C
2.D
3.A
4.C
5.D
6.D
7.A
8.C
9.BCD
10.ACD
11.AD
12.(2,−1,2)
13.xa+yb
14.3:8
15.(1)由a=(2,−2,2),a+b=(6,−3,2)，得b=a+b−a=(4,−1,0)．
(2)由(1)知b=(4,−1,0)，
所以ka+b=(2k+4,−2k−1,2k)，a−2b=(−6,0,2)，
又(ka→+b→)/\!/(a→−2b→)，则ka+b=λa−2b,λ≠0，
即(2k+4,−2k−1,2k)=λ(−6,0,2)，
所以2k+4=−6λ−2k−1=02k=2λ ⇒k=−12λ=−12,
则k=−12．

16.取PD的中点G，连接AG,FG．
因为F为PC的中点，所以FG//CD且FG=12CD，
因为底面ABCD为正方形，E为AB中点，所以AE//CD且AE=12CD，
所以FG//AE且FG=AE，所以四边形AGFE为平行四边形，所以EF//AG．
因为AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
所以直线EF//平面PAD．

17.(1)由题易知AB⊥BC,AA′⊥AB，
所以CA′⋅AB=AB⋅CB+BA+AA′=0−1+0=−1．
(2)证明：因为M和N分别是BB′和CA′的中点，则N为B′D的中点，
所以MN/\!/BD且MN=12BD，即MN=12BD，
所以BB′⋅MN=BB′⋅12BD=12BA+BC⋅BB′
=12BA⋅BB′+BC⋅BB′=12×(0+0)=0，
所以MN⊥BB′．
(3)设直线BC′和MN所成角为θ，
又BC′⋅MN=BC+CC′⋅12BD=12BC+CC′⋅BA+BC
=12BC⋅BA+BC⋅BC+CC′⋅BA+CC′⋅BC=12×(0+1+0+0)=12，
BC′= 2,MN= 22，则csθ=BC′⋅MNBC′MN=12，
所以BC′和MN所成的角为60°．

18.(1)在菱形ABCD中，∠ABC=120∘，则∠BAD=60∘，
易知▵ABD与▵BDC为等边三角形，则BD=2，
在等边▵BCD中，F为CD的中点，则DF=12CD=1，BF⊥CD，
在Rt▵BDF中，BF= BD2−DF2= 3，
所以F0, 3,0，D1, 3,0．
(2)由P(0,0,2)，D1, 3,0，B(0,0,0)，F0, 3,0，
则PD=1, 3,−2，BF=0, 3,0，
所以PD⋅BF=0+3+0=3，PD= 1+3+4=2 2，BF= 0+3+0= 3，
设异面直线PD与BF的夹角为θ，
csθ=PD⋅BFPD⋅BF=32 2× 3= 64．

19.(1)∵AQ//DF，DF⊂平面DEF，AQ⊄平面DEF，∴AQ//平面DEF．
∵AG//平面DEF，AQ//平面DEF，AG∩AQ=A，AG⊂平面AGQ，AQ⊂平面AGQ，
∴平面AQG//平面DEF．
(2)由(1)知：平面AQG//平面DEF．
又平面BCP∩平面DEF=EF，平面BCP∩平面AQG=QG，
∴QG//EF．
(3)∵PD=DA，∴点D是PA的中点．
∵AQ//DF，∴PFFQ=PDDA=1，∴点F是PQ的中点，PF=FQ．
∵BEBP=PFPC=λ，且三棱锥P−ABC各棱长均为1，∴BE=PF=λ，
∴PE=1−λ，FQ=λ，PQ=2λ，CQ=1−2λ．
∵点Q在PC上，∴1−2λ>0，解得λ