重难点培优01 集合、常用逻辑用语中的参数及新定义问题（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

这是一份重难点培优01 集合、常用逻辑用语中的参数及新定义问题（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用），文件包含重难点培优01集合常用逻辑用语中的参数及新定义问题原卷版上好课2026年高考数学一轮复习讲练测全国通用docx、重难点培优01集合常用逻辑用语中的参数及新定义问题解析版上好课2026年高考数学一轮复习讲练测全国通用docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 2
\l "_Tc16555" 题型一 集合与元素的关系（★★） PAGEREF _Tc16555 \h 2
\l "_Tc7141" 题型二 集合的包含关系（★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 4
\l "_Tc26803" 题型三 集合的交并补运算及容斥原理（★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 4
\l "_Tc13512" 题型四 集合的新定义（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 5
\l "_Tc3897" 题型五 常用逻辑用语中的参数问题（★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 7
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 9
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 9
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 11
一、集合常用结论
1、若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
2、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3、．
4、,．
5、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论：
（1）
（2）
二、集合中的新定义问题
1、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题．
2、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．
3、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．
4、集合新定义问题处理步骤
①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦；然后找出要素分别是什么
②看：看所求是什么？
③代：将已知条件代入新定义的要素
④解：结合数学知识进行解答
三、从集合的角度理解充分必要性
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
则由A⊆B可得，p是q的充分条件，
（1）若AB，则p是q的充分不必要条件；
（2）若A⊇B，则p是q的必要条件；
（3）若AB，则p是q的必要不充分条件；
（4）若A＝B，则p是q的充要条件；
（5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；


题型一 集合与元素的关系
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三上·北京通州·期中）设集合，则（ ）
A．对任意实数a，B．对任意实数a，
C．当且仅当时，D．当且仅当时，
2．（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（ ）
A．7B．9C．11D．13
3．（24-25高三下·河北保定·模拟预测）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（ ）
A．5B．3C．2D．1
4．（2025·河南新乡·三模）（多选题）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（ ）.
A．.B．.
C．若，则.D．若，则.
5．（2024·辽宁丹东·一模）若为完全平方数，则正整数x的取值组成的集合为 ．
6．（24-25高三上·上海·期中）如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为 ．


题型二 集合的包含关系
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·江苏·模拟预测）已知集合，若集合，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·河北承德·模拟预测）已知集合，．若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·上海·期中）设，令，若存在实数，则的取值范围是 .
5．（24-25高三上·安徽·期中）已知集合，集合，若，则的最小值为 ，的最大值为 ．

题型三 集合的交并补运算及容斥原理
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三下·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高三上·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（ ）
A．51B．50C．49D．48
5．（24-25高三上·上海徐汇·开学考试）2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为
6．已知满足（且）的有序集合组（A，B）的个数为32，则 ．

题型四 集合的新定义
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三上·北京海淀·开学考试）设集合． 对于集合的子集A，若任取A中两个不同元素，有，且中有且只有一个为，则称A是一个“好子集”．下列结论正确的是（ ）
A．一个“好子集”中最多有个元素B．一个“好子集”中最多有个元素
C．一个“好子集”中最多有个元素D．一个“好子集”中最多有个元素
2．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，若对于任意实数对，存在，使成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：
①；
②；
③
④；
其中是“垂直对点集”的序号的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（24-25高三上·北京·模拟预测）设集合是实数集的子集，如果满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（ ）
① ②
③ ④
A．①②B．①③C．②③D．①③④
4．（23-24高三下·江西南昌·模拟预测）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“”
5．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知有穷数列的各项均为正整数，记集合的元素个数为.
(1)若数列为，试写出集合，并求的值；
(2)若是递增数列且，求证：是等比数列；
6．（2025·山东临沂·二模）对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数．
(1)若，求；
(2)给定集合的子集，求集合的元素个数；
(3)设为有限集合，证明：．
7．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”.
(1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”；
(2)证明：是“好的”，是“好的”；
(3)求所有“好的”正整数.
8．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，集合B满足．
(1)判断，，，中的哪些元素属于B；
(2)证明：若，，则；
(3)证明：若，则．

题型五 常用逻辑用语中的参数问题
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·北京·二模）设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·河北沧州·模拟预测）若，函数为奇函数，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2025·宁夏银川·二模）若命题：“，都有”为真命题，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三下·江苏盐城·模拟预测）已知命题为假命题，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25高三上·浙江杭州·期中）已知，若命题“或”为真命题，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知集合有且仅有1个真子集，则实数的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高三下·北京海淀·期中）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（ ）
A．1B．3C．-1或-3D．1或3
6．（24-25高三上·湖北·模拟预测）向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（ ）
A．赞成的不赞成的有9人
B．赞成的不赞成的有11人
C．对都赞成的有21人
D．对都不赞成的有8人
7．（24-25高三上·吉林长春·期中）已知集合，集合，集合，则以下元素属于集合的是（ ）
A．B．C．D．
8．“存在，使得”是“为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2025·河北秦皇岛·三模）已知全集，集合，，是全集的三个子集，定义：表示集合中元素的个数，若，，则所有的有序子集列有（ ）
A．360个B．640个C．960个D．1920个
10．（2025·北京东城·二模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．（2025·四川绵阳·三模）（多选题）已知集合，对于中的任意两个元素都有，则集合的元素个数可以为（ ）
A．4个B．7个C．9个D．10个
12．（2025·浙江绍兴·模拟预测）（多选题）已知集合，若对于任意，以及任意，满足，则称集合为“一字集”，记为“一字集”，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，且，则
D．若，则
13．（24-25高三上·安徽铜陵·模拟预测）已知集合，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
14．（24-25高三下·河南·模拟预测）已知有限集合（，），若，则称A为“完美集”.
(1)已知，，，，成等差数列，若集合A为“完美集”，求；
(2)已知，是否存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”，若存在，求集合A；若不存在，说明理由；
(3)已知，且集合A为“完美集”，求A.
15．（2025·河南·二模）已知一个非空数集A，对，且，记B为A去掉x，y后的集合，若有或，则称A是一个好集合．对于一个非空数集P，对，且，记Q为P去掉x，y后的集合，若有或或，则称P是一个坏集合．
(1)证明：集合不是好集合；
(2)若A是好集合，证明：存在一个与A中元素个数相同且仅由正实数构成的坏集合P；
(3)证明：不存在有限的好集合A，满足A中的元素均为正实数，且A中的元素个数为大于5的奇数．

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25高三下·上海·模拟预测）已知、、为三角形的三个内角，则“”是“角为直角”的（ ）条件
A．充分必要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要
2．我们把一些向量构成的集合称为线性空间，设是线性空间到自身的一个变换，将中所有能被变换为零向量的向量组成的集合称为变换在上的核，记作．已知线性空间，对任意，变换满足，则中的元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（24-25高三上·上海宝山·模拟预测）命题P：的是命题Q：的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
4．（2025·山西·二模）（多选题）记表示个元素的有限集合，表示非空数集中所有元素的和.若集合，则（ ）
A．
B．
C．
D．若，则的最小值为14
5．（24-25高三下·重庆·期中）按照一定次序排列的一列集合称为集合列，可记为；已知全集的子集满足.若恰有两个元素，则这样的集合列有 个；所有满足条件的集合列有 个.
6．（24-25高三下·浙江宁波·期中）对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5.
(1)求集合的所有非空子集的交替和的总和；
(2)已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和；
(3)已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和.
与集合含义及其表示有关的问题的解题技巧
（1）明确集合的类型，即确定集合是数集、点集，还是其他集合.
（2）理清集合中的元素满足的限制条件，确定元素的属性.
（3）注意检验集合中的元素是否满足互异性，确定集合元素的个数.
（4）理清描述法表示的集合中相关字母变量的取值范围及条件.
根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解.
①若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性.
②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为方程（组）或不等式（组）求解，此时注意检验端点值能否取到
利用集合的运算求参数的方法
（1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍.
（2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解.
［注意］ 在求出参数后，注意结果的验证（满足集合中元素的互异性）.
解决以集合为背景的新定义问题的关键点
（1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.
（2）方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解.
1、充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.
（2）要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易漏解或增解.
2、根据命题的真假求参数的值（范围）的思路
与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数的取值范围问题，本质是恒成立问题或有解问题.解决此类问题时，可以直接求解，也可以利用等价命题将条件合理转化，得到关于参数的方程（组）或不等式（组），再通过解方程（组）或不等式（组）求出参数的值或范围.