2025_2026学年[苏科版]数学九年级上学期期末复习：第1章一元二次方程导学案

这是一份2025_2026学年[苏科版]数学九年级上学期期末复习：第1章一元二次方程导学案，共6页。学案主要包含了复习目标，重点难点，学习过程，知识要点，基础演练，典型例题，巩固应用，作业补偿等内容，欢迎下载使用。
【复习目标】 授课日期： 月 日
掌握一元二次方程的概念和四种解法；
2、掌握配方法，根的判别式，根与系数的关系，并能灵活应用其解题。
【重点难点】
1、一元二次方程的概念和解法；
2、应用配方，根的判别式，根与系数的关系解决问题。
【学习过程】
一、【知识要点】
1.基本概念：一元二次方程（定义、一般形式、a、b、c的确定），根的判别式；
2.基础知识：（1）一般形式： ；
（2）平方根的求法及表示；配方的步骤；求根公式；因式分解的方法；
（3）判别式定理： ；
（4）根与系数的关系： ；
3.基本方法：（1）配方法（前提、关键、应用）；
（2）应用判别式定理及其逆定理解决问题（a中是否含字母，根的不同情况：有两个不等实根、有两个实根、有实根）；
（3）降次：通过因式分解将二次方程降为一次方程（若A×B=0，则A=0，或B=0）.
二、【基础演练】
1．在下列方程中，一元二次方程是（ ）
A．x2﹣2xy+y2=0B．x（x+3）=x2﹣1C．x2﹣2x=3D．x+=0
2．把一元二次方程（x+2）（x﹣3）=4化成一般形式，得（ ）
A．x2+x﹣10=0B．x2﹣x﹣6=4C．x2﹣x﹣10=0D．x2﹣x﹣6=0
3．若一元二次方程（2m+6）x2+m2﹣9=0的常数项是0，则m等于（ ）
A．﹣3B．3C．±3D．9
4．下列方程能直接开平方的是（ ）
A．5x2+2=0B．4x2﹣2x+1=0C．（x﹣2）2=4D．3x2+4=2
5．用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2=2B．（x+2）2=5C．（x﹣1）2=2D．（x﹣2）2=5
6．方程 x（x+3）=0的根是（ ）
A．x=0B．x=﹣3C．x1=0，x2=3D．x1=0，x2=﹣3
7．如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞2B．m＜2C．m＞2且m≠1D．m＜2且m≠1
8．对于任意的实数x，代数式x2﹣5x+10的值是一个（ ）
A．正数B．负数C．非负数D．不能确定
9．若a2+2a+b2﹣6b+10=0，则ba的值是（ ）
A．﹣1；B．3；C．﹣3；D．
10．解一元二次方程x（x﹣2）=x﹣2时，小明得出方程的根是x=1，则被漏掉的一个根是x= ．
11．已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，则y﹣x的最大值为 ．
三、【典型例题】
例1．已知x=1是方程x2﹣3ax+a2=0的一个根，求代数式3a2﹣9a+1的值
例2.解方程：
（1）（x+1）2=1； （2）（5x+3）2﹣4=0； （3）2x2﹣4x﹣1=0（用配方法）
（4）x2+4x﹣1=0； （5）； （6）
例3．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程有一个根为x=1，求m的值及另一个根．
例4．已知关于x的方程（k2﹣1）x2+（2k+1）x+1=0．
（1）若方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实数根，求k的值，并求此时方程的根．
四、【巩固应用】
1．下列方程中是一元二次方程的有（ ）
①=；②y（y﹣1）=x（x+1）；③=；④x2﹣2y+6=y2+x2．
A．①②B．①③C．①④D．①③④
2．已知一元二次方程3x2﹣2x+1=0，则它的一次项系数为（ ）
A．1B．﹣2C．2D．2x
3．若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠±1B．m≥﹣1且m≠1C．m≥﹣1D．m＞﹣1且m≠1
4．用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2=7B．（x﹣4）2=19C．（x+2）2=7D．（x+4）2=19
5．若m是方程x2+x﹣1=0的根，则2m2+2m+2011的值为（ ）
A．2010B．2011C．2012D．2013
6．方程x2=6x的根是（ ）
A．x1=0，x2=﹣6B．x1=0，x2=6C．x=6D．x=0
7．解方程2（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的最适当的方法是（ ）
A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．分解因式法
8．已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较大根为x2，则下面对x2的估计正确的是（ ）
A．﹣2＜x2＜﹣1B．﹣1＜x2＜0C．2＜x2＜3D．1＜x2＜2
9．要使方程kx2﹣4x﹣3=0有两实数根，则k应满足的条件是（ ）
A．k＜B．k≥﹣C．k≤﹣D．k≥﹣且k≠0
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2=0两实数根为x1、x2，则x1+x2=（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
11. 解方程
（1）3x2—27=0； （2）（2x—1）2=16； （3）x2+6x—8=0（配方法）；
（4）2y2—y—0.5=0（配方法）；（5）3y2—y—2=0；（6）3x（x—2）=x—2.
12．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）2=m﹣1有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣2=0．
求证：不论k为何值，方程总有两个不相等实数根．
五、【作业补偿】
1．下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=；④（a2+a+1）x2﹣a=0；⑤=x﹣1，其中一元二次方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．将一元二次方程3x2﹣5=4x化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．﹣3，4B．3，﹣4C．﹣3，﹣4D．3，4
3．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1=0有一根为0，则k=（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．0
4．若M=3a2﹣a﹣1，N=﹣a2+3a﹣2，则M、N的大小关系为（ ）
A．M=NB．M≤NC．M≥ND．无法确定
5.若（m﹣2）﹣mx+1=0是一元二次方程，则m的值为 ．
6．已知a是方程2x2﹣x﹣3=0的一个解，则6a2﹣3a的值为 ．
7．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2=0时，可配方得 ．
8．将x2+6x+4进行配方变形后，可得该多项式的最小值为 ．
9．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长为 ．
10．若一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是 ．
11．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是 ．
12．写出一个同时满足下列两个条件的一元二次方程 ．
（1）二次项系数是1 （2）方程的两个实数根异号．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2（k﹣1）=0有两个实数根，求k的取值范围.
14．已知：平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+=0的两个实数根．
（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？