贵州省遵义市第四中学2025-2026学年高一上学期开学分班检测数学试卷

这是一份贵州省遵义市第四中学2025-2026学年高一上学期开学分班检测数学试卷，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
“五一”期间，某景点接待海内外游客共 688000 人次，688000 这个数用科学记数法表示为（）
68.8 104
C． 6.88 105
0.688 106
D． 6.88 106
在Rt△ABC 中， BAC  90∘ ， AD ⊥BC 于点 D ，若 AC  3 ，则 BD  （）
3
4
4
3
16
9
AB4
CD
9
16
“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标
．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是 2018 年 9 月到 2019 年 2 月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．
根据该走势图，下列结论正确的是（）
A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化 B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年 10 月份的方差小于 11 月份的方差
D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年 12 月份的平均值大于今年 1 月份的平均值
如图，以点O 为圆心， AB 为直径的半圆经过点C ，若C 为弧 AB 的中点，若 AB  4 ，
则图中阴影部分的面积是（ ）
πB． 2  2πC．2D． 2  π
如图，在长方形 ABCD 中， DC  6cm ，在 DC 上存在一点 E ，沿直线 AE 把△ADE 折叠，使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，若△ABF 的面积为24cm2 ，那么折叠的△ADE的面积为（） cm2
A．30B．20C． 40 3
D． 50
3
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心 O 在水面上方，且圆 O 被水面截得的弦 AB 长为 6 米，半径长为 4米．若点 C 为运行轨道的最低点，则点 C 到 AB 的距离等于（）
A．1 米B． 4  7 米C．2 米D． 4  7  米
x  5
要使式子有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A． x  5
B． x  5
C． x ≥ 5
D． x  5
如图，在平面直角坐标系中，等边V ABC 的 AB 边经过原点 O，且顶点 A、B 都在 y  4
x
的图象上，顶点 C 在 y  k 的图象上，则 k 的值为（）
x
4
4
12
8
3
3
二、填空题（本大题共 5 小题）
若方程 x 10  x  40  x  20  a 恰有三个解，则所有符合条件的 a 之和为．
如图，矩形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别在边 AB，BC，CD，DA 上，点 P 在矩形 ABCD 内．若 AB  4cm, BC  6cm ， AE  CG  3cm, BF  DH  4cm，四边形 AEPH 的面积5cm2 ，则四边形 PFCG 的面积为 cm2 ．
已知 A 是双曲线 y  2 在第一象限上的一动点，连接 AO 并延长交另一分支于点 B，
x
以 AB 为边作等边三角形 ABC，点 C 在第四象限，已知点 C 的位置始终在一函数图象上运动，则这函数解析式是.
如图，等腰VABC 中， AB  AC  2 ， BAC  120∘ ，按以下步骤作图：
①以点A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 AB, AC 于点 P, Q ；
②分别以点 P, Q 为圆心，大于 1 PQ 的长为半径作弧，两弧交于点 F ；
2
③作射线 AF 交 BC 于点 E ；
④分别以 A, C 为圆心，大于 1 AC 的长为半径画弧，两弧分别交于M , N 两点；
2
⑤作直线MN 交 AC 于点 D ．
点G 在 BC 上，若GDA  45∘ ，则线段GC 的长为．
五个互不相等自然数的平均数是 15，中位数是 18，则这五个数中最大数的最大值为
.
三、解答题（本大题共 5 小题）
14．（1）解分式方程： 51 0 ．

x2  xx2  x
（2）因式分解： x3  5x2 17x 13 ．
9  4 5
3  5
（3）化简：
如图，已知Rt△ABC 中， ACB  90∘ , AC  2, BC  4 ，点 P 是CB 边的一点，且
tan∠PAC  1 , eO 是△APB 的外接圆，， 2
求证： PAC  ABC ；
判断eO 与直线 AC 的位置关系，并说明理由；
请直接写出eO 的半径.
某公司为了进一步增加市场竞争力，计划在 2023 年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本 250 万元，每生产? （千部）手机，需另投
10?2 + 100?,0 < ? < 40,
入成本?(?) 万元，且?(?) =
701? + 10 000 −9 450,? ≥ 40, 由市场调研知，每部手机售价
?
0.7 万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
（1）求出 2023 年的利润?(?) （万元）关于年产量? （千部）的函数解析式（利润= 销售额-成本）.
（2）2023 年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
某校在育人工作中，其中一项是班主任每周与学生谈心，了解学生思想动态，及时对管理思路作出调整.为了解七年级班主任和学生的谈心情况，学校调查了七年级 20 名班主任一周与学生谈心的时间，将谈心时间、次数进行了收集、整理和分析.
【收集数据】
谈心时间（分钟）：25，35，35，20，25，38，40，40，38，40，38，38，20，35，20，
38，38，38，25，25.
【整理数据】
【分析数据】
【解决问题】
根据以上信息，回答下列问题：
填空：c=，e=，f=.
谈心时间（分钟）
20
25
35
38
40
频数
3
4
3
a
b
统计量
平均数
中位数
众数
方差
七年级班主任谈心时间
e
f
38
54.65
根据扇形统计图，将谈心时间不低于 37 分钟表彰为“最温暖的班主任”，则七年级有多少名班主任获得此荣誉称号？
【数据应用】八年级 20 名班主任的谈心时间相关信息如下：
根据以上两个班表中的统计量，你认为哪个年级的班主任在育人工作中投入更多一些？并给出一些合理解释.
18．2015 年 10 月 5 日，我国女药学家屠呦呦获得 2015 年诺贝尔医学奖.屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青蒿素，是科学技术领域的重大突破，开创了定疾治疗新方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生命，对促进人类健康､减少病痛发挥了难以估量的作用.当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度”）的峰值（最大值）太低，导致药物无效.后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以发挥作用.已知青蒿素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓度从峰值不断下降，最后下降到一个不会影响人体机能的非负浓度值.人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变.现用 t 表示时间（单位： h ），在t  0 时人体服用青蒿素药片；用 C 表示青蒿素的血药浓度（单位： μg/ml ）.根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，C 是 t 的函数.已知青蒿素一般会在 1.5 小时达到需要血药浓度的峰值.请根据以上描述完成下列问题：
下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是.
① C t    0.2t, 0  t  1.5

0.75  0.3t, t  1.5
  1 t 2  2 t, 0  t  15

55
② C t    9  1 t,1.5  t  4.5

 4020
0, t  4.5

0.3et  0.3, 0  t  1.5
③C t   
统计量
平均数
中位数
众数
方差
八年级班主任谈心时间
32.55
38
37
47.729
 0.3ln 2.5
t


, t  1.5
0.2 ln t 1, 0  t  1.5
④C t   
0.3ln 2.5
t
, t  1.5
对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于 0.1 μg/ml ，则称青蒿素药片是合格的.基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片
；（填“合格”､“不合格”）
记血药浓度的峰值为C，当C  1 C时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”
max
2 max
，基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间.
四、填空题（本大题共 5 小题）
如图，四边形 OABC 为矩形，点A 在第二象限，点A 关于 OB 的对称点为点 D ，点
y  6 2 (x  0)
B, D 都在函数x的图像上， BE⊥x 轴于点 E .若 DC 的延长线交 x 轴于点 F ，
2
EF
当矩形OABC 的面积为9时， OE 的值为；点 F 的坐标为.
已知 pq 为实数，且满足 p3  q3  2 ，那么 p  q 的最大值为．
如图，直线 AB 交双曲线 y  k  x  0 于点 P，交 x 轴、y 轴于点 A、B，且 AB  PB ，
x
sinA 
6 ，若OA  1 ，则 k 值为．
3
将矩形 ABCD 纸片按如下步骤折叠：

图 1图 2
第一步：如图 1，沿对角线 AC 折叠，点 D 的对应点为点 E ，线段CE 交线段 AB 于点 F ；
第二步：如图 2，将VFEA 沿 FA 折叠，点 E 的对应点为点G ，
连接 BG 交 AC 于点 H ．若EFA  45 ，则 AH 的值为．
BG
如图，点 D 在V ABC 的边 BC 上，
C  BAD  DAC, tan BAD  4 , AD 
7
五、解答题（本大题共 3 小题）
65,CD  13 ，则线段 AC 的长为．
半挂车是挂车中的一种类型，是通过牵引销与半挂车头相连接的一种重型运输交通工具.如图是一种轻体侧翻自卸半挂车.图 1 是半挂车拉货状态截面示意图，图 2 是其卸货状态截面示意图，四边形 BCDE 为矩形，已知该车的车厢长为 13 米，宽 BC 为 2.5 米．高 BE为 2 米，车板离地的距离 AB 为 1 米．请你计算：
该半挂车的车厢容积为立方米；
该半挂车卸货时，车身侧翻，侧翻角度为44 可全部卸完货物，求此时车身最高点 D 离地面的距离.（参考数据： sin 44  0.70 ， cs 44  0.72 ， tan 44  0.97 ，结果保留一位小数.）
如图，一次函数 y  kx  b(k  0) 与反比例函数 y  a a  0 的图象在第一象限交于
x
A, B 两点， A 点的坐标为m, 6 ， B 点的坐标为(2,3)，连接OA ，过 B 作 BC  y 轴，垂足为C ．
求一次函数和反比例函数的表达式；
在射线CB 上是否存在一点 D ，使得△AOD 是直角三角形，求出所有可能的 D 点坐标．
某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，满意度从低到高为 1 分，2 分，3 分，4 分，5 分，共 5 档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于 3.5 分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了 20 份，下图是根据这 20 份问卷中的客户所评分数绘制的统计图．
求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；
监督人员从余下的问卷中又随机抽取了 1 份，与之前的 20 份合在一起，重新计算后
，发现客户所评分数的平均数大于 3.55 分，监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1
）相比，中位数是否发生变化？
参考答案
1．【答案】C
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a  10 n ，其中1 | a | 10 ，n 为整数，
且 n 比原来的整数位数少 1，据此解答即可．
【详解】解：688000= 6.88 105
故选：C 2．【答案】C
【详解】根据题意作出示意图，
设 AC  3x ，
因 AC  3 ，所以 AB  4x ，
AB4
AB2  AC 2
因BAC  90∘ ，所以 BC  5x ，
因BAC  90∘ ，AD⊥BC，所以BAC ∠ADB  90∘ ，
因B  B ，所以△ABD ∽△CBA ，
因 BA  BD ，所以 BD 
BCBA
BA2 BC
 16x2 5x
 16 x ，
5
所以CD  BC  BD  9 x ，所以 BD 
16 x
5
 16 ，
5
故选：C．
【答案】D
【详解】
CD9 x9
5
对于 A，并无周期变化，故 A 错，
对于 B，并不是不断减弱，中间有增强．故 B 错，
对于 C，10 月份的波动大小大于 11 月份，所以方差要大．故 C 错，
对于 D，由图可知，12 月起到 1 月份有下降的趋势，所以去年 12 月份的平均值大于今年 1 月份的平均值．故 D 正确，
故选：D．
【答案】A
【分析】由对称性可知，阴影部分面积为以O 为圆心， AB 为直径的圆的面积的 1 ，由圆
4
的面积公式即可求解.
【详解】如题图，由对称性可知，阴影部分面积为以O 为圆心， AB 为直径的圆的面积的
1 ，
4
由题意圆的半径r  1 AB  1  4  2 ，
22
所以阴影部分的面积为S
 1 S
 1 πr 2  1  π 22  π .
故选 A.
【答案】D
阴影部分
4 圆 44
【分析】由三角形面积公式可求 BF 的长，由勾股定理可求 AF 的长，即可求CF 的长，由勾股定理可求 DE 的长，即可求△ADE 的面积.
【详解】∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AB  CD  6cm, BC  AD ，
∵ S 1 AB  BF  24cm ，即 1  6  BF  24cm ，∴ BF  8cm ，
62  82
△ ABF22
AB2  BF 2
在Rt△ABF 中， AF 
∵△ADE 折叠后与△AFE 重合，
∴ AD  AF  10cm, DE  EF ，
∴ BC  10cm ，
∴ FC  BC  BF  10  8  2cm ，
在Rt△EFC 中， EF 2  EC 2  CF 2 ，

 10 cm，
∴ DE2  EF 2  6  DE 2  22 ，解得 DE  10 cm ，
3
∴ S 1  AD  DE  1 10  10  50 cm2.

△ ADE2233
故选 D.
【答案】B
【详解】
根据题意和圆的性质知点C 为 ‸AB 的中点，
连接OC 交 AB 于 D ，则OC  AB, AD  BD  1 AB  3 ，
2
OA2  AD2
42  32
在 RtVOAD 中， OA  4，AD  3 ，
∴ OD 

 7 ，
∴ CD  OC﹣OD  4  7 ，
即点C 到弦 AB 所在直线的距离是4 
故选B
【答案】C
7 米，
x  5
【详解】Q式子故选 C．
有意义， x  5  0 ，解得： x ≥ 5 ．
【答案】C
【详解】连接CO ，作 BD 、CE  x 轴于点 D、E，
∵ A, B 关于原点成中心对称， VBAC 为等边三角形，
∴ BO  AO ， CO  BA ， CO 平分BCA ，
∴ BOD  COE  90，
∵ BOD  OBD  90 ，
∴ COE  OBD ，
又∵ BDO  CEO  90，
∴△BDO 相似于△OEC ，
∵ CO 平分BCA ， VBAC 为等边三角形，
∴ BCO  1 BCA  30 ，
2
3
∴ tan BCO  BO  1 ，
CO
∴?
△???
:?
△???
=
2 = 1，
??
??
3
∵B 点在函数 y  4 的图象上，
x
∴?
= 1|?
| ⋅ |?
| = |4| = 2，
△???
2 ?
?2
∴ SVOEC  3SV BDO  6 ，
同理 C 点在函数 y  k 的图象上，
x
?△???
= |?| = 6，
2
∵ k  0 ，
∴ k  12 ． 故选 C． 9．【答案】50
【详解】令 f  x  x 10  x  40  x  20 ，
当 x  40 时， f  x  x 10  x  40  x  20  x  30 ，
当20  x  40 时， f  x  x 10  x  40  x  20  x  50 ，当10  x  20 时， f  x  x 10  x  40  x  20  x 10 ，当 x  10 时， f  x  x 10  x  40  x  20  x  30 ，
x  30, x  40
综上， f  x  
x  50, 20  x  40

x 10,10  x  20 ，
x  30，x  10
画出 f  x 的图象，如图所示：
方程 x 10  x  40  x  20  a 恰有三个解，等价于函数 y  f  x 的图象与 y  a 的图象恰有 3 个交点，由图象可知， a  20 或a  30 ，
所以所有符合条件的a 之和为20  30  50 .
故答案为：50
【答案】8
【详解】连接 AP, CP ，令V APH ,V APE 边 AH , AE 上的高分别为m, n ，则VCPF 边CF 上的高为4  m ，△CPG 边CG 上的高为6  n
而 AH  CF  2, AE  CG  3 ，则S
AEPH
 SV APH
 SV APE
 1  2m  1  3n  5 ，
22
于是2m  3n  10 ，四边形 PFCG 面积
S  S
VCPF
 SVCPG
 1  2(4  m)  1  3(6  n)  1 (26  2m  3n)  8 .
222
【答案】 y   6  x  0
x
2 
x, y
a
【分析】设 A a,  , C  x, y  ，根据已知条件求得

的关系式，从而求得正确答案.
【详解】依题意，三角形 ABC 是等边三角形，连接OC ，
则OC 是线段 AB 的垂直平分线， AB  OC ，
2 2 
3
设 A a, a  ，则 B  a,  a  ， OC 
OA ，
a2  
 2 2
 a 

3 a2  
 2 2
 a 

3a2  12
a2

而 OA 
，所以 OC 
OA 
，
3
过C 作CD  x 轴于点 D ，则AOD  OCD ，设C  x, y  ，
2a2
则tan AOD  tan OCD, a  x ，整理得 y   2 x ，
a y
在直角三角形COD 中， CD2  OD2  OC 2 ，即 x2  y2  3a2  12 ，
a2
2
将 y   a
2
C
 a2
x2
x 代入上式得  
2
2

x   3a2  12
a2
2 3
2 3
a2
，整理得 x2  12 ，
a2
  3a ，
由在第四象限，得 x ，则 y  
a2a
所以 xy  6 ，则 y   6  x  0 ，
x
所以这函数的解析式是 y   6  x  0 .
x
3
3
【答案】1/1
【分析】根据尺规作图可确定 AF 为∠BAC 的角平分线，直线MN 垂直平分线段 AC ，可知 DE 为VABC 的中位线，结合平行和角度关系可求得GE  DE  1 ，由勾股定理求得CE后，加和可得结果.
【详解】由作图过程可知： AF 为∠BAC 的角平分线，直线MN 垂直平分线段 AC ，
连接 DE ，
QAB  AC ， BAC  120∘ ， E 为 BC 中点， ACB  ABC  30∘ ，
又 D 为 AC 中点， DE //AB ， DE  1 AB  1 ，DEC  ABC  30∘ ，
2
QDGC  ADG  ACB  45∘  30∘  15∘ ，GDE  DEC  DGC  30∘ 15∘  15∘ ，
即DGC  GDE ，GE  DE  1，
1
AC 2  AE2
又 AE 
2 AC  1，CE 
 3 ，
3
GC  GE  CE  1.
故答案为：1 3 .
【答案】37
【分析】设五个互不相等的自然数从小到大分别为x1 、x2 、 x3 、 x4 、 x5 ，依题意可得
x1  x2  x3  x4  x5  75 ， x3  18 ，要使 x5 尽可能大，则其余三个数竟尽可能小，且 x4  18
，即可确定其余三个数，从而求出 x5 .
【详解】解：设五个互不相等的自然数从小到大分别为x1 、x2 、 x3 、 x4 、 x5 ，
因为其平均数是15 ，
五个互不相等自然数的和为 x1  x2  x3  x4  x5  515  75 ，
Q 中位数是18 ，即 x3  18 ，要使 x5 尽可能大，则x1 、x2 、 x4 需尽可能小，
则 x1  0 ， x2  1， x4  19 ，此时 x5  75   x1  x2  x3  x4   37
即这组数据为0 ，1，18 ，19 ， 37 ，符合题意.
这五个数中最大数的最大值为37 ．
故答案为： 37 ．
【答案】（1） x  3 ；（2） (x 1)(x2  4x 13) ；（3） 5  2  10  2 .
222
【分析】（1）通过去分母，转化为整式方程，进而得到方程的解，然后代入检验是否是增根;
通过拆项和提取公因式对多项式进行因式分解；
利用完全平方公式进行化简，即可得出结果.
【详解】（1）由 51 0 可得，51 0 ，

x2  xx2  x去分母得， 5(x 1)  (x 1)  0 ，去括号得， 5x  5  x  1  0 ，
解得， x  3 ，
2
经检验， x  3 是原方程的解.
2
（2） x3  5x2 17x 13
 x3  5x2  4x 13x 13 ，
 x(x2  5x  4) 13(x 1) ，
 x(x  4)(x 1) 13(x 1) ，
20
5
 (x 1)(x2  4x 13)
x(x 1)
x(x 1)
5
5
5
（3）因为9  4
 9  2
 ( 4)2  ( 5)2  2 
4 ，
5
所以9  4
 (
 4)2  (
 2)2 ，
9  4 5
所以
 5  2 ，
5
6  2 5
( 5)2 1 2 5
( 5 1)2
因为3 ，
222
所以
 10  2 ，
3  5
5 1
2
22
9  4 5
所以

3  5
 5  2 
10  2 .
22
【答案】(1)证明见解析 (2)相切，理由见解析
5
2
【详解】（1）证明：（1） Rt △ACP 中， tan∠PAC  PC  1 ，
Q AC  2, BC  4, AC  1 ，
AC2
 PC  AC ACBC
BC2
且∠PCA  ∠ACB  90∘ ，故△ACP ∽VBCA ，
PAC  ABC .
eO 与直线 AC 相切，理由如下：
如图，作直径 AD ，交eO 于点 D ，连接 PD ，
Q AD 为eO 的直径，∠APD  90∘ ,∠PAD ∠PDA  90∘ ，
Q∠PDA  ∠ABC ，又由（1）得∠PAC  ∠ABC,∠PDA  ∠PAC ，
∠PAC ∠PAD  90∘ ,∠CAD  90∘ , AD  AC ，
Q AD 为eO 的直径，eO 与直线 AC 相切.
半径为 5 ，理由如下：
2
Qtan∠PAC  PC  1 , AC  2 ，
AC2
AC 2  CP2
CP  1， AP 
 5 ，
Q∠PDA  ∠PAC ，
tan∠PAC  tan∠PDA  AP  1 ，
 PD  2 AP  2
 AD 
eO 的半径为 5 .
2
PD2
5
，
AP2  PD2
 5 ，
【答案】见解析
【详解】（1）由题意得?(?) = 0.7 × 1 000?−?(?)−250 ，故当0 < ? < 40 时，?(?) =
700?−10?2−100?−250 = −10?2 + 600?−250 ;
10 000
.
10 000
当? ≥ 40 时，?(?) = 700?−701?−
+ 9 450−250 = −?−
?
+ 9 200
?
故?(?) （万元）关于年产量? （千部）的函数解析式为
−10?2 + 600?−250,0 < ? < 40,
?(?) =
−?− 10 000 + 9 200,? ≥ 40.
?
（2）当0 < ? < 40 时，?(?) = −10?2 + 600?−250 = −10(?−30)2 + 8 750 ，
10 000
?
故当? = 30 时，?(?) 取得最大值，最大值为 8 750 万元；
10 000
当? ≥ 40 时， 由基本不等式可知?(?) = −?− ?+ 9 200 = −? +
+ 9 200 ≤ 9
200−2
10 000
? ⋅ 10 000
?
（万元），当且仅当，即时，等号成立.
= 9 000? =? = 100
?
因为9 000 > 8 750 ，所以 2023 年产量为 100 千部时，企业所获利润最大，最大利润为 9 000 万元.
【答案】(1) 35 ， 32.55 ， 36.5 ；
(2)10；
(3)八年级的班主任，解释见解析.
【分析】（1）根据给定的数据求出a, b ，再利用频率、平均数、中位数的意义求解即得.
求出谈心时间不低于 37 分钟的频率，进而求出频数即可.
由两个年级的平均数、中位数、方差进行比较并判断.
【详解】（1）由给定的数据得， a  7, b  3，则c 
e  20  3  25 4  35 3  38 7  40  3  32.55 ，
20
将 20 个数据由小到大排列为：
7 100  35 ，
20
20, 20, 20, 25, 25, 25, 25, 35, 35, 35, 38, 38, 38, 38, 38, 38, 38, 40, 40, 40 ，
因此 f  35  38  36.5 .
2
故答案为： 35 ； 32.55 ； 36.5
（2）谈心时间不低于 37 分钟的班主任的频率为35% 15%  50% ，则20  50%  10 ，
所以七年级有 10 名班主任获得此荣誉称号.
（3）八年级的班主任在育人工作中投入更多一些，
因为两个年级的班主任一周与学生谈心的时间平均数相同， 但八年级的班主任一周与学生谈心的时间中位数高于七年级，且八年级的班主任一周与学生谈心的时间的方差小于七年级，所以八年级的班主任在育人工作中投入更多一些.
【答案】（1）④
合格
 4  10  h
2 

【详解】（1）解：根据题意，得函数C t  同时满足以下条件：
函数C t  在[0,1.5) 上单调递增，在[1.5, ) 上单调递减；
当t  1.5 时，函数C t  取得最大值；函数C t  的最小值非负；
函数C t  是一个连续变化的函数，不会发生骤变.
选择①： C t   
0.2t, 0  t  1.5
，

0.75  0.3t, t  1.5
因为C 3  0.75  0.3 3  0.15 不满足条件 B，
所以①不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
  1 t 2  2 t, 0  t  15

55
选择②： C t    9  1 t,1.5  t  4.5 ，

 4020
0, t  4.5

121 
1 21
当0  t  15 时， C t    t 2     t    ，
555 5 5
当t  1时，函数C t  取得最大值，不满足条件 B，
所以②不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
0.3et  0.3, 0  t  1.5

选择③： C t   


0.3ln 2.5
t
，
, t  1.5
因为0.3e1.5  0.3  0.3e1.5 1  0.321.5 1  0.32 2 1  0.54 ，
0.3ln 2.5  0.3lne  0.2 ，
1.51.5
所以不满足条件 C,
所以③不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
0.2 ln t 1, 0  t  1.5

选择④： C t   

0.3ln 2.5
t
，
, t  1.5
因为  ，
0.3ln 2.5
0.2ln 1.5 10.2ln2.5
1.5
且当t  1.5 时， C t   0 ，
所以C t  同时满足三个条件，
即④能描述青蒿素血药浓度变化过程；
综上所述，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是④.
0.2 ln t 1, 0  t  1.5

（2）解：由（1）得：函数④： C t   

0.3ln 2.5
t
, t  1.5
因为0.2 ln 2.5  0.1  0.1(2 ln 5 1)  0.1ln 25  0 ，
24e
即血药浓度的峰值大于 0.1 μg/ml ，
所以此青蒿素药片合格，即答案为：合格；
（3）解：当0  t  1.5 时，令0.2 ln(t 1)  0.1ln 2.5 ，
所以ln(t 1)2  ln 2.5 ，即(t 1)2  5 ，
2
即2t 2  4t  3  0 ，解得t  2 
2
10 或t  2 
2
10 ，
即2 
2
10  t  1.5 ；
当t≥1.5 时，令 0.3ln 2.5  0.1ln 2.5 ，
t
则 3  1 ，解得t≤3 ，
t
即1.5  t  3 ；
综上所述，青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间
为3  2  10  (4  10 )h .
22
【答案】
1
2 ##0.5；
(3 3 , 0)
2
B(b, 6 2 ), D(a, 6 2 )
【分析】连接OD ，作 DG  x 轴， 设点ba，根据矩形的面积得出三角
形 BOD 的面积，将三角形 BOD 的面积转化为梯形 BEGD 的面积，从而得出 a, b 的等式，
将其分解因式，从而得出a, b 的关系，进而在直角三角形 BOD 中，根据勾股定理列出方程
，进而求得 B、D 的坐标，进一步可求得结果.
【详解】如图，
作 DG  x 轴于G ，连接OD ，设 BC 和OD 交于 I,
B(b, 6 2 ), D(a, 6 2 )
设点ba，
由对称性可得: VBOD≌VBOA≌VOBC,
OBC   BOD，BC  OD,OI  BI ，
 DI  CI ,
 DI  CI ， OIBI QCID  BIO,
VCDI ~VBOI ,CDI  BOI ,
CD / /OB,
 SV BOD
 SV AOB
 1 S
2
矩形EAOCB
 9 2 ,
2
SV BOE
 SV DOG
 1 | k | 3 2,
2
S四边形BOGD  SV BOD  SV DOG  S梯形BEGD BEGD  SV BOE ,
S S 9 2 ,
梯形BEGDV BOD2
 1 ( 6 2  6 2 )(a  b)  9 2 ,
2ab2
 2a2  3ab  2b2  0,
(a  2b)  (2a  b)  0,
 a  2b, a   b
2 （舍去），
 D(2b, 6 2 ),
2b即
D(2b, 3 2 ),
b
在 RtVBOD 中，由勾股定理得OD2  BD2  OB2 ,
(2b)2  (3 2 )2   (2b  b)2  ( 6 2  3 2 )2   b2  ( 6 2 )2 ,
b 
bbb
 
b  3,
 B( 3, 2 6), D(2 3, 6),
因为直线OB 的解析式为： y  2 2x,
所以直线 DF 的解析式为： y  2 2x  3 6,
当 y  0 时， 2 2x  3
 F (3 3 , 0),QOE 
2
 0, x  3 3 ,
6
2
3, OF  3 3 ,
2
 EF  OF  OE 3 , EF  1 ,
2OE2
1 , (3 3 , 0).
故答案为： 22
【答案】2
p3 13 13
q3 11
p3  q3  4
【详解】 p  q  p 11 q 11  2 ，
333
当且仅当 p  q  1 时等号成立.
2
【答案】2
【详解】由图知， k  0 ，过点 P 作 PC  x 轴，垂足为C ，
由 AB  PB ，则 B 为 AP 中点，故O 为 AC 中点，
由于OA  1 ，则OC  1 ， AC  2 ，
AC 2  PC 2
又sinA  PC PC
AP
PC
6
 3 ，解得 PC  2 2 ，
4  PC 2
x
则 P 1, 2 2  ，代入 y  k  x  0 ，得k  2 2 .
【答案】 2
2
【分析】以 B 为原点，建立直角坐标系，设 EF  1 ，求得 B(0, 0), A(1
2, 0), C(0, 1) 和
G(1 2 ,  2 ) ，得到 BG 
2  2
，再求得直线 BG 和 AC 的直线方程，联立方程组求
22
得 H 的坐标，得到 AH
，进而求得 AH 的值，得到答案.
2  2
2
BG
【详解】如图所示，以 B 为原点，以 BA, BC 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴，建立平面直角坐标系，
在直角△EFA 中，因为EFA  45 ，所以△EFA 为等腰直角三角形，
2
设 EF  1 ， K 为 AF 的中点，则 AE  1, AF ，且 FK  KG 2 ，
2
2
由VBCF≌V AEF ，可得 BF  BC  1, CF ,
则 B(0, 0), A(1 2, 0), C(0, 1), G(1 2 ,  2 ) ，
可得 BG 
22
(1 2 )2  (
2
2 )2
2
2  2
，
由k 2，可得直线 BG 的方程为 y  2x ，
BG2  22  2
11
1 2
1 2
又由kCA ，可得直线 AC 的方程为 y x 1，
2
2  2

 y  
联立方程组
x
1 2
2 1
，解得 H (, 
1 ) ，
所以 AH
 y 
[1 2 


2 1 1 2


2
]2   0 


2 



1x 122
2  2
2

2  2
2
2  2
所以 AH 2 .
BG2
故答案为：2 .
2
【答案】4
13
【详解】作DAE  BAD 交 BC 于 E ，作 DF  AE 交 AE 于 F ，作 AG  BC 交 BC 于G
，如图所示：
因为C  BAD  DAC ，所以CAE  ACB ，所以 EC  AE ,
因为tan BAD  4 ，设 DF  4x ，则 AF  7x ，
7
在直角三角形 ADF 中， AD2  DF 2  AF 2 ，即( 65)2  (4x)2  (7x)2 ，
解得 x1  1, x2  1（舍去），所以 DF  4 ， AF  7 .
设 EF  y ，则CE  7  y, DE  6  y ，
在直角三角形 DEF 中， DE 2  DF 2  EF 2 ，即(6  y)2  42  y2 ，
所以 y  5 ，所以 DE  13 , AE  26 ，
333
设 DG  z ，则 EG  13  z ，则( 65)2  z2  ( 26)2  (13  z)2 ，得 z  1，
3
AD2  DG2
AG2  CG2
所以 DG  1, CG  CD  DG  12 ,在直角三角形 ADG 中， AG 在直角三角形 ACG 中， AC  24．【答案】(1)65
(2)4.2 米


33
65 1
 8 ,
64 122
13
 4.
【分析】（1）由长方体体积公式即可求解.
（2）根据解直角三角形知识、锐角三角函数知识求得 DM , MG, GF ，相加即可得解.
【详解】（1）根据题意，得13 2  2.5  65m3  ，
故答案为：65．
（2）过点 D 作 DF  AF 于点 F，交 BC 于点 M，交 BC 于点 G，
则AFG  90 ，
∵四边形 BCDE 为矩形，
∴ BC / / AF ， BCD  90 ， BE  CD  2 m ，
∴ AFG  FGB  90，
∵ BAF  90 ，
∴四边形 BAFG 为矩形，
∴ AB  FG  1m ，
∵ MBG  44 ， BMG  DMC ，
∴ MDC  44，
∴ DM  DC  2  2.78m ， CM  DC tan 44  1.94 m ，
cs 440.72
∴ BM  BC  CM  2.5 1.94  0.56 m ，
∴ MG  BM sin 44  0.39 m ，
∴ DF  DM  MG  GF  2.78  0.39 1  4.17  4.2 m ，
【方法总结】（2）结合直角三角形、锐角三角函数求得 DM , MG, GF ，相加即可得解.
25．【答案】(1) y  6 ， y  3x  9 ；
x
(2)  1 37 , 3 或19,3
2

【分析】（1）根据反比例函数所过的点可求a ，再求出 A 的坐标后可求一次函数的解析式
.
（2）就不同的直角顶点分类讨论后结合直角三角形的性质或距离公式可求 D 的坐标.
【详解】（1）∵点 B 2, 3 在反比例函数 y  a 的图象上，∴ a  3 2  6 ，
x
∴反比例函数的表达式为 y  6 ，
x
∵点 A 的纵坐标为 6 且点 A 在反比例函数 y  6 图象上，
x
k  b  6
∴ A1, 6 ，∴ 2k  b  3 ，∴ k  3,b  9 ，

∴一次函数的表达式为 y  3x  9 .
（2）如图，①当OD1 A  90 时，
设 BC 与 AO 交于 E ，则 E  1 , 3 ，而 A1, 6 ，故 E 为OA 的中点，
 2

1
∴ AE  OE  D E  1 OA 37 ， D 的横坐标为1 37 ，
1222
∴ D  1 37 , 3 .
1 2

②当OAD2  90 ，设 D2 m, 3m  0 ，
则m2  9  12  62  m 12  3  62 ，解得m  19 ，
故 D2 19, 3 ，
综上所述，当△AOD 是直角三角形， D  1 37 , 3 或 D 19, 3 .
2

26．【答案】（1）客户所评分数的中位数、平均数都是3.5 ，该部门不需要整改
（2）监督人员抽取的问卷所评分数为 5 分，中位数变大了
【详解】（1）由条形图可知，第 10 个数据是 3 分，第 11 个数据是 4 分，所以这 20 个数
据的中位数为 3  4  3.5 ，
2
由统计图可得平均数为： 11+3 2+6  3+5 4+5 5  3.5 ，
20
所以客户所评分数的平均数或中位数都不低于 3.5 分，故该部门不需要整改；
（2）监督人员抽取的问卷所评分数为 x 分，则有 3.5 20+x  3.55 ，解得 x  4.55 ，
20 1
因为满意度从低到高为 1 分，2 分，3 分，4 分，5 分，共 5 档，
所以监督人员抽取的问卷所评分式为 5 分，
因为4 < 5 ，所以加入这个数据，客户所评分数从小到大排列后，第 11 个数据不变还是 4
分，
即加入这个数据后中位数是 4 分，与（1）相比中位数发生了变化，由3.5 分变成 4 分.